山东省济宁一中2020年高考数学（人教A版选修2-1）第一轮复习教学案：第一章常用逻辑用语

选修21第一章常用逻辑用语课标研读课标要求1命题及其关系 了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.2简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.3全称量词与存在量词 理解全称量词与存在量词的意义. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.命题展望逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，基本的逻辑知识是认识问题研究问题不可缺少的工具，因此也是高考的知识点之一。在高考中对常用逻辑用语的考查主要有两个方面：一是直接对它进行考查，主要有对命题真假的判断、复合命题的构成、命题的四种形式、充要条件与必要条件的判断、全称量词与存在量词的应用等，其中充要条件与必要条件的判断和命题真假的判断是高考的热点，这是因为在充要条件与必要条件判断和命题真假判断的问题中都要以其它章节的内容为载体，故更容易实现知识点的交汇与融合。这类题目虽然有一定的综合度，但难度一般不会太大，主要以选择题与填空题的形式考查。别一方面，就是将逻辑知识作为工具来考查，事实上，高考试题都离不开命题，我们要注意命题的灵活运用，并使之成为我们理解意、分析解决问题的得力助手。第一讲命题及其关系、充要条件与必要条件知识梳理知识盘点一命题1命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的叫做命题。其中判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做。2命题的结构：在数学中，具有“若则”这种形式的命题是较为常见的，我们把这种形式的的命题中的叫做，叫做。二四种命题及其相互关系3四种命题的概念：一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若则；逆命题：；否命题：；逆否命题：。关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的；（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的；（3）交换原命题的条件和结论，同时进行否定，所得的命题是原命题的。4四种命题之间的关系四种命题之间的相互关系如下图所示：互否为逆为逆互否互否互否互逆原命题若p则q互逆逆命题若q则p逆否命题若则逆否命题若则由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性。5反证法由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困难时，可以通过证明，来间接地证明原命题为真命题，这种证明的方法，称作是。用反证法证明的步骤如下：（1），即假设结论的反面成立；（2）从出发，经过推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，。三充分条件与必要条件6若，则叫做的 条件，则叫做的 条件；若，则叫做的 条件，简称为 条件.7如果且，我们称为的 条件，如果且，则我们称为的 条件.二判断充要条件的方法8命题判断法 设“若则”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则是的 条件；(2)原命题为假，逆命题为真时是的 条件；(3)原命题与逆命题都为真时，是的 条件；(4) 原命题与逆命题都为假时，是的 条件.9集合判断法从集合的观点看，建立命题相应的集合：成立，成立，那么：(1)若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(2) 若，则是的 条件，若时，则是的 条件；(3)若，则是的 条件，若且时，则是的条件.特别提醒1否命题与命题的否定是不相同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定。如果原命题是“若则”，否命题是“若，则”，而命题的否定是“p则”，即只否定结论。2当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而得出原命题的真假。3反证法常用于证明如下形式的问题：否定性问题、存在性问题、唯一性问题，至多、至少问题，结论的反面比原结论更具体更易于研究和掌握的问题。4充要条件与必要条件具有以下两个特征：(1)对称性：若是的充分条件，则是的必要条件，即“”“”；(2)传递性：若是的充分(必要)条件，是的充分(必要)条件，则是的充分(必要)条件.在学习充分条件与必要条件时，要注意“当且仅当”，“必须且只须”等都是充要条件的等价说法.基础闯关1命题“若”的否命题是（ ）（A 若 （B）若（C） 若 （D）若2下列四个命题中真命题是“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 “面积相等的三角形全等”的否命题 “若m1，则方程x22x+m=0有实根”的逆否命题 “若AB=B，则AB”的逆否命题（A（B（C（D）3在ABC中，“A30”是“sinA”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4命题“若m0，则关于x的方程x2+xm=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_5“”是“”的 条件.6(06年上海卷)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 条件.典例精析例1判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。（1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：，方程无实根.（4）（5）人类在2020年登上火星.剖析对于判断是否是命题的问题，主要根据命题的定义加以判断。命题的定义是“可以判断真假的陈述句”，因此说，要想判断一个语句是否是命题，主要判断两个方面：一是所给出的语句是否能判断真假，另一方面，是要看这个语句是不是陈述句。而对于（1）中的反意疑句句，如果将它转化为陈述句即为“矩形是平行四边形”，是可以判断真假的，从而是命题；（2）这是疑问句，题设条件没有对语句的真假作出判断，不是命题；（3）是祈使句；（4）是开语句；（5）这是一种特殊的陈述句，但是目前为止无法判断真假，但是但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假，所以也是命题。解（1）是命题，且是真命题。（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断。（3）不是命题，是祈使句。（4）是开语句，不是命题。（5）是命题。但目前无法判断真假。警示并不是任何语句都是命题，只有那些可以判断真假的陈述句才是命题，一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；在数学与其它科学技术中，还有一些陈述句也经常出现，如“我明天去看电影”，“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”（歌德巴赫猜想）等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想也算做是命题。变式训练：1判断下列语句是不是命题，如果是，请判断它们的真假，如果不是，请说明理由。（1）是有理数；（2）112；（3）非典型性肺炎是怎样传播的？（4）；（5）没有一个无理数不是实数.例2写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。剖析由定义写分别写出其逆命题、否命题、逆否命题与命题的否定，然后判断其真假；也可利用命题间的等价性来判断.解逆命题：若，则或，是真命题；否命题：若且，则，是真命题；逆否命题：若，则且，是真命题。命题的否定：若或，则，是假命题。警示要注意否命题与命题否定的区别。否命题是同时否定命题的条件和结论所得到的新命题，而命题的否定是否定命题的的结论后所得到的新命题。还应注意一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：正面词语等于（）大于（）小于（）有是都是全是否定词语不等于（）不大于（）不小于（）无不是不都是不全是正面词语任意的任意两个至少有一个至多有一个所有的至多有个或否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些至少有个且变式训练2（07年全国100所名校）命题“所有的奇数的立方是奇数”的否定是.3（05江苏卷）命题“若，则”的否命题是.例3（06年上海卷）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由剖析题(1)设出直线方程，讨论解的情况即可得证，但需注意直线斜率是否存在，故需讨论；也可以巧设直线，避免讨论.(2)若判断一个命题是假命题，只需要举出反例即可。解（1）证法一设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,). =3；当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 又 ， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题。证法二设直线：代入抛物线y2=2x消去，得.设，则，从而=，“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题。(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上.警示由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).另外，在本题中“在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点”是大前提。对于有大前提的原命题，在写出它的逆命题、逆命题与否命题时，应保留这个大前提。此外，本题也可以对原命题的否命题进行类似的研究，判断四种命题真假的常用途径：一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假，这种方法也时能够简化解题过程.另外还要注意原命题与其否命题并不总是真假性相反的.对于(2)的证明如下：证明设直线：代入抛物线y2=2x消去，得.，设，则，=，令得或.此时直线过点()或()，故原命题为假命题。变式训练4已知函数在上是增函数，写出命题“若，则”的逆命题，并判断其真假。若写出的是真命题，给出证明；若写出的命题是假命题，给出反例。例4已知，求证：，三式中至少有一个不大于.剖析本题若从正面入手，难以找到思路，故可以采用反证法。证明（用反证法）若，三式中都大于.则有（）而，三式相加得，此与（）式矛盾，故假设错误，从而原命题成立。警示当利用直接证法或分析法证明命题较为困难时，可以从命题的反面出发，利用“反证法”探求解题思路。变式训练5若为互不相等的实数，证明：，这三个方程不可能都有等根。例5求关于的方程 的两个实根都大于1的充要条件。剖析有的同学认为首先方程应该有两个根，亦即，那么再由根与系数的关系可得：.其实这种作法是错误的，产生错误的主要原因是利用了“必要不充分条件”代替了“充要条件”，这是因为，但是.例如：对本题来说，若取时，的两根为不是所求的充要条件.解法一设方程的两个根为，则解得，故所求的充要条件是.解法二记，故所求的充要条件是：解得，故所求的充要条件是.警示有关充要条件探求的问题中，易犯的错误是用“必要条件(或充分条件)”去代替“充要条件”。由此要进一步理解学习充要条件的目的，即准确把握“若则”的命题中条件与结论的逻辑关系，提高正确进行数学判断的能力。变式训练6已知实系数一元二次方程有一个根在1与2之间，另一个根在2与3之间，试写出它的一个充要条件。例6已知数列 、，其中 、是等比数列.对于任意正整数，、都成等差数列，且.试证明：“数列成等比数列”的充要条件是“数列 与公比相等”.剖析 本题的条件是“数列 与公比相等”，结论是“数列成等比数列”，所以证明必要性即证明“若数列 与公比相等，则数列成等比数列”，充分性即证明“若数列成等比数列，则数列 与公比相等”.证明充分性 设数列 与的公比都是，则，而，又，故是公比为的等比数列.充分性得证. 必要性 若数列是等比数列，设数列 ,的公比分别为，则，由得： (4)将(2)的两边平方得 (5)比较(4)(5)两式得，故，即数列 与公比相等.必要性得证.警示一般来说，证明“是的充要条件”时，充分性应证，必要性应证；而证明“的充要条件是”时，充分性应证，必要性应证明.这是充要条件证明问题中最常见的两种情形，要仔细把握两者的区别与联系。变式训练7.证明：方程有两个同号不相等实根的充要条件是.例7. 设命题;命题,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.剖析利用等价性将“是的必要不充分条件”转化为“是的充分不必要条件”再来求解。或采用求得，所对应的集合后，再解出与所对应的集合进行求解，这里我们只采用第一种方法，第二种方法请同学们在课下练习.解设，易知，.由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即，故所求实数的取值范围是警示条件的充分性与必要性与命题的四种形式之间有着密切的关系，也就是说四种命题的形式是基础，对于一些直接利用定义较难作出判断的充要条件的问题，可利用逆否命题的等价性作出判断. 在进行充分条件与必要条件的推理判断中要注意以下几点：一是要弄清先后顺序，“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A且A推不出B，而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B且B推不出A；二是要善于举出反例，如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，则可以举出反例来说明一个命题是错误的；三是要注意转化，根据命题之间的关系我们可以知道：如果是的充分不必要条件，那么是的必要不充分条件；同理，如果是的必要不充分条件，那么是的充分不必要条件，如果是的充要条件，那么是的充要条件。变式训练8已知条件；条件，试问是的什么条件？例8. 已知集合，.（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件.剖析本例是典型的借助集合观点理解充要条件的题目，设实数的取值范围是Q，则的充要条件是Q；而的一个充分但不必要条件是Q为的一个真子集；的一个必要但不充分条件是求一个集合S，使得Q是S的真子集.解（1）由 ，得，因此的充要条件是；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分但不必要条件，就是在集合中取一个值，如取，此时必有；反之，未必有，故是所求的一个充分而不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合，故是它的一个真子集。如果时，未必有，但是时，必有，故是所求的一个必要而不充分条件.警示本题的（2）（3）小题的答案不唯一.如第（2）小题的答案还可以是2,1，2,1，5等无数多个值；第（3）小题的答案还可以是，4,5等.变式训练9证明：是直线与直线相互垂直的充分而不必要条件。能力提升1下列语句中，命题的个数是( )一个正整数不是质数就是合数；过平面内一定点只能作一条直线和已知直线平行吗？等边三角形难道不是等腰三角形吗？求证：没有实数根.(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题共组成了四个命题，这四个命题中( )(A)真命题的个数一定是奇数 (B) 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数(C)真命题的个数一定是偶数 (D)以上说法都不正确3. （05年天津卷）给出下列三个命题若,则；若正整数m和n满足,则；设为圆上任一点，圆O2以为圆心且半径为1.当时,圆O1与圆O2相切；其中假命题的个数为（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.（06年天津卷）设集合，那么“”是“”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.（07年山东淄博一模）已知直线y=2x上一点P的横坐标为a，有两个点A（-1，1），B（3，3），那么使向量 与夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ） ()1a2 ()0a2 () () 0a16.命题：“是偶数，则是偶数” 的逆否命题是 .7. (06年山东卷)下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.将函数y=的图象按向量v=(1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2若sin(+)= ,sin()=,则已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.8. 判断命题“若，则的图象与轴有两个交点”的逆否命题的真假。9. 求证：“ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的必要不充分条件.10.(07年山东日照一模)求关于的方程至少有一个正根的充要条件.11.已知且，求证：中至少有一个大于0.12. （1）是否存在实数，使得是的充分条件？（2）是否存在实数，使得是的必要条件？第二讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理知识盘点一逻辑联结词1逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如.2“且”记作；“或”记作；“非”记作.3命题，和的真假判断（1）当都是真命题时，为；为；为.（2）当有一个是真命题时，为；为.(3)当都是假命题时，为；为；为.上述语句可以描述为：对于而言“一假必假”；对于而言“一真必真”；对于而言“真假相反”。可以用下表来判断：（即真值表）真真真假假真假假二全称量词与存在量词4全称量词：短语、在逻辑中通常叫做全称量词，用符号来表示；含有全称量词的命题，叫做.全称命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为.5存在量词：短语、在逻辑中通常叫做存在量词，用符号来表示；含有存在量词的命题，叫做.存在命题“存在中一个，使成立” 可用符号简记为.6含有一个量词的命题的否定：含有一个量词的全称命题的否定，有以下结论：全称命题：，它的否定：；即全称命题的否定是.含有一个量词的特称命题的否定，有以下结论：全称命题：，它的否定：；即全称命题的否定是.特别提醒1对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在或中的“或”是指 “”与“”中至少有一个成立，可以是“且”，也可以是“且”，也可以是“且”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的；（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在且的“且”是指“”、“”都要满足的意思，即既要属于集合A，又要属于集合B；（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非”，当为真时，非为假，当为假时，非为真。若将命题对应集合，则命题非就对应着集合在全集U中的补集；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。2由于全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题，因此，可以通过“举反例”来否定一个全称命题。基础闯关1在命题“方程的解是”中使用逻辑联结词的情况是（）（A）没有使用逻辑联结词（B）使用了逻辑联结词“或”（C）使用了逻辑联结词“且”（D）使用了逻辑联结词“非”2（2020年山东省实验中学）有下列四个命题，其中真命题有：“若，则互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若，则有实根”的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；（ ）（A）（B） （C） （D）3（2020年淄博统考）下列命题中是全称命题的是（）（A）圆有内接四边形（B）（C）（D）若三角形的三边长分别为3,4，5，则这个三角形为直角三角形4设A、B为两个集合，下列四个命题：A B对任意A BA BABA B存在其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）5（2020年济宁期未）写出命题：的否定。6给出以下命题：，有；，使得；，对，使.其中的假命题是.典例精析例1在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题：“第一次射击中靶”，命题：“第二次射击中靶”，试用，及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次射击均中靶；（2）两次射击均未中靶；（3）两次射击恰好有一次中靶；（4）两次射击至少有一次中靶.剖析此题目是判断复合命题的形式，利用仔细分析命题的构成是解决此类题目的关键。解（1）因为“两次射击均中靶”的意思是“第一次中靶”，“第二次中靶”同时发生了，所以需用逻辑联结词“且”，应为：“且”；（2）“两次射击均未中靶”说明“第一次射击中靶”这件事情没有发生，也就是发生了，且“第二次射击中靶”这件事情也没有发生，也就是发生了，并且是与同时发生的，故用逻辑联结词联结应为：“且”；（3）“两次射击恰好有一次中靶”有可能是“第一次中靶而第二次未中”，即“且”；也有可能是“第一次未中，而第二次射中”即“且”；从而原命题用逻辑联结词联结应为：“且，或且”；（4）“两次射击至少有一次中靶”即“第一次射中”或“第二次射中”应为“或”。警示逻辑联结词是用来联结命题的，利用逻辑联结词可以将几个简单命题组合成较为复杂的命题。变式训练1 分别指出下列各命题的构成的“或” 、“且”和“非”的形式。（1）是无理数，是实数；（2），；（3）8或6是30的约数；（4）矩形的对角线垂直平分。例2（05年西安市模拟）指出下列命题的真假（1）命题“不等式没有实数解”；（2）命题“1是偶数或奇数”；（3）命题“属于集合，也属于集合”；（4）命题“”剖析先找出逻辑联结词，再判定命题的真假。解 （1）此命题为“非”的形式，其中：“不等式有实数解”，因为是该不等式的一个解，所以是真命题，即非是假命题，所以原命题是真命题。（2）此命题是“或”的形式，其中：“1是偶数”，：“1是奇数”，因为为假命题，为真命题，所以或是真命题，故原命题是真命题。（3）此命题是“且”的形式，其中：“属于集合”，：“属于集合”，因为为假命题，为真命题，所以且是假命题，故原命题是假命题。（4）此命题是“非” 的形式，其中：“”，因为为真命题，所以“非”为假命题，故原命题是假命题。警示为了正确判断含有逻辑联结词命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据真值表判定所构成的新命题的真假。关于复合命题，要理解以下两点：当且仅当个复合命题中至少有一个真命题时，复合命题“”是真命题，简称为“一真必真”；当且仅当个复合命题中至少有一个假命题时，复合命题“”是假命题，简称为“一假必假”；复合命题“”的否定命题是“”；复合命题“”的否定是“”.变式训练2判断下列复合命题的真假（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；（2）方程的根是；（3）对所有的正实数，为正数，且；（4）对于实数，若，则. 例3（2020年华师附中）已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围.剖析先将，化简，由“或”为真命题时推出的取值范围，而是假命题为其反面情况，进而求解。解由，得，显然，或，故或，又“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或，命题“或”为真命题时，或命题“或”是假命题，的取值范围为或. 警示本题涉及一元二次方程、一元二次不等式（组）、补集、“或”的复合问题，其实关于“或”与“且”这两类复合命题的判断与解答题目，在解答时只注意层层推进先将化简，然后根据题设条件推出所有的情况。变式训练3已知命题不等式的解集为,命题是减函数,若或为真命题, 且为假命题,求实数的取值范围. 例4写出下列命题的否定，并判断真假（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）有些实数的绝对值是正数； （4）某此平行四边形是菱形。剖析首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定。对于（1）来说，其否命题是：“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是“存在一个矩形不是平行四边形”，它与“所有的矩形都不是平行四边形”有区别，前者是指“存在一个矩形不是平行四边形”，并不排除有其它的矩形是平行四边形的可能。解（1）存在一个矩形不是平行四边形；假命题；（2）存在一个素数不是奇数；真命题；（3）所有的实数的绝对值都不是正数；假命题；（4）每一个平行四边形都不是菱形，假命题。警示要特别注意全称命题与特称命题的否定，简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词；一般来说，全称命题的否定变为特称命题，而特称命题的否定变为全称命题。变式训练4. 写出下列命题的否定（1）自然数的平方是正数；（2）任何实数，它不是的根；（3）对于任意实数，同时存在实数，使；（4）有些质数是奇数。例5判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）对数函数都是单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；（3）是无理数, x2是无理数；(4).剖析判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或特称量词，对于有的题目隐含了全称量词或特称量词，要注意对其进行改写来找到。对于（1）隐含了全称量词“任意的”，因此需要对其进行改写，（2）（3）（4）则从题目中可以看出全称量词与特称量词。解（1）本题隐含了全称量词“任意的”，其实原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；（2）命题中含有特称量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；（3）命题中含有全称量词“”，是全称命题，假命题，例如：但是有理数；（4）命题中含有特称量词“”，是特称命题，真命题。警示1要判断一个全称命题“”是真命题，需要对限定集合M中的每一个元素证明成立；如果在集合M中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称命题就是假命题（即通常所说的举出一个反例）；2要判定一个特称命题“”是真命题，只要在限定的集合M中至少找到一个，使成立即可；否则这一特称命题就是假命题。变式训练5判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）直线与轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于1800 .例6若：，如果对于，为假命题且为真命题，求实数的取值范围。剖析对于，为假命题，即对，不等式恒不成立；而对于，为真命题，即对于，不等式恒成立，从而求出相应的的取值范围。解由于，所以如果对于，为假命题，即对，不等式恒不成立，则；又对于，为真命题，即对于，不等式恒成立，所以，即；故对于，为假命题且为真命题，应有.警示所谓全称量词，就是在命题中用来表示完全概括的逻辑用语，用符号表示，含有全称量词的命题叫做全称命题；所谓的存在量词，就是用来表示部分概括的逻辑用语，用符号表示，含有存在量词的命题叫做特称命题。变式训练6已知，如果是假命题，是真命题，求实数的取值范围。能力提升1命题.下列结论正确的是（）（A） 为真 （B） 为真 （C） 为假 （D） 为真2设原命题：若a+b2，则a,b 中至少有一个不小于1。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A原命题真，逆命题假B原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题3（2020年杭州模拟）已知命题不等式的解集是R，命题在区间上是减函数。若命题“或”为真命题，命题“且”是假命题，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）4命题p：存在实数m，使方程x2mx10有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）A、 存在实数m，使得方程x2mx10无实根 B、 不存在实数m，使得方程x2mx10有实根C、 对任意的实数m，使得方程x2mx10有实根D、 至多有一个实数m，使得方程x2mx10有实根5已知命题：集合为虚数单位只有3个真子集；命题：集合与集合相等，则下列复合命题：P或Q；P且Q；非P；非Q中真命题有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个6命题“”的否定是：7命题“AB”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是_，其中构成它的两个简单命题分别是_。8(2020年山东样题)已知、是不同的直线，、是不重合的平面，命题p：若，则 命题q：若，则下面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）. 9令是真命题，则实数的取值范围是_.10(1)设集合边形：“内角和为”，试用不同的表述方式写出全称命题“”；（2）设集合四边形：对角线垂直平分，试用不同的表述方式写出存在命题“”。11（2020年淄博模拟）已知P：对任意恒成立；Q：函数存在极大值和极小值。求