高中数学《导数的计算》文字素材3新人教A选修11

高考数学基础知识复习：导数概念与运算知识清单1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3几种常见函数的导数: ; ; ; .4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y| u|高考数学基础知识复习：导数应用知识清单1 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的值(a)、(b)；将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分（1）概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。课前预习1求下列函数导数（1） （2） （3）（4）y= （5）y2若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D3过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ） （A） （B） （C） （D）4半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ；式可以用语言叙述为： 。5曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。6对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）0，则必有（ ）Af（0）f（2）2f（1）7函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个 D 4个8已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。9在区间上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)410设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。11设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(I)求点的坐标；(II)求动点的轨迹方程.12请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？13计算下列定积分的值（1）（2）；（3）；（4）；14（1）一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由x0运动到xa时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax典型例题一 导数的概念与运算EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.EG：已知的值是（ ）A. B. 2 C. D. 2变式1：（ ）A2C3D1变式2：（ ）ABCD根据所给的函数图像比较变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. y B. C. D. O 1 2 3 4 x EG：求所给函数的导数：。变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是A(3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)EG：已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.变式1：已知函数.（1）求这个函数在点处的切线的方程；（2）过原点作曲线yex的切线，求切线的方程.变式2：函数yax21的图象与直线yx相切，则a( )A. B. C. D. 1EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：变式1：函数的一个单调递增区间是A. B. C. D. 变式2：已知函数(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是 . (2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是 .变式3： 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围.EG：求函数的极值.求函数在上的最大值与最小值.变式1： 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A1个 B2个 C3个D4个变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值；（）的值.变式3：若函数，当时，函数极值，（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围变式4：已知函数，对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。EG：利用函数的单调性，证明：变式1：证明：，变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在0，2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.EG： 函数若恒成立,求实数的取值范围 变式1:设函数若恒成立，求实数的取值范围.变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，(1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求的面积的最大值变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式4:某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）变式1：计算：；（1）；（2）变式2： 求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.变式3：在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程. 实战训练1. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为() 2. 已知曲线S:y=3xx3及点,则过点P可向S引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.4. 函数在下面哪个区间内是增函数（ ）. 5. y=2x33x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A)6 (B)0 (C)5(D)16. 函数f(x)x33x+1在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是( ) (A)1，1 (B)3，-17(C)1，17 (D)9，197.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为_. 8. 设函数f (x)=x3+ax2+bx1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 . 9（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则 10（07湖南）函数在区间上的最小值是 11（07浙江）曲线在点处的切线方程是 9. 已知函数（）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；（）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。12(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，将f(x)的最小值记为g(t).()求g(t)的表达式；()诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.实战训练B1（07福建）已知对任意实数，有，且时，则时（ ）ABCD2（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）3（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）4（07江苏）已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为（ ）A B C D5（07江西）5若，则下列命题中正确的是（）ABCD6（07江西）若，则下列命题正确的是（ ）ABCD7（07辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值8（07全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三