高三数学第一轮复习：圆锥曲线的综合问题苏教版（理） 知识精讲

高三数学第一轮复习：圆锥曲线的综合问题苏教版（理）【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线的综合问题二. 教学目标：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质（4）了解圆锥曲线的初步应用三. 知识要点：解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计得非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号【典型例题】例1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为ac，这样就把问题转化为求a，c或ac解：建立如上图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（c，0）处，椭圆的方程为+=1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足xFA=（或xFA=）作ABOx于B，则FB=FA=m，故由椭圆的第二定义可得m=（c） 且m=（c+m）两式相减得m=m，a=2c代入，得m=（4cc）=c，c=mac=c=m答：彗星与地球的最近距离为m万千米点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ac，另一个是a+c（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质例2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60，试说明怎样运土最省工分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有MA+PA=MB+PB于是MAMB=PBPA=150100=50从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则MA+PA=MB+PB，MAMB=PBPA=50在PAB中，由余弦定理得AB2=PA2+PB22PAPBcos60=17500，且50AB由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为=1（a0，b0）2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，解之得a2=625，b2=3750M点轨迹是=1（x25）在半圆内的一段双曲线弧于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域（2）应用分类思想解题的一般步骤：确定分类的对象；进行合理的分类；逐类逐级讨论；归纳各类结果例3. 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x2=2p（y），点A（，0）在抛物线上，（）2=2p（0），得p=抛物线方程为x2=a（y）取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得22=a（y），y=由题意，令y3，得3，a0，a212a160a6+2又aZ，a应取14，15，16，答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m点评：本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的例4. 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a0，b0），且交抛物线y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求MON的大小分析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=由=0易得MON=90亦可由kOMkON=1求得MON=90（1）解：直线l的截距式方程为+=1（2）证明：由+=1及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0点M、N的纵坐标为y1、y2，故y1+y2=，y1y2=2pa所以+=（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=当a=2p时，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1所以OMON，即MON=90点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力例5. 已知椭圆C的方程为+=1（ab0），双曲线=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=时，求的最大值分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标将A的坐标代入椭圆方程可求得的最大值解：（1）双曲线的渐近线为y=x，两渐近线夹角为60，又0），由题意知，抛物线过点（2，2），4=2p2p=1x2=2y当y0=3时，得x02=6水面宽为2|x0|=2答案：B2、解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），由题意知其过定点（10，4），代入x2=2py，得p=x2=25y当x0=2时，y0=，最长支柱长为4|y0|=4=3.84（m）答案：B3、解析：设旗杆高为m，华表高为n，mn旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2n2）x2+（m2n2）y22a（m2n2）x+（m2n2）a2=0答案：B4、解析：由题意c=m+R， +c=n+R， c=，2b=2=2答案：A5、解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为y=a（x1）2+2，P点坐标为（0，1），1=a+2a=1y=（x1）2+2令y=0，得（x1）2=2，x=1水池半径OM=+12.414（m）因此水池直径约为2|OM|=4.828（m）答案：C6、解析：设抛物线方程为y2=2px（p0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，900=2p40 p=因此，光源到反射镜顶点的距离为 cm答案：7、解析：设M（x，y）为曲线上任一点，则|MA|MB|=3403=10200）将点（4，5）代入求得p=x2=y将点（2，y1）代入方程求得y1=+|y1|=+=2（m）答案：210、答案：解析：将双曲线方程化为标