新新学案系列高中数学1.3空间几何体的表面积与体积学案pdf新人教A必修2

新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 探究三 由直观图画平面图 图 看一看：如图所示， 有一对 对角为 的菱形 ， 它是某一 个平面图的直观图 想一想： 我们能画出它的平面图吗？ 如何画出来？ 如图 （） 所示， 先建立坐标 系 ， 再建立一个直角坐标系 ， 如图 （） 所示 在轴上截取线段 ， 使 ， 在轴上截取线 段， 使 过点作 ， 过点作 ， 使 、 交 于点， 则四边形 就是菱形 的实际平面图， 如图 （） 所示 （ ） （ ）（ ） 图 提升总结： 由直观图到平面图的画法： 由直观图到平面图形， 实际上就是画直观图的逆过程， 在这个过程中它主要是： 平行于 轴的线段， 画出时长度不 变； 平行于 轴的线段， 画出时长度变为原来的倍 跟踪练习 图 是水平放置的 的直观图 ， 轴， 则 是（ ） 等边三角形 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形 图 图 水平放置的 的斜二测直观图如图 所 示， 已知 ， ， 则 边上的中线的实际长度 为 反思感悟 画水平放置的平面图形的直观图的步骤为： 画轴（ 让 尽量多的点在坐标轴上） ； 取点； 成图在图形中， 平行于轴 的线段， 在直观图中保持其长度 ， 平行于轴的线 段， 在直观图中长度 ， 规则可简记为横不变纵减 半， 还原图形的过程， 是画直观图的逆过程， 它主要包括 平行于轴的线段长度不变， 平行于轴的线段长度变为原 来的倍 画立体图形的直观图， 在画轴时， 要多画一条与 平面垂直的轴 ， 且平行于 的线段， 在直观图中的长 度不变， 其他与平面图形直观图的画法一致 对图中与坐标轴不平行的线段可通过确定端点的办 法来解决； 过线段的端点作坐标轴的平行线段， 确定平行线 段的端点在直观图中的位置， 有了端点在直观图中的位置， 一切问题便迎刃而解 对于一些常见几何体（ 柱、 锥、 台、 球） 的直观图， 应该 记住它们的大致形状， 以便可以较快且准确地画出 空 空间间几几何何体体的的表表面面积积与与体体积积 柱体、 锥体、 台体的表面积 学习目标 进一步认识柱、 锥、 台及简单组合体的结构特征， 掌握 它们的有关概念 了解推导柱、 锥、 台的表面积的计算公式的过程 学会利用柱、 锥、 台的表面积公式解决一些简单的实 际问题 情境创设 我们已经学习过空间几何体的有关知识， 知道有关几何 （ ）（ ） 图 体的结构特征， 如图中两个 几何体的结构特征如何？这两个 几何体的表面积又如何得到？ 合作探究 探究一 柱体的表面积 看一看： 如图所示， 棱柱是由多个平面图形围成的 几何体， 将它沿棱剪开， 展开可得图中阴影所示的平面图形 图 想一想： 棱柱的表面积如何得到？ 观察图可得， 棱柱的表面积就是阴影所示的平面 图形的面积之和， 所以可将其展开求表面积， 棱柱的侧面展 开图是平行四边形， 上、 下底面面积不变图为一个长 方体的展开图， 所以长方体的表面积就是展开图的面积， 即 为长方体的侧面面积和底面面积之和 图 看一看： 如图所示， 将圆柱沿 一条母线剪开后， 展开图是一个矩形 想一想： 圆 柱 的 表 面 积 是 指 什 么？如何得到？ 如图阴影所示的矩形， 一 边长为母线长， 另一边长等于圆柱底 空间几何体第一章 学 习 札记 面圆的周长， 这个矩形的面积加上上、 下两个底面圆的面积 就是圆柱的表面积 设圆柱底面半径为， 母线长为， 则圆柱的底面积为 底 ， 侧面面积为圆柱侧 ， 所以可得到圆柱的表 面积为 （） 提升总结： 柱体的表面积公式： （） 棱柱的表面积： 表面积侧底； （） 圆柱的表面积： 表面积 （） 温馨提示： （） 侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱， 其侧 面展开图为矩形， 由矩形面积公式可以得出直棱柱的侧面积 的计算公式设直棱柱的侧棱长为， 底面周长为， 则直棱 柱的侧面积计算公式： 直棱柱侧 （） 比较圆柱的侧面积公式圆柱侧 与直棱柱的 侧面积公式直棱柱侧， 可以发现它们有一个共同的特 点： 都是用底面周长和侧棱（ 母线） 表示的， 因此柱体的侧面 积公式为侧， 其中为直截面周长， 为侧棱长 例 若一圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方 形， 则该圆柱的表面积是 跟踪练习 正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点， 则 正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（ ） 槡 槡 槡 槡 探究二 锥体的表面积 看一看： 如图所示， 棱锥的每个侧面都是三角形， 图为一个正四棱锥（ 底面是正方形， 顶点在底面上的 射影是底面的中心） 的展开图 想一想： 棱锥的表面积如何计算？ 由图可得， 设法求出这些三角形各自的面积， 然 后再相加即可得到棱锥的侧面积， 再与底面积相加， 即可得 到棱锥的全面积， 所以正四棱锥的表面积就是侧面四个三角 形面积与底面面积之和 图 图 看一看： 如图所示， 将圆锥沿一条母线剪开， 展开 在一个平面上， 其展开图是一个扇形 想一想： 圆锥的表面积如何计算？ 由图可得， 圆锥的表面积是侧面展开的扇形面积 再加上底面面积之和 设为圆锥底面半径， 为圆锥的母线长， 则圆锥底面面 积和侧面积分别是：圆锥底 ， 圆锥侧 ， 所以圆锥的表 面积为 （） 提升总结： 锥体的表面积公式： （） 棱锥的表面积：表面积侧底； （） 圆锥的表面积：表面积（ ） 温馨提示： 锥体的侧面积公式 （） 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形， 所 以正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半， 即 若正棱锥底面正边形的边长为， 斜高为 ， 则每个侧面的 面积是 ， 所以正棱锥的侧面积为正棱锥侧 （ ） （ ） 计算圆锥的侧面积时， 要注意扇形面积的计算公式 例 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面， 它 们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ） 跟踪练习 已知圆锥的全面积是底面积的倍， 那么该圆锥的侧 面展开图扇形的圆心角为（ ） 探究三 台体的表面积 看一看： 如图所示， 一个棱台的侧面展开图由若 干个梯形拼接而成 想一想： 棱台的表面积如何计算？ 由图可得， 一个正四棱台的展开图， 其侧面积为各个 梯形之和， 然后求出底面面积再相加， 即可得到棱台的表面积 图 图 看一看： 如图所示， 圆台可以看成是由一个平行 于底面的平面截圆锥得到的 想一想： 圆台的表面积又如何计算？ 由图可得， 圆台的侧面展开图是一个扇环， 其表 面积是侧面积和两底面面积之和 如图所示， 设圆台的上、 下底面半径分别为 、 ， 母线长为， 则圆台侧（ ） （ ） ， 其中 、 分别为上、 下底面的半径， 、分别为上、 下底面的周长， 为圆台的母线长， 所以圆台的表面积公式为（ ） 提升总结： 台体的表面积公式： （） 棱台的表面积：表面积侧上底下底； （） 圆台的表面积：表面积侧上下 温馨提示： （） 台体的表面积可以转化为锥体的表面积， 即一个台体可以看成是用一个平行于底面的平面截一个锥 体， 截去一个小锥体就得到一个台体 （） 设截得圆台的圆锥的母线长为 ， 圆台的上、 下底面 半径分别为 、 ， 母线长为， 则扇形圆心角为 ， 所以 （） ， 所以 ， 所以圆台侧 大扇形小扇形 （ ） （） （） （ ） 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 例 正四棱台两底面边长分别为和（ ） （） 若侧棱所在直线与上、 下底面正方形中心的连线所 成的角为 ， 求棱台的侧面积； （） 若棱台的侧面积等于两底面面积之和， 求它的高 跟踪练习 圆台的较小底面半径为， 母线长为， 一条母线和底 面的 一 条 半 径 有 交 点 且 成 角，则 圆 台 的 侧 面 积 为 圆台的上、 下底面面积之比为， 圆台的中截面把 圆台的侧面分成两部分， 则这两部分面积之比为 反思感悟 柱体、 锥体、 台体的表面积有时也称为全面积， 它等于 与 之和 柱体、 锥体、 台体的侧面积等于其侧面展开图的面积， 这种把空间问题化归为平面问题的方法是解决空间问题的 基本思想方法 圆柱的侧面积公式圆柱侧 两种表达 式， 从两个不同的角度来描述圆柱的侧面积， 前一个是用圆 柱底面半径表示的， 侧重于“ 空间性” ， 后一个是用底面周长 表示的， 侧重于“ 平面性” 柱体、 锥体、 台体的体积 学习目标 进一步认识柱、 锥、 台及简单组合体的结构特征， 掌握 它们的有关概念 了解推导柱、 锥、 台的体积公式 学会利用柱、 锥、 台的体积公式解决一些简单的实际 问题 情境创设 我们在小学和初中已经知道长方体体积公式长方体 ， 其中、分别是长方体的长、 宽、 高，、分别 是长方体的底面积和高那么该如何计算柱、 锥、 台体的体积呢？ 由长方体体积的算法， 可以推出其他几何体体积的算 法我国古代对几何体体积的研究， 取得了光辉的成就， 并建 立了完整的理论体系， 这个理论的基础是祖!原理 祖!原理： 幂势既同， 则积不容异意思是夹在两个平行 平面间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所 截， 如果得到的两个截面的面积相等， 那么这两个几何体的 体积相等 聪明的阿基米德 相传叙拉古国国王让工匠替他做了一顶纯金的王冠， 做 好后， 国王疑心工匠在金冠中掺了假， 但这顶金冠却与当初 交给工匠的纯金一样重， 到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验 真假， 又不能破坏王冠， 这个问题不仅难倒了国王， 也使诸大 臣们面面相觑 后来， 国王请阿基米德来检验， 最初， 阿基米德也是苦思 冥想而不得要领一天， 他去澡堂洗澡， 当他坐进澡盆里时， 看到水往外溢， 同时感到身体被轻轻地托起， 他突然悟到可 以用测定固体在水中排水量的办法， 来确定金冠的比重， 他 兴奋地跳出澡盆， 连衣服都顾不得穿就跑了出去， 大声喊着： “ 我知道了， 我知道了！ ” 他经过进一步的实验后来到皇宫， 他把王冠和同等质量 的纯金放在盛满水的两个盆中， 比较两盆溢出来的水， 发现 放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多， 这就说明王冠的体积 比相同质量的纯金的体积大， 所以证明了王冠里掺进了其他 金属 聪明的同学们， 你明白了吗？那么体积怎么求呢？让我 们一起学习下面的知识吧！ 合作探究 探究一 柱体的体积 看一看： 如图所示， 设底面积等于， 高为的任意 一个柱体， 取一个与它底面积相等， 高也相等的长方体把它们 的下底放在同一平面上， 因为它们的上底和下底平行， 并且高 相等， 所以它们的上底在一个与平面平行的平面上 图 想一想： 这两个 柱 体 的 体 积之间的关系如何？ 根据祖 !原理， 用 和 平 面 、 平面平行的任意平面去 截图中的柱体， 所得截 面都和它们的底面相同， 因而 这些截面的面积都等于， 因此它们的体积相等 议一议： 根据长方体的体积公式， 我们能得到一般柱体 的体积公式吗？ 因为长方体的体积等于底面积乘高， 所以柱体的体积就 等于底面积和高的乘积， 即柱体 ， 另外， 若柱体是 圆柱， 底面半径为， 高为， 则柱体 空间几何体第一章 学 习 札记 图 例 如 图，直 三 棱 柱 的高为 ， 底面三角 形的边长分别为 、 、 ， 以 上、 下底的内切圆为底面， 挖去一个圆 柱， 求剩余部分形成的几何体的体积 （ 取 ） 分 析 体积可由切割法完成， 而本 题主要考查由直角三角形 求内 切圆面积 跟踪练习 长方体的过一个顶点的三条棱长的比是， 体 对角线的长是 槡 ， 则这个长方体的体积是（ ） 探究二 锥体的体积 看一看： 如图 所示， 设有一个棱锥和一个圆锥， 它 们的底面积都是， 高都是， 把这两个锥体放在同一水平面 上， 这时它们的顶点都在和平面相距的平行平面上 图 想一想： 这些锥体的体积有什么样的关系？ 如图 ， 用任意平行于的平面去截它们， 截面 分别与底面相似， 设平面截棱锥、 圆锥所得截面面积分别 为、， 截面和顶点距离 ， 则 ， ， 所以 ， 即， 所以这两个锥体的体积相等 提升总结： 等底面积， 等高的两个锥体的体积相等 议一议： 根据柱体的体积公式能得出锥体的体积公式吗？ 如图 ， 把看做三棱锥、的公共顶点， 因为 它们有等底 ， 和等高， 我们得到； 再 把看 做 棱 锥、的 公 共 顶 点， 它 们 有 等 底 ， 和等 高， 所 以因 此 三棱柱， 即锥体的体积锥体 图 提升总结： 锥体的体积公式： （） 棱锥： （ 为底面积，为棱锥的高） ； （） 圆锥： （为底面积，为圆锥的 高， 为底面半径） 图 例 如图 ， 过圆锥 的两 个三等分点分别作平行于底面的截面， 两 截面将圆锥的侧面分成三部分： （） 求三部分侧面面积的比； （） 求圆锥被分成的三部分的体积比 （ 由上到下） 跟踪练习 设正六棱锥的底面边长为， 侧棱长为槡， 则它的体 积是（ ） 槡 槡 槡 探究三 台体的体积 想一想： 台体是用平行于锥体底面的平面截锥体得到的， 当台体 被确定后， 被截去的小锥体也是确定的 如何来解决台体的体积问题？ 我们解决台体问题时， 常常是把截去的小锥体再补上， 以锥体的体积来解决台体的体积 试一试： 如何根据锥体体积公式得到台体的体积公式？ 设台体的上底面面积是 ， 台体的下底面面积是， 高 是， 截台体时被截去的小锥体的高是 ， 根据锥体的截面 性质知槡 槡 ， 解得 槡 槡槡 ， 所以台体 （ ） （ ） （ ） 槡 槡槡 （槡 ）， 即台体 （槡 ） 特别地， 如果圆台的上、 下底 面半径是 、 ， 高是， 则它的体积是圆台 （ ） 提升总结： 台体的体积公式： （） 棱台： （ 上上 槡 下下） （为棱台的高） ； （） 圆台： （上 上 槡 下下） （ ） （ 为圆台的高，、 为圆台上、 下底面半径） 新新学案高中数学必修（ 人教实验版） 学 习 札记 图 例 如图 ， 三棱柱 中， 若、 分别为 、 的中点， 平面 将三棱柱分成体积为（ 棱台 的 体积） 、 的两部分， 求： 跟踪练习 圆台的上、 下底面半径和高的比为， 母线长 为 ， 则圆台的体积为（ ） 反思感悟 体积问题主要是求 和 ， 对于数学方 法要注意将空间问题转化为平面问题 对圆柱、 圆锥、 圆台， 要特别注意应用它们的轴截面， 轴截面是联系底面半径、 母线、 高的有效工具 对于组合体（ 多面体与旋转体） 问题， 首先应进行正确 地分割或补形， 使之成为几个简单 或 ， 再 进行体积或其他相关量的求解 对于柱体、 锥体、 台体的体积公式， 重在理解其来源过 程， 注重思想方法及推导， 而不要求记忆公式 等 且等 的两个锥体的体积相等等 底面积等高的锥体的体积是柱体体积的 球的表面积和体积 学习目标 了解球的体积公式并会用体积公式进行有关的计算 了解球的表面积公式并能用表面积公式进行相关的计算 会确定球的半径并能处理与球有关的截面问题 情境创设 王元买瓜 王元是我国著名的数学家， 中国科学院院士， 华罗庚数 学奖得主， 解析数论是他的主要研究领域据说有一次王元 先生和太太去买西瓜， 摊主不称重， 分大瓜小瓜卖， 大瓜元 一个， 小瓜元一个， 看到大瓜小瓜尺寸差别不是很大， 很多 人都拼命往小瓜那边挤王太太也是这样， 却听见王元先生 说： “ 买那个大的” “ 大的价格是小的倍呢” 王太太犹 豫“ 大的比小的值” 王先生说王太太挑了两个大瓜， 交了 钱， 看看别人都在抢小瓜， 似乎又有些犹豫， 王先生看出她犹 豫， 笑笑说： “ 你吃瓜吃的是什么？吃的是容积， 不是面积那 小瓜的半径最大是大瓜的 ， 容积可是按立方算的小的容 积不到大的 ， 当然买大的赚” 王太太点点头， 又摇摇头： “ 你算得不对， 那大西瓜皮厚， 小西瓜还皮薄呢， 算容积， 恐怕 还是买大的吃亏” 却见王先生胸有成竹， 点点头道： “ 嘿嘿， 你别忘了那小西瓜的瓜皮却是个瓜的， 大西瓜只有个， 哪个皮多你再算算表面积看” 王太太说： “ 头疼， 我不算了” 图 两个人抱了西瓜回家你能帮王太太算算吗？ 如图 所示， 一个圆锥形的空杯子 上面放着一个半球形的冰淇淋， 如果冰淇淋融 化了， 会溢出杯子吗？要解决此类问题， 需要利 用球的体积公式 合作探究 探究一 球的体积 看一看： 如图 所示， 我们已熟悉圆柱的体积公 式， 能不能利用圆柱的体积来探求球的体积？ 图 我们先研究半球（ 半径为） 的体积计算， 可以利用前面 的知识（ 祖!原理） ， 找到一个能够求体积的圆柱， 使它和半 球的高度相等， 并且用任何一个水平面去截它们时， 得到的 半球的截面和新几何体截面相等（ 如图 ） 试一试： 如图 所示， 设平行于大圆且与大圆的距 离为的平面截半球所得圆面的半径为， 槡 ， 于 是截面面积 （ ） 可以看成 是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆， 所得圆 环的面积 为此， 我们取一个底面半径和高均为的圆柱， 从圆柱 中挖去一个以圆柱的上底面为底面， 下底面圆心为顶点的圆 锥， 把所得的几何体与半球放在同一水平面上（ 图 ） 用任一水平面去截这两个几何体， 截面分别为圆面和圆 环面由上述可知： 圆环大圆半径为， 小圆半径为， 面积 （ ） ， 所以 根据祖!原理， 这两个几何体体积相等， 即 球 ， 空间几何体第一章 学 习 札记 所以球的体积球 提升总结： 半径为的球的体积公式是球 例 据说阿基米德死了以后， 敌军将领马塞拉斯给他 图 建了一块墓碑， 以此纪念在墓碑上刻了一个 如图 所示的图案， 图案中球的直径与 圆柱底面的直径和圆柱的高相等， 圆锥的顶点 在圆柱上底面的圆心， 圆锥的底面是圆柱的下 底面试 计 算 出 图 形 中 圆 锥、 球、 圆 柱 的 体 积比 跟踪练习 三个球的半径比是， 那么最大球的体积是其 余两球体积和的倍数为（ ） 探究二 球的表面积 读一读我们知道， 设球的半径为， 则它的表面积由半 径唯一确定， 即它的表面积是以为自变量的函数， 我 们运用“ 分割， 求近似和， 再由近似和转化为准确和” 的方法 探求球的表面积 图 （） 分割： 如图 ， 把球的表面分成个“ 小 球面片” ， 设 它 们的表面积 分别是， ， ， 那么， 球的表面积 把球心和每一个“ 小 球面片” 的 顶 点连接起来， 整个球体就被分割成个以这些“ 小球面片” 为底， 球心为顶 点的“ 小锥体”例如， 球心与第个“ 小球面片” 顶点相连后， 就得到一个以点为顶点， 以第个“ 小球面片” 为底面的 “ 小锥体” （ 图 ） ， 这样的“ 小锥体” 的底面是球面的一 部分， 底