江苏省江阴市四校2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）

江苏省江阴市四校2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1. 不等式x2-5x+60的解集是（）A. 或B. 或C. 或D.2. 与的等比中项是（）A. B. C. D.3. 已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m的值为（）A. 8B. 4C. 8或4D. 以上答案都不对4. “a=-2”是“直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知数列an是递增的等比数列，a4=4a2，a1+a5=17，则S2020-2a2020的值为（）A. 1B. C. D.6. 若椭圆（其中ab0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）A. B. C. D.7. 若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是（）A. B. C. D.8. 南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给问：每等人比下等人多得几斤？”（）A. B. C. D.9. 若关于x的不等式x2-mx+40在x1，3上有解，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.10. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（）A. 4kmB. 5kmC. 6kmD. 7km11. 设f（n）=2+23+25+27+22n+7（nZ），则f（n）等于（）A. B. C. D.12. 已知等差数列an首项为a，公差为1，若对任意的正整数n都有bnb5，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13. 命题“xR，x2+2x+20”的否定为 14. 在等比数列an中，anan+1且a7a11=6，a4+a14=5，则=_15. 已知椭圆的方程为（ab0），过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，直线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率为_16. 已知x0，y0，且，则的最大值为_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知关于x的不等式：ax2-2（a+1）x+40，aR18. （1）当a=-4时，求不等式的解集；19. （2）当a0时，求不等式的解集20.21.22.23.24.25.26.27. 在等差数列an中，a2=3，a5=628. （1）求数列an的通项公式；29. （2）设，求数列bn的前n项和Sn30.31.32.33.34.35.36.37. 已知函数f（x）=x2+ax+338. （1）当xR时，f（x）a恒成立，求a的取值范围39. （2）当a4，6时，f（x）0恒成立，求x的取值范围40.41.42.43.44.45.46.47. 某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，ABC=90，ABCD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在AEF内试验养殖一种新的水产品，当AEF的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小设AE=d48. （1）若P是EF的中点，求d的值；49. （2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求AEF面积的最小值50. 在数列an中，已知，且2an+1=an+1（nN*）51. （1）求证：数列an-1是等比数列；52. （2）若bn=nan，求数列bn的前n项和Tn53.54.55.56.57.58.59.60. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设=61. （1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及的值；62. （2）若45，求椭圆C的离心率的取值范围答案和解析1.【答案】D【解析】解：不等式x2-5x+60化为（x-2）（x-3）0，解得2x3，所以不等式的解集是x|-2x3故选：D把不等式化为（x-2）（x-3）0，求出解集即可本题考查了求一元二次不等式解集的应用问题，是基础题2.【答案】C【解析】解：由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项，即有b=则两数与的等比中项是=故选：C由a，b，c成等比数列，可得b为a，c的等比中项，即有b=代入计算即可得到所求值本题考查等比中项的定义和求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题3.【答案】A【解析】解：椭圆的长轴在x轴上，m-210-m0，解得6m10，椭圆的焦距为4，c2=m-2-10+m=4，解得m=8故选：A利用椭圆的简单性质列出不等式求出m的范围，然后利用椭圆的焦距直接求解即可本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质4.【答案】A【解析】解：当a=-2时，l1：2x+y-3=0，l2：2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；若直线l1：ax-y+3=0与l2：2x-（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：a=-2，或a=1，不是必要条件，故选：A根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题5.【答案】B【解析】解：依题意，a4=4a2，所以q2=4，又a1+a5=17=a1+16a1，所以a1=1，因为数列an是递增的等比数列，所以q=2，所以S2020-2a2020=-222020-1=22020-1-22020=-1，故选：B由a4=4a2，得q=2，再将a1+a5=17，转化为a1的方程，求出a1，即可求出S2020-2a2020的值本题考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，属于基础题6.【答案】D【解析】解：椭圆（其中ab0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中ab0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：故选：D利用三角形F1F2M的周长以及离心率列出方程求解a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查7.【答案】A【解析】解：正数a、b满足ab=a+b+3，a+b2，当且仅当a=b时取等号，ab=a+b+3解不等式可得，3或-1（舍）则ab9故选：A由基本不等式可得，ab=a+b+3，解不等式可求本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题8.【答案】B【解析】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d=，每一等人比下一等人多得斤金故选：B根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案本题考查等差数列在实际问题中的应用，以及方程思想，是基础题9.【答案】A【解析】解：关于x的不等式x2-mx+40在x1，3上有解，即mx+在x1，3上能成立设f（x）=x+，则f（x）在（0，2上单调递减，在2，+）上单调递增，故当x=2时，f（x）取得最小值4，又f（1）=5，f（3）=，故当x=1时，函数f（x）取得最大值则实数m5，故选：A由题意可得mx+在x1，3上能成立设f（x）=x+，求出函数f（x）在x1，3上的最大值，可得m的范围本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应用问题，考查构造法以及转化思想的应用是基本知识的考查，属于中档题10.【答案】B【解析】解：由题意可设y1=，y2=k2x，k1=xy1，k2=，把x=10，y1=2与x=10，y2=8分别代入上式得k1=20，k2=0.8，y1=，y2=0.8x（x为仓库与车站距离），费用之和y=y1+y2=0.8x+24=8，当且仅当0.8x=，即x=5时等号成立当仓库建在离车站5km处两项费用之和最小应选B据题意用待定系数法设出两个函数y1=，y2=k2x，将两点（10，2）与（10，8）代入求出两个参数再建立费用的函数解析式用基本不等式求出等号成立的条件即可本题是函数应用中费用最少的问题，考查学生建立数学模型的能力及选定系数求解析式，基本不等式求最值的相关知识与技能11.【答案】D【解析】解：依题意，f（n）可以看作以2为首选，4为公比的等比数列的前n+4项的和，所以f（n）=，故选：D依题意，f（n）可以看作以2为首选，4为公比的等比数列的前n+4项的和，代入等比数列的求和公式即可本题考查了等比数列的前n项和，找到公比和项数是解题关键，本题属于基础题12.【答案】D【解析】解：等差数列an首项为a，公差为1，所以an=a+n-1，所以，则，若对任意的正整数n都有bnb5，所以（bn）min=b5=，所以，解得-5a-4故选：D直接利用数列的递推关系式求出函数的关系式，进一步利用函数的最小值和不等式的解法求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的关系式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13.【答案】x0R，x02+2x0+20【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可，命题的否定仅否定原命题的结论，主要与否命题概念的混淆。【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，x2+2x+20”的否定为：命题“x0R，x02+2x0+20”故答案为：x0R，x02+2x0+2014.【答案】【解析】解：a7a11=a4a14=6a4和a14为方程x2-5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2anan+1a4=3，a14=2q10=故=故答案为：根据等比中项的性质可知a7a11=a4a14求得a4a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x2-5x+6=0的两个根，求得a4和a14，则可求本题主要考查等比数列的性质解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解，简便了解题过程15.【答案】【解析】解：因为椭圆的方程为（ab0），过椭圆右焦点F且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，得FQ=，MF=-c，所以tan30=e，所以e=，故答案为：设F为右焦点，先求出FQ 的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得tan30=，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小16.【答案】-25【解析】解：依题意，x0，y0，且，所以x1，y1，且，即x+y=xy，所以=+=-9-4-（+），因为0，0，所以=-13-（+）-13-2=-13-2=-13-12=-25当且仅当x=，y=时等号成立故答案为：-25，所以，即x+y=xy，且x1，y1，再结合基本不等式即可得到的最大值本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键本题属于难题17.【答案】解：（1）根据题意，当a=-4时，原不等式化为-4x2+6x+40，变形可得：2x2-3x-20，解可得：-x2，即不等式的解集为（-，2）；（2）当a0时，原不等式变形可得（x-）（x-2）0，若a=1，则不等式为（x-2）20，其解集为x|x2，若a1，（x-）（x-2）0x2或x，不等式的解集为x|x2或x；若a1，（x-）（x-2）0x2或x，不等式的解集为x|x或x2；综合可得：a=1时，不等式的解集为x|x2，a1时，不等式的解集为x|x2或x；a1时，不等式的解集为x|x或x2【解析】（1）根据题意，当a=-4时，原不等式化为-4x2+6x+40，解可得x的取值范围，即可得不等式的解集；（2）当a0时，原不等式变形可得（x-）（x-2）0，按a的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，即可得答案本题考查不等式的解法，涉及含有参数问题的讨论，属于基础题18.【答案】解：等差数列an中，a2=3，a5=6可得d=1，a1=a2-d=2所以an=n+1（2）bn=数列bn的前n项和Sn=【解析】（1）利用等差数列关系式求出公差，然后求解数列的通项公式（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可本题考查数列通项公式的求法，数列求和的方法：裂项消项法的应用，考查计算能力19.【答案】解：（1）函数f（x）=x2+ax+3，当xR时，f（x）a恒成立，x2+ax+3-a0对任意xR恒成立，=a2-4（3-a）0，化简得a2+4a-120，解得：-6a2；（2）设g（a）=x2+ax+3，则由题可得：当a4，6时，恒有g（a）0，即解得，即x-3-或x-3+，x的取值范围是x|x-3-或x-3+【解析】（1）f（x）a恒成立，x2+ax+3-a0对任意xR恒成立，根据判别式进而求解；（2）设g（a）=x2+ax+3，转化成关于a的一次函数，进而求解（1）考查不等式恒成立，不等式与二次函数的联系，判别式的应用；（2）考查转化思想，将关于x的函数转化为关于a的函数20.【答案】解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）AC所在直线方程为y=2x，AD所在直线方程为y=-x设E（-2m，m），F（n，2n），m0，0P是EF的中点，解得，E（-960，480），d=|AE|=480（2）EF经过点P，kPE=kPF，即=，化简得80m+240n=mn由基本不等式得：mn=80m+240n160，即mn76800，当且仅当m=3n=480时等号成立kACkAD=-1，ACAD，SAEF=AEAF=mn=mn76800=192000，此时E（-960，480），d=AE=480故对原有水产品养殖的影响最小时，d=480AEF面积的最小值为192000m2【解析】（1）建立平面坐标系，求出直线AD，AC的方程，根据P为EF的中点列方程得出E点坐标，从而可计算d；（2）根据基本不等式得出AEAF的最小值，进而求出AEF的面积最小值本题考查了直线方程的应用，基本不等式的应用，属于中档题21.【答案】解：（1）2an+1=an+1（nN*）2（an+1-1）=an-1，a1-1=且an-10，=，数列an-1是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）可得：an-1=，an=bn=nan=n，Tn=（）+（1+2+n），令An=，=+（n-1）+n，两式相减可得，=，=1-An=2-2-