江苏省泰州市泰州中学2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

江苏省泰州中学2020学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、填空题。1.若矩阵 ，则_.【答案】【解析】试题分析：.考点：矩阵与矩阵的乘法.2.总体由编号为的个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取个个体，选取方法是从所给的随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为 _.【答案】【解析】【分析】根据随机数表的规则，依次读取在编号内的号码，取出第6个编号即为所求，重复的只算一次.【详解】解：由随机数表第行的第列和第列数字组合成的两位数为65，从65开始由左到右依次选取两个数字，将在内的编号依次取出，重复的只算一次，即依次选取个体的编号为，因此第个个体的编号为.【点睛】本题考查了利用随机数表进行抽样的问题，读懂抽样规则是解题的关键.3.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是_.【答案】【解析】试题分析：甲、乙、丙三人站成一排，共有种排法，其中甲、乙相邻共有种排法，因此所求概率为考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的计算方法(1)列举法：此法适合于较简单的试验(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求(3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便(4)排列、组合数公式法4.若按的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】列出二项展开式的通项公式，根据第二项不大于第三项和的关系构造不等式组，解不等式组可求得的范围.【详解】二项展开式的通项公式是：依题意，有，由此得：解得：，即取值范围为本题正确结果：【点睛】本题考查二项式定理的应用问题，属于基础题.5.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排，则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是_（用分数表示）【答案】【解析】【分析】求出三张卡片全排列和满足条件的事件的种数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】三张卡片全排列，共有种结果满足条件的事件共有种结果根据古典概型概率公式得到：本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.6.已知样本的平均数是，标准差是，则_.【答案】96【解析】，7.方程的解为_.【答案】【解析】试题分析：，由题意得或，解得.考点：组合.8.(2020江苏，4)如图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是_.【答案】2【解析】由题意得，故答案为点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项9.直线（为参数）上与点距离为，且在点下方的点的坐标为_.【答案】【解析】试题分析：，在点下方，所以所求点的坐标为.考点：参数方程.10.口袋中有个白球，个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为，若，则的值为_ .【答案】7【解析】【分析】首先确定第一次取出红球，第二次取出白球的取法种数；再确定取次的所有取球方法数；根据古典概型概率公式可构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】说明第一次取出的是红球，第二次取出的白球，取球方法数为取次的所有取球方法数利用，即 本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型概率公式应用问题，关键是能够确定符合题意的取法种数，属于基础题.11.在极坐标中，点，动点满足，则动点轨迹的极坐标方程为_ .【答案】【解析】试题分析：，设，由得，则.考点：极坐标与普通方程的转化.【易错点晴】本题主要考查了极坐标与普通方程的转化、平面解析法求点的轨迹、两角差的余弦公式.极坐标问题转化为普通方程来解决是极坐标题常用的方法，要求学生熟练极坐标与普通方程的互化公式.用平面解析法求点的轨迹也是本题的另一个考点，该方法也是研究轨迹的常用方法.本题难度不大，属于中档题.12.如图，在小地图中，一机器人从点出发，每秒向上或向右移动格到达相应点，已知每次向上移动格的概率是，向右移动格的概率是，则该机器人秒后到达点的概率为_.【答案】【解析】【分析】首先确定秒内向右移动次，向上移动次；从而可根据二项分布概率公式求得结果.【详解】由题意，可得秒内向右移动次，向上移动次则所求概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布概率公式的应用，属于基础题.13.的展开式中常数项是_ .【答案】【解析】【分析】将原式变为，列出二项展开式的通项公式；再列出展开式的通项公式，从而可知当时为常数项；根据的取值范围可求得，代入通项公式可常数项的各个构成部分，作和得到常数项.详解】由题意知：则展开式通项公式为：又展开式的通项公式为：当时，该项为展开式的常数项又，且或或则展开式常数项为：本题正确结果：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的问题，对于多项的展开式，可进行拆分，变为两项之间的关系再展开，得通项公式后，再次利用二项式定理展开，从而变为二元一次方程，通过讨论可得结果.14.已知数列为，.若数列为等差数列，则_.【答案】【解析】试题分析：，两边同乘以x，则有，两边求导，左边=，右边=，即（*），对（*）式两边再求导，得取x=1，则有考点：数列的求和二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.男运动员名，女运动员名，其中男女队长各人，从中选人外出比赛，分别求出下列情形有多少种选派方法？（以数字作答）男名，女名；队长至少有人参加；至少名女运动员；既要有队长，又要有女运动员.【答案】（1）种选法（2）种选法（3）196种选法（4）种【解析】第一问中，要确定所有的选法由题意知本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有种选法再选2名女运动员，有C42种选法第二问中，（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种第三问中，“只有男队长”的选法为种；“只有女队长”的选法为种；“男、女队长都入选”的选法为种；第四问中当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法不选女队长时，必选男队长，共有种选法其中不含女运动员的选法有种，解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有种选法再选2名女运动员，有C42种选法共有种选法（3分）（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类加法计数原理可得有种选法法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员选法有种所以“至少有1名女运动员”的选法有-=246种 （4分）（3）“只有男队长”的选法为种；“只有女队长”的选法为种；“男、女队长都入选”的选法为种；共有2+=196种“至少1名队长”的选法有C105-C85=196种选法 （4分）（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法不选女队长时，必选男队长，共有种选法其中不含女运动员的选法有种，不选女队长时共有-种选法既有队长又有女运动员的选法共有种 （4分）16.已知圆的极坐标方程：直线的极坐标方程：求圆心到直线的距离；若直线在矩阵 的交换下得到直线，求直线的直角坐标方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求得圆的普通方程为，直线的普通方程为，由点到直线的距离公式可求得距离；（2），.试题解析：圆，直线.（1）（2）考点：极坐标与普通方程的转化、点到直线的距离公式、矩阵的运算.17.如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且平面，为线段上一动点，记.当时，求异面直线与所成角的余弦值；当与平面所成角的正弦值为时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角相等或互补得结果，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面的一个法向量，再根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列等量关系，解得结果，详解：连接CE， 以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，因为F为线段AB上一动点，且，则， 所以（1）当时，所以（2），设平面的一个法向量为=由 , 得，化简得，取 设与平面所成角为，则.解得或（舍去），所以点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假设两人射击是否击中目标相互直线没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.求甲射击次，至少有次未击中目标的概率；求两人各射击次，甲恰好击中目标次且乙恰好击中目标次的概率；假设每人连续次未击中目标，则终止其射击，问：乙恰好射击次后，被终止射击的概率是多少？【答案】（）（）（）【解析】（1）甲至少一次未击中目标的概率是（2）甲射击4次恰击中2次的概率为，乙射击4次恰击中3次的概率为，由乘法公式，所求概率。（3）乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为。19.某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客举行抽奖活动，举办方设置了两种抽奖方案，方案的中奖率为，中奖可以获得分;方案的中奖率为,中奖可以获得分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品，（1）若顾客甲选择方案抽奖，顾客乙选择方案抽奖，记他们的累计得分为，若的概率为，求（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案或都选择方案进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大?【答案】（1）（2）当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当时，他们都选择方案或都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值相等【解析】【分析】（1）首先求解出对立事件“”的概率，再根据对立事件概率公式求得结果；（2）利用二项分布均值公式求解出和，根据均值的性质求得两人全选方案或方案的均值，比较两个均值的大小，得到不同取值的情况下应选取的方案.【详解】（1）由已知得，甲中奖的概率为，乙中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这人的累计得分”的事件为，则事件的对立事件为“” （2）设甲、乙都选择方案抽奖的中奖次数为，都选择方案抽奖的中奖次数为则这两人选择方案抽奖累计得分的均值为，选择方案抽奖累计得分的均值为由已知可得：，若，则 若，则 若，则 综上所述：当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大当时，他们都选择方案或都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值相等【点睛】本题考查对立事件概率的求解、二项分布均值求解及均值性质的应用问题，利用均值来解决实际问题，属于常规题型.20.对于给定的函数，定义如下：其中（1）当时，求证：；（2）当时，比较与的大小（3）当时，求