二重积分计算法.ppt

一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,化二重积分为两次定积分,一、直角坐标系下二重积分的计算,积分区域D为X型区域,积分区域D为Y型区域,积分区域D既不是X型，也不是Y型,积分区域D既是X型，也是Y型,如果区域D可以表示为不等式j1(x)yj2(x),axb,则称区域D为X型区域.,积分区域D为X型区域,直线与D的边界至多有两个交点,积分区域D为Y型区域,直线与D的边界至多有两个交点,如果区域D可以表示为不等,cyd,则称区域D为Y型区域.,积分区域D既是X型，也是Y型,积分区域D既不是X型，也不是Y型转化成X型或Y型,提示zf(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.,提示截面是以区间j1(x0),j2(x0)为底、以曲线zf(x0,y)为曲边的曲边梯形.,提示根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.,设f(x,y)0,D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb.,二重积分的计算利用已知平行截面面积的立体求体积,对于x0a,b,曲顶柱体在xx0的截面面积为,曲顶柱体体积为,如果D是X型区域:D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb,则,上式也可以记为,如果D是Y型区域:D=(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd,则,二重积分的计算,先对x后对y的二次积分,先对y后对x的二次积分,注意：,积分区域的形状：对于X型（或Y型）,积分限的确定,对于X型（Y型）区域D，用直线x=x(y=y)由下至上（由左至右）穿过D，穿入（出）点为对应积分的下（上）限。,外层积分的上、下限均为常数；内层积分上、下限只能是外层积分变量的函数或常数，不能与内层积分变量有关。,两种特殊情形,则积分顺序可交换,如果D是X型区域:j1(x)yj2(x),axb,则,计算二重积分的步骤,如果D是Y型区域:y1(y)xy2(y),cyd,则,(1)画出积分区域D的草图.,(2)用不等式组表示积分区域D.,(3)把二重积分表示为二次积分:,(4)计算二次积分.,注意积分次序的选择,解：,若先对x再对y就求不出来,提示:,由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的8倍.,【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.,解,设这两个圆柱面的方程分别为,x2y2R2及x2z2R2.,所求立体的体积为,【例5】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.,解,设这两个圆柱面的方程分别为,x2y2R2及x2z2R2.,所求立体的体积为,二、利用极坐标计算二重积分,有些二重积分,其积分区域D或其被积函数用极坐标变量、q表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.,提示,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,.,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,其中,表示相邻两圆弧的,半径的平均值,.,在极坐标系下的二重积分,在极坐标系下二重积分的计算,如果积分区域可表示为D:j1(q)j2(q),aqb,则,讨论区域如下图,如何确定积分限?,极点在积分区域的边界上,极点包围在积分区域D的内部,极点包围在积分区域D的内部,【例7】将下列区域用极坐标变量表示,习题：书P155第11题,解,在极坐标系中闭区域D可表示为0a02,【例9】求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍,在极坐标系中D可表示为,【例9】求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍,其中,D,为半圆周,及,x,轴所围成的闭区域,.,在极坐标系中D可表示为,使用极坐标变换计算二重积分的原则,（1）积分区域