高三数学 7向量法求空间角试题（通用）

高三数学 7向量法求空间角试题1利用向量求直线与平面所成的角 【例4】（2020届四川省南充市高三第一次高考适应）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.设直线C1N与CNB1所成的角为，则的值为 .【解析】 该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,两两垂直.以,分别为,轴建立空间直角坐标系，则,，设为平面的一个法向量，则 即，令，则。又则,从而.【评注】 由三视图确定几何体利用向量求线面角，要理清向量的夹角与空间角的关系，如：异面直线PA与DE所成的角的取值范围是(0，向量与所成的角，的取值范围是0，线面角的范围是0，且sin |cos，n|. 【变式1】四棱柱中利用向量求线面角（2020上海高考19） 如图，在长方体中，、分别是、的中点证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.因此直线与平面所成的角的大小为【变式2】四棱锥中利用向量求线面角（2020厦门市高三上学期质检）如图，菱形的边长为，对角线交于点，.若，上一点满足，则直线与平面所成角的正弦值为 2. .【解析】DE平面ABCD，OFDE，OF平面ABCD，以O为原点OA,OB,OF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面BCE的法向量为，则取，则设直线AF和平面BCE所成的角为，则sin=.2利用向量求二面角 【例5】（2020陕西高考理）如图，在直角梯形中，是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图 （I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值【解析】（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC即在图2中，BE ，BE OC从而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II) 由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以得 ，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.【评注】 在处理二面角问题时先求两平面的法向量的夹角，设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos|cos|. 遇到二面角的具体符号的取舍问题，一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角最后确定。 【变式1】三棱柱中利用向量求二面角（2020新课标全国卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.若，AB=BC，则二面角的余弦值为 1.【解析】注意题设的特殊性，合理建系算出二面角， 因为ACAB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以BOABOC,故OAOB,从而OA,OB,OB1两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为,所以CBB1为等边三角形,又AB=BC,.,.设是平面AA1B1的的法向量,则,即,所以可取.设是平面A1B1C1的法向量,则,同理可取.则，所以二面角的余弦值为. 【变式2】三棱柱中利用向量求二面角（15年广州市上学期期中）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知，在底面的射影是线段的中点则二面角的余弦值为 2. 【解析】 如图,