考研数学高数习题集及其答案(文登)

精选文库1 函数、极限、连续一. 填空题1. 已知 定义域为_.解. , , 2设, 则a = _.解. 可得=, 所以 a = 2.3. =_.解. 所以 0, b 0解. =4. 设试讨论在处的连续性与可导性.解. 所以 , 在处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点.(2) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; 不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点; , (k = 1, 2, ) 所以x =为第二类无穷间断点.6. 讨论函数 在x = 0处的连续性.解. 当时不存在, 所以x = 0为第二类间断点; 当, , 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.7. 设f(x)在a, b上连续, 且a x1 x2 xn b, ci (I = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 .证明: 令M =, m =所以 m M所以存在x( a x1 x xn b), 使得8. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 则F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.9. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则. 因此. 于是, 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 则F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 证明方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 则F(1) =4 0所以 在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为 , 所以, 所以 = 由, 将f(x)台劳展开, 得 , 所以, 于是.2 导数与微分一. 填空题1 . 设, 则k = _.解. , 所以所以 2. 设函数y = y(x)由方程确定, 则_.解. , 所以 3. 已知f(x) =f(x), 且, 则_.解. 由f(x) =f(x)得, 所以所以 4. 设f(x)可导, 则_.解. =+=5. , 则= _.解. , 假设, 则 , 所以6. 已知, 则_.解. , 所以. 令x2 = 2, 所以7. 设f为可导函数, , 则_.解. 8. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导. 所以切线斜率 . 法线斜率为, 法线方程为 , 即 x2y + 2 = 0.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设=, 所以 =, 按数学归纳法 =对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且a(c) f(x)在x = 1处可导, 且b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. b =, 所以ab. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.3. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以. (b)是答案.5. 设 在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. =3. 已知, 求.解. 4. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.解. , 所以四. 已知当x 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时 二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且 存在, 所以, 所以 , 所以 五. 已知.解. , k = 0, 1, 2, , k = 0, 1, 2, 六. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 =所以 3 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分:1. 解. 2. 3. 解. 4. 解. 方法一: 令, = 方法二: =5 二. 求下列不定积分:1. 解. =2. 解. 令x = tan t, =3. 解. 令 =4. (a 0)解. 令 =5. 解. 令 = = = =6. 解. 令 =7. 解. 令 三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 令, =四. 求下列不定积分:1. 解. = = 2. 解. 五. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. = 3. 解. 4. 解. 5. 六. 求下列不定积分:1. 解. = = = = =2. 解. =3. 解. 七. 设 , 求.解. 考虑连续性, 所以 c =1+ c1, c1 = 1 + c 八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令, , 所以 =九. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. 解. 十. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 令 3. 解. 4. 解. 十一. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. (a 0)解. = = = = = =十二. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. =3. 解. = = =十三. 求下列不定积分:1. 解. 2. 解. 3. 解. 令 4 一元函数积分学(定积分)一若f(x)在a，b上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数F(x), 均有, 则f(x) 0.证明: 假设f(x) 0, a x 0. 因为f(x)在a，b上连续, 所以存在d 0, 使得在xd, x + d上f(x) 0. 令m = . 按以下方法定义a，b上F(x): 在xd, x + d上F(x) =, 其它地方F(x) = 0. 所以 .和矛盾. 所以f(x) 0.二. 设l为任意实数, 证明: =.证明: 先证: =令 t =, 所以 = 于是=所以 =.所以 同理 .三已知f(x)在0，1上连续, 对任意x, y都有|f(x)f(y)| 0, (0 t 0, 证明: 对于满足0 a b 1的任何 a, b, 有 证明: 令 (x a), ., (这是因为t a, x a, 且f(x)单减).所以 , 立即得到六. 设f(x)在a, b上二阶可导, 且 0, 证明: 证明: x, ta, b, 令 , 所以二边积分 =.七. 设f(x)在0, 1上连续, 且单调不增, 证明: 任给a (0, 1), 有 证明: 方法一: 令(或令) , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) F(0) = 0. 即 , 即 方法二: 由积分中值定理, 存在x0, a, 使;由积分中值定理, 存在ha, 1, 使因为 .所以 八. 设f(x)在a, b上连续, 在a, b内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证: , (a x b)证明: , 所以 , 即 ;即 所以 即 , (a x 0因为f(0) = f(1) = 0$x0 (0,1)使 f(x0) = (f(x)所以 （1）在（0，x0）上用拉格朗日定理 在（x0, 1）上用拉格朗日定理 所以（因为）所以由（1）得十. 设f(x)在0, 1上有一阶连续导数, 且f(1)f(0) = 1, 试证: 证明: 十一. 设函数f(x)在0, 2上连续, 且= 0, = a 0. 证明: $ x 0, 2, 使|f(x)| a.解. 因为f(x)在0, 2上连续, 所以|f(x)|在0, 2上连续, 所以$ x 0, 2, 取x使|f(x)| = max |f(x)| (0 x 2)使|f(x)| |f(x)|. 所以 5 一元函数积分学(广义积分)一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解. (1) (2) (3) 因为, 所以积分收敛.所以=2 (4) (5) (6) 6 微分中值定理一. 设函数f(x)在闭区间0, 1上可微, 对于0, 1上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 f(x) 0, F(1) 0, 所以存在x (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 (0, 1), 不妨假设x2 x1, 满足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1x2 = f(x1)f(x2) = . (x2 h x1). 所以, 矛盾.二. 设函数f(x)在0, 1上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使.证明: , 其中x1满足.由罗尔定理, 存在x, 满足0 x x1, 且 .三设函数f(x)在1, 2上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使 .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 x1 2, 满足. 所以.所以存在x, 满足1 x 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使 .证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理 , x (0, x)所以 , 即.五. 设f(x)在a, b上可导, 且ab 0, 试证: 存在一个x (a, b), 使 证明: 不妨假设a 0, b 0. 令. 在a, b上使用拉格朗日定理 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个x (a, b), 使 证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个x (a, b), 使 七. 设f(x)在x1, x2上二阶可导, 且0 x1 0, 证明: 存在一个x (x1, x2)或(x2, x1), 使 证明: 不妨假设0 x1 x2时, 都有f(x1) f(x2), 则(a) 对任意x, (b) 对任意x, (c) 函数f(x)单调增加 (d) 函数f(x)单调增加解. (a) 反例:, 有; (b) 反例:; (c) 反例:, 单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下:令F(x) = f(x), x1 x2, x1 f(x2) = F(x2).2. 曲线的渐近线有(a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条解. 为水平渐近线; 为铅直渐近线; 所以只有二条渐近线, (b)为答案.3. 设f(x)在p, +p上连续, 当a为何值时, 的值为极小值.(a) (b) (c) (d) 解. 为a的二次式.所以当a =, F(a)有极小值.4. 函数y = f(x)具有下列特征:f(0) = 1; , 当x 0时, ; , 则其图形(a) (b) (c) (d) 1 1 1 1解. (b)为答案.5. 设三次函数, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于y轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x轴对称 (d) 以上均错解. 假设两个极值点为x = t及 x = t (t 0), 于是f(t) =f(t). 所以 , 所以b + d = 0的根为 x = t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以 为奇函数, 原点对称. (b)为答案.6. 曲线与x轴所围图形面积可表示为(a) (b) (c) (d) 解. 0 1 2 由图知(c)为答案.二. 填空题1. 函数 (x 0)的单调减少区间_.解. , 所以0 x b 0)之间的图形的面积_.解. 二椭圆的第一象限交点的x坐标为 . 所以所求面积为 = = 4paba=4. x2 + y2 = a2绕x =b(b a 0)旋转所成旋转体体积_.解. b a由图知 = =(5) 求心脏线r = 4(1+cosq)和直线q = 0, q =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_.解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 所以 =三. 证明题1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x 0时函数单调增加.证明. 上述不等式成立是因为 f(x) 0, t x.2. 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内, 证明在(a, b)内单增.证明. 假设a x1 x2 b, (a x1 x1 ) 不等式成立是因为x1 x1 0, 又. 证明: i. ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根.证明. i. ii. F(a) = , F(b) =. 因为f(x) 0, 所以F(a)和F(b)异号, 所以在(a, b)中存在x, 使得F(x) = 0. 又因为, F(x)单增, 所以实根唯一.5. 证明方程在(0, 1)内有唯一实根.证明. 令. F(0) =1 0,所以在(0, 1)中存在x, 使F(x) = 0.又因为 (0 x 1), 所以F(x)单增, 所以实根唯一.6. 设a1, a2, , an为n个实数, 并满足. 证明: 方程 在(0, )内至少有一实根.证明. 令则 F(0) = 0, . 所以由罗尔定理存在x (0 x a 0, 求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.解. 体积 =表面积: y = f(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为 S=(xb)2 + y2 = a2绕y轴旋转相当于(yb)2 + x2 = a2绕x轴旋转. 该曲线应分成二枝: 所以旋转体的表面积 =.8 多元函数微分学一. 考虑二元函数的下面4条性质( I ) 在点处连续; ( II ) 在点处的两个偏导数连续;( I II) 在点处可微; ( IV ) 在点处的两个偏导数存在;若用表示可由性质P推出性质Q, 则有( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 在点处的两个偏导数连续, 则在点处可微, 在点处可微, 则在点处连续. 所以. ( A )为答案.二. 二元函数 在点(0, 0) 处( A ) 连续, 偏导数存在; ( B ) 连续, 偏导数不存在;( C ) 不连续, 偏导数存在; ( D ) 不连续, 偏导数不存在.解. 所以 不存在, 所以在点(0, 0) 处不连续, 排除 ( A ), (B); . (C )为答案.三. 设f, g为连续可微函数, , 求.解. , . 所以 四. 设, 其中j为可微函数, 求.解. 原式两边对y求导. . 所以 五. 设.解. 由上述表达式可知x, z为自变量, 所以 六. 求下列方程所确定函数的全微分:1. ;2. .解. 1. , 所以 , 所以所以 2. , 所以 , 所以所以 七. 设, 其中f具有二阶连续偏导数, 求.解. =八. 已知.解. = 九. 已知.解. = = =十. 设确定, 求.解. 以上两式对x求导, 得到关于的方程组 由克莱姆法则解得 , 十一. 设解. = 于是 = = 0十二. 设, 其中f(u, v)具有二阶连续偏导数, 二阶可导, 求.解. =十三. 设, 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算.解. , 所以 于是 9 二重积分一. 比较积分值的大小:1. 设其中, 则下列结论正确的是x+y=4x+y=0D( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 区域D位于直线 之间, 所以 所以 所以 . (A)为答案.2. 设, 其中: , , 则下列结论正确的是( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 因为 , 所以, (C) 为答案.3.设其中, 则下列结论正确的是( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 在区域D中, , 所以 .( A )为答案.二. 将二重积分化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下:1. D: 由与所围之区域.2. D: 由x = 3, x = 5, x2y + 1 = 0及x2y + 7 = 0所围之区域.3. D: 由, y x及x 0所围之区域.4. D: 由|x| + |y| 1所围之区域.解. 1. 2. 3. 4. 三. 改变下列积分次序:1. 2. 3. 解: 1. 2. 3. =四. 将二重积分化为极坐标形式的累次积分, 其中:1. D: a2 x2 +y2 b2, y 0, (b a 0)2. D: x2 +y2 y, x 03. D: 0 x +y 1, 0 x 1解. 1. 2. 3. +五. 求解下列二重积分:1. 2. 3. , D: 由y = x4x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形4. , D: y x及1 x2 + y2 2解. 1. = = =2. =3. , D: 由的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形.解. , . 解得 . 此时图形在x轴下方. 所以 4. , D: y x及1 x2 + y2 2.解. 使用极坐标变换 = 0六. 计算下列二重积分:1. , D: .解. 令, .雅可比行列式为 2. , D: , 并求上述二重积分当时的极限.解. =所以.3. 解. = = 4. , D: x2 + y2 1, x 0, y 0.解. =.七. 求证: , 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x 0, y 0)所围成之区域.证明: 令u = xy, y = vx. 即, . . 所以 八. 求证: 证明: 令, . . 所以 =九. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证: 证明: 左 = =右十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明: 证明: 区域D既对x轴对称, 又对y轴对称.当m为奇数时为对于x的奇函数, 所以二重积分为0;当n为奇数时为对于y的奇函数, 所以二重积分为0.L十一. 设平面区域, 是定义在上的任意连续函数试求: 解. 作曲线如图. 令 围成; 围成. 按y轴对称, 按轴对称. 令 显然 所以 又因为 所以10 无穷级数一. 填空题(1) 设有级数, 若, 则该级数的收敛半径为_.解. 收敛半径R =. 答案为.(2) 幂级数的收敛半径为_.解. , 所以. 收敛半径为.(3) 幂级数的收敛区间为_.解. , 所以收敛半径为1. 当x = 1时, 得级数发散, 当x = 1时, 得级数收敛. 于是收敛区域为1, 1).(4) 幂级数的收敛区间为_.解. , 所以收敛半径为2. 当x = 2时, 得级数发散, 当x = 2时, 得级数 收敛. 于是收敛区域为2, 2).(5) 幂级数的和函数为_.解. . 该等式在(1, 1)中成立. 当x = 1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以, (1, 1).二. 单项选择题(1) 设收敛, 常数, 则级数(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与l有关解. 因为收敛, 所以收敛. . 所以和有相同的敛散性. 所以原级数绝对收敛.(2) 设, 则(A) 与都收敛. (B) 与都发散. (C)收敛, 而发散. (D) 发散, 收敛.解. 由莱布尼兹判别法收敛, . 因为, 发散, 所以发散. (C)是答案.(3) 下列各选项正确的是(A) 若与都收敛, 则收敛 (B) 若收敛, 则与都收敛 (C) 若正项级数发散,则 (D) 若级数收敛, 且, 则级数收敛.解. . 所以(A)是答案.(4) 设a为常数, 则级数(A) 绝对收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与a取值有关. 解. 绝对收敛, 发散, 所以发散. (B)是答案三. 判断下列级数的敛散性:(1) 解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 又因为发散, 由积分判别法知发散. 所以原级数发散.(2) 解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 收敛, 所以原级数收敛.(3) 解. , 所以级数发散.(4) 解. , 所以级数收敛.(5) 解. ， 所以级数收敛.(6) 解. 考察极限令, =所以, 即原极限为1. 原级数和有相同的敛散性. 原级数发散.四. 判断下列级数的敛散性(1) 解. 因为, 所以收敛, 原级数绝对收敛.(2) 解. , 令当x 0时, , 所以数列单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛.因为, 而发散, 所以发散. 原级数条件收敛.(3) 解. .因为, 又因为, 条件收敛, 所以原级数条件收敛.(4) 解. =1, 收敛, 原级数绝对收敛.五. 求下列级数的收敛域:(1) 解. , 当x =1, 0时, 都得数项级数, 收敛, 所以原级数的收敛域为1, 0.(2) 解. , 于是. 当时, 得, 收敛;当时, 得, 收敛. 于是原级数的收敛区域为1, 1.(3) 解. . 当时, 得数项级数及, 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区域为.(4) 解. . 当时得数项级数, 发散. 该级数的收敛区域为(2, 4).六. 求下列级数的和: (1) 解. 级数收敛, 所以收敛半径为1. 当时都得到交错级数. 由莱布尼兹判别法知收敛. 所以收敛区域为1, 1.令 . 所以, 1, 1.(2) 解. 收敛. 当得及都发散. 所以收敛区域为(1, 1). ,(1, 1)(3) 解. , 所以当时收敛.当时得数项级数, 发散; 当时得数项级数, 收敛. 于是收敛区域为3, 1). =, 3, 1).七. 把下列级数展成x的幂级数:(1) 解. 由第六题第3小题知 所以 =, (1, 1)(2) 解. =, (1, 1由于收敛, 所以当时上述级数都收敛. 所以, 1, 111 常微分方程及差分方程简介一. 填空题1. 微分方程的通解为_.解. 先解 , 解得使用常数变易法. 令. 所以 代入原方程, 得, 所以. 所以通解为 2. 微分方程的通解为_.解. , 于是. 积分得 . 化简后得 3. 微分方程的通解为_.解. 特征方程 , l = i于是齐次方程通解为 用算子法求非齐次方程特解 . 所以 4. 微分方程的通解为_.解. 特征方程 , l = 1i