七升八数学暑假衔接讲义

培优训练 重在平时三角形第一讲 与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。注意：三条线段必须不在一条直线上，首尾顺次相接。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形ABC用符号表示为ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。三角形的三条高相交于一点。4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：ABC的各边的长。例3.已知ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm （1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长； （2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。例6.已知：ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：ABC的各边的长。例7.如图所示，已知在ABC中，AB=AC=8，P是BC上任意一点，PDAB于点D，PEAC于点E.若ABC的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.【课堂练习】1.下列说法错误的是( ). A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点； B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；D.三角形的三条高可能相交于外部一点2.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.1、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、63.已知三角形的周长为15cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，则此三角形的最短边为（ ） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm4.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（ ） A3 B5 C7 D95.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长AC为( ) A.10 cm或6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm或6 cm 6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ） A.5 B.6 C.7 D.87.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形8.如图,在ABF中，B的对边是（ ） A.AD B.AE C.AF D.AC 9.图中三角形的个数是（ ） A8 B9 C10 D1110.已知，如图所示，ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设ABC的面积为S1,AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为（ ） A. S1S2 B. S1=S2 C.S1ACD B.B+ACB =180-A C.B+ACB B 2.如图，在ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则B等于（ ） A.25 B.30 C.45 D.60 3.如图，已知AB=AC=BD，那么1和2之间的关系是（ ） A.1=22 B.21+2=180 C.1+32=180 D.31-2=1804.如图，C、E和B、D、F分别在GAH的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF，若A=180,则GEF的度数是( ) A.80 B.90 C.100 D.1085.在锐角三角形中，ABC，则下列结论中错误的是（ ） A. A60 B. B45 C. C60 D. BC906.在ABC中，A是锐角，那么ABC是( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定7.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_8.已知ABC的三边长分别为，且，求b的取值范围.9.已知，如图，在ABC中，D为BC上一点，1=2，3=4，BAC=1200，求DAC的度数。10.如图,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63,求DAC的度数.11.如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？ 12.如图所示,ABC两外角的平分线BP、CP交于点P,已知A=500，求P的度数.13.如图，把ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，探索A与12有什么数量关系？并说明理由。14.如图，1=2=3，且BAC=700，DFE=500，求ABC的度数。15.如图，在平面直角坐标系中，ABO=2BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分ABP，PC平分APF，OD平分POE。（1）求BAO的度数；（2）求证：C=15+OAP；（3）P在运动中，C+D的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。第三讲 与三角形有关的证明例1.如图，已知，C=DAE，B=D，那么AB与DF平行吗？为什么？ 例2.如图，ABC中，1与 A有什么关系？为什么？例3.如图，CD是ABC中ACB的外角平分线，请猜测BAC和B的大小关系,并说明理由.例4.如图，已知P是ABC内任意一点，求证：PB+PCAB+AC。例5.已知P是ABC内任意一点，试说明ABBCCAPAPBPC(ABBCCA)的理由.【课堂练习】1.如图，D是ABC中BC边上一点，DEAC交AB于点E,若EDA=EAD,试说明，AD是ABC的角平分线.2.已知，如图，在中，O是高AD和BE的交点，观察图形，试猜想C和DOE之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想3.如图，1=20，2=25，A=35，求BDC的度数。4.在ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，下面的命题正确吗？若正确，请说明理由。 1=E +A +B; 1 A.5.如图，已知点P在ABC内任一点，试说明A与P的大小关系,并证明之。6.如图，已知ABC与DEF是一副三角形的拼图，A,E,C,D在同一条直线上，（1）求证：EFBC; (2)求1与2的度数。【课后练习】1.已知：如图，在ABC中，ACB90，CD为高，CE平分BCD，且ACD：BCD1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由2.如图，E是ABC的边CA延长线上一点，D点在BC的延长线上，试说明：1B,则DAE与C-B有怎样的数量关系？说明理由； (3)若点A在AD上移动到点F,FEBC于E,其它条件不变，那么EFD与C、B是否还有（2）中的结论？试说明理由。（如图2）4.如图，在ABC中，内角A和外角CBE和BCF的角平分线交于点P,AP交BC于D,过B作BGAP于G.（1）若GBP=450，求证:ACBC; （2）在图上作出PDC在PC边的高DH,并探究APB和HDC的数量关系，并说明理由。5.已知：如图，在ABC中有D、E两点，求证：BDDEECABAC第四讲 多边形及其内角和定义：由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。 与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的A、B、C、D、E。 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角如图中的1是五边形ABCDE的一个外角。 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线凸多边形和凹多边形：在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形 正多边形的概念:我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）180观察下面的图形，填空： 从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等于 ；从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等于 ；从n边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将n边形分成 三角形，n边形的内角和等于 。n边形的外角和等于360。镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平面）的问题同一个顶点处的各个角的和等于360，且相邻的多边形有公共边。也就是说，只要满足这条件就能进行平面镶嵌。能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？ 例1.已知正多边形的一个内角是 150，求这个多边形对角线的条数？例2.如图，一个任意五角星的五个角的和是多少？例3.如图，求1+2+3 +4+5+6+7的度数。例4.如图，（1）已知ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BAM=NBC,猜想BQM等于多少度，并证明你的猜想； 将（1）中的“正ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCDX，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出BQM等于多少度，将结论填入下表：【课堂练习】1.下列说法不正确的是（ ）A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.B.画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.C.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.D.连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.2.过n边形的一个顶点的所有对角线把n边形分成8个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A.11 B.10 C.9 D.83.如图，ABC、ADE及EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（ ） A.12 B.15 C.18 D.214.若从一个多边形的一个顶点最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形5.下列可能是n边形内角和的是（ ）A.300 B.550 C.720 D.9606.一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（ ）A.6 B.7 C.8 D.97.一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是（ ）A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形8.一个多边形的边数增加一倍，它的内角和增加( ) A.180 B.360 C.(n-2)180 D.n1809.若一个多边形的内角和与外角和相加是1800，则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形10.能够用一种正多边形铺满地面的是_。( )A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形11.多边形的每一个内角都等于150，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。12.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有 个正三角形。13.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有_个正三角形和_个正六边形或 _个正三角形和_个正六边形。14.某公园便道用三种不同的正多边形地砖镶嵌，已选好了正十二边形和正方形两种，还需选用 n边形的边数每增加1条，其内角和增加 度。15.若一个多边形的边数增加m条，则多边形的内角和增加_度.16.如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪。（1）图中草坪的面积为_。 （2）图中草坪的面积为_。（3）图中草坪的面积为_。（4）如果多边形边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_。【课后练习】1.多边形的边数由于增加到n（n3），其外角度数的和是（ ）A.增加 B.保持不变 C.减少 D.变成（n-3）1802.下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是( ). A.正六边形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八边形和正方形 D.正五边形和正八边形3.用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有( )种.A.1 B.2 C.3 D.44.某装饰公司出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖共有( )种.A.1 B.2 C.3 D.45.小李家装修地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是( ) A.正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形6.某人到商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( ) A.三角形 B.矩形 C.正八边形 D.正六边形7.六边形共有_条对角线，内角和等于_，每一个内角等于_。8.从九边形的一个顶点作对角线，能作 条，可把九边形分成 个三角形。9.如果一个多边形的每一外角都是24，那么它是_边形。10.一个多边形的内角和与外角和之比是52，则这个多边形的边数为_。11.已知一个十边形中九个内角的和的度数是12900，那么这个十边形的另一个内角为 度12.一个多边形的每个内角都为135，则这个多边形的边数为_13.一个多边形的每一个外角都等于24,则这个多边形是 边形