线性方程组的平方根解法

浅析线性方程组的平方根解法在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b的系数矩阵A是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：1) 正定矩阵A是非奇异的2) 正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵3) 正定矩阵A的主对角元素均为正数4) 正定矩阵 A的特征值均大于零5) 正定矩阵A的行列式必为正数定义一 线性方程组Ax=b的系数矩阵A是对称正定矩阵，那么Ax=b是对称正定线性方程组。 定义二 如果方阵A满足A=AT，那么A是对称阵。2.1.4平方根法和改进的平方根法如果A是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：定理2 若A为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，则A可惟一分解为：ALDLT，其中L为单位下三角阵，D为对角阵。证明 因为A的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：ALU因为 ，所以可将 U分解为：其中 D为对角矩阵，U1为单位上三角阵于是：ALDU1L(DU1)因为A为对称矩阵，所以，AATU1TDTLTU1T(DLT)，由 A的 LU分解的惟一性即得：LU1T，即U1LT，故ALDLT。工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有此类特殊性质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方根法及改进的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应用。定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。2 对称正定矩阵的三角分解定理 (Cholesky分解)设A为n阶对称正定矩阵，则存在惟一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得：ALLT。分解式ALLT称为正定矩阵的Cholesky分解，利用Cholesky分解来求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程组AXb的方法称为平方根法。设A为4阶对称正定矩阵，则由定理 4知，ALLT，即：将右端矩阵相乘，并令两端矩阵的元素相等，于是不难算得矩阵L的元素的计算公式为： 平方根法的计算框图见图3.4。 用平方根法求解系数矩阵对称正定的线性方程组时，计算过程是数值稳定的。为了避免开方运算，有时直接使用对称矩阵A的分解来计算，在(3.40)中令,根据矩阵乘法可以求出和的元素，然后将方程组(3.1)即转化为两个三角形方程组，由前一方程解出y，代入后一方程便可解出x。二、平方根法求解对称正定线性方程组的过程用平方根法求解对称正定方线性程组Ax=b的步骤如下：例 用平方根法求解方程组 解 设右端矩阵相乘并比较等式两端。由第一列有可得 比较第二列有 求得 ，由第三列得，故由 解得,由解得。一般情形，设 (3.51)根据矩阵