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文档简介
弹性力学课程总结与复习,一、弹性力学问题研究的基本框架:,弹性力学问题,基本假设与基本量,5个基本假设;,15个基本量:,基本原理,平衡原理,能量原理,(单元体),(整体),基本方程,控制微分方程(15个),边界条件(6个),平衡微分方程(3个):,几何方程(6个):,物理方程(6个):,应力边界条件(3个):,位移边界条件(3个):,数学上构成偏微分方程的定解问题,求解方法,函数解,精确解;,近似解;,(如:基于能量原理的解),数值解,(如:有限差分法、有限单元法等),实验方法,二、弹性力学平面问题的求解,(1)按未知量的性质分:,按位移求解;,按应力求解;,(2)按采用的坐标系分:,直角坐标解答;,极坐标解答;,(3)按采用的函数类型分:,级数解;,初等函数解;,复变函数解;,1.平面问题的求解方法,逆解法;,半逆解法;,2.平面问题求解的基本方程,(1)平衡方程,(2)相容方程(形变协调方程),(2-23),(3)边界条件:,(平面应力情形),(1)对应力边界问题,且为单连通问题,满足上述方程的解是唯一正确解。,(2)对多连通问题,满足上述方程外,还需满足位移单值条件,才是唯一正确解。,说明:,3.常体力下平面问题求解的基本方程与步骤:,(1),(2-27),(2),然后将代入式(2-26)求出应力分量:,先由方程(2-27)求出应力函数:,(2-26),(3),再让满足应力边界条件和位移单值条件(多连体问题)。,直角坐标下,(1),由问题的条件求出满足式(46)的应力函数,(46),(2),由式(45)求出相应的应力分量:,(45),(3),位移边界条件:,应力边界条件:,为边界上已知位移,,为边界上已知的面力分量。,(位移单值条件),极坐标下,4.平面问题Airy应力函数的选取:,直角坐标下,习题:3-1,32,33,3-4,极坐标下,(1)轴对称问题,(411),应力函数,应力分量,位移分量,式中:A、B、C、H、I、K由应力和位移边界条件确定。,(2)圆孔的孔边应力集中问题,(3)楔形体问题,由因次法确定应力函数的分离变量形式,(1)楔顶受集中力偶,(2)楔顶受集中力,(3)楔形体一侧受分布力,(4)曲梁问题,其中:q为曲梁圆周边界上的分布载荷。M,Q分别为梁截面上弯矩与剪力。,结合应力分量与应力函数的关系确定应力函数:,(5)半平面问题,利用叠加法求解,练习:,(1)试用边界条件确定,当图示变截面杆件受拉伸时,在靠杆边的外表面处,横截面上的正应力与剪应力间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形,板厚为一个单位。,(2)z方向(垂直于板面)很长的直角六面体,上边界受均匀压力p作用,底部放置在绝对刚性与光滑的基础上,如图所示。不计自重,试确定其应力和位移分量。,(3)有一薄壁圆筒的平均半径为R,壁厚为t,两端受相等相反的扭矩M作用。现在圆筒上发现半径为a的小圆孔,如图所示,则孔边的最大应力如何?最大应力发生在何处?,(4)已知圆环在r=a的内边界上被固定,在r=b的圆周上作用着均匀分布剪应力,如图所示。试确定圆环内的应力与位移。,四、弹性力学问题求解的能量法,1.基本概念与基本量,(1)形变势能U、比能U1;,(2)形变余能U*、比余能U*1;,(3)总势能;,(4)总余能*;,各量的计算。,2.变分方程与变分原理,(1),位移变分方程;,虚功方程;,最小势能原理;,伽辽金变分方程;,(2),应力变分方程;,最小余能原理;,3.求解弹性力学问题的变分法,(1)Ritz法;,(2)最小势能原理;,(3)伽辽金法;,(1)应力变分法;,(2)最小余能原理;,如何设定位移函数?,如何设定应力函数?,4.弹性力学两个基本定理,(1)解的唯一性定理;,(2)功的互等定理;,5.Ritz法解题步骤:,(1)假设位移函数,使其位移边界条件;,(2)计算形变势能U;,(3)代入Ritz法方程求解待定系数;,(4)回代求解位移、应力等。,6.最小势能原理解题步骤:,(1)假设位移函数,使其位移边界条件;,(2)计算系统的总势能;,(3)由最小势能原理:=0,确定待定系数;,(4)回代求解位移、应力等。,7.应力变分法解题步骤:,(1)假设满足应力边界条件的应力函数;,(2)计算系统的形变余能U*;,(3)代入应力变分法方程确定待定系数;,(4)回代求出应力分量。,在没有给定非零位移边界条件时,应力变分法方程:,五、其它问题,(1)一点应力状态分析;,(2)一点应变状态分析;,(3)应力边界条件的列写;,(圣维南原理的应用),(4)张量的基本知识;,(弹性力学基本方程的张量表示),第一章绪论,(1)弹性力学与材料力学)、结构力学课程的异同。,(从研究对象、研究内容、研究方法等讨论),(2)弹性力学中应用了哪些基本假定?这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是什么?举例说明哪些使用这些假定?,(3)弹性力学中应力分量的正负是如何规定的?与材料力学中有何不同?,第二章平面问题的基本理论,(1)两类平面问题的特点?(几何、受力、应力、应变等)。,(2)试列出两类平面问题的基本方程,并比较它们的异同。,(3)在建立平面问题基本方程(平衡方程、几何方程)时,作了哪些近似简化处理?其作用是什么?,(4)位移分量与应变分量的关系如何?是否有位移就有应变?,(5)已知位移分量可唯一确定其形变分量,反过来是否也能唯一确定?需要什么条件?,(6)已知一点的应力分量,如何求任意斜截面的应力、主应力、主方向?,(7)什么是线应变(正应变)、剪应变(切应变、角应变)?如何由一点应变分量求任意方向的线应变、主应变、主应变方向?,(8)平面应力与平面应变问题的物理方程有何关系?,(9)边界条件有哪两类?如何列写?,(10)何为圣维南原理?其要点是什么?圣维南原理的作用是什么?如何利用圣维南原理列写边界条件?,(11)弹性力学问题为超静定问题,试说明之。,(12)弹性力学问题按位移求解的基本方程有哪些?,(13)弹性力学平面问题的变形协调方程有哪些形式?各自的使用条件是什么?,(14)按应力求解弹性力学问题,为什么除了满足平衡方程、边界条件外,还必须满足变形协调方程(相容方程)?而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程?,(15)应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件,是否就是问题的正确解?为什么?,(16)常体力情况下,如何将体力转化为面力?其意义如何?,(17)何为逆解法?何为半逆解法?,(18)Airy应力函数在边界上值的物理意义是什么?应力函数的导数:在边界上值的物理意义是什么?,第三章平面问题的直角坐标解答,(1)直角坐标解答适用于什么情况?,(2)应力函数是否是唯一的?它可确定什么程度?,(3)用应力函数法求解弹性力学问题的基本步骤?,(4)应力函数与应力分量间的(直角坐标)关系如何?,(5)如何利用材料力学的结果推出应力函数的形式?,(6)如何利用量纲分析法(因次分析法)确定楔形体问题应力函数的幂次数?,习题:3-1,32,33,3-4,第四章平面问题的极坐标解答,(1)极坐标解答适用的问题结构的几何形状?,(圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等),(2)极坐标下弹性力学平面问题的基本方程?,(平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程),(3)极坐标下弹性力学平面问题的相容方程?,(用应变表示的、用应力函数表示的相容方程等),(4)极坐标下应力分量与应力函数间关系?,(5)极坐标下弹性力学平面问题边界条件的列写?,(6)极坐标下轴对称问题应力函数、应力分量、位移分量的特点?,(7)圆弧形曲梁问题应力函数、应力分量、位移分量的确定?,(如何利用材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数的形式?),(8)楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下,应力函数、应力分量、位移分量的确定?,(9)半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下,应力函数、应力分量、位移分量的确定?,(10)圆孔附近应力集中问题应力函数、应力分量、位移分量的确定?,(11)叠加法的应用。,叠加法的应用,第七章平面问题的差分解,(1)了解差分法的基本思想;,(2)了解应力函数差分解中,应力分量的差分公式;应力函数的差分方程;,(3)了解应力函数差分解求解弹性力学问题的基本方法步骤;,(4)了解位移差分解的基本思路;,位移差分法求解弹性力学问题的基本方法步骤;,第十一章能量原理与变分法,(1)形变势能U、比能U1的概念及计算;,(在线弹性情况下,比能U1的计算各种形式:一般形式、应变形式、应力形式、位移形式),(2)形变余能U*、比余能U*1的概念及计算;与形变比能U1的区别;在线弹性情况下,形变势能与形变余能存在什么关系?,(3)弹性体总势能的概念及计算;,外力势能,(4)弹性体总余能*的概念及计算;,外力余势能,(5)形变比能U1、比余能U*1与应力、应变的关系:,(6)位移变分方程及其物理意义;,(7)虚功方程及其物理意义;,(7)虚功方程及其物理意义、适用性;,外力的虚功=内力的虚功,,适用于任何性质的材料。,(8)最小势能原理及其物理意义;,(9)位移变分方程、最小势能原理与弹性力学基本方程的等价性?,(10)伽辽金变分方程及其与弹性力学基本方程的等价性?,(11)Ritz法求弹性力学问题的方法与解题步骤;Ritz法中对位移函数设定的要求;,(12)用最小势能原理求弹性力学问题的方法与解题步骤;,(13)用Ritz法或最小势能原理求弹性力学平面问题、梁的弯曲变形问题;,(14)用Ritz法或最小势能原理推导弹性力学平面问题、梁的弯曲变形问题的平衡微分方程与应力边界条件;,(15)用伽辽金法求解弹性力学问题时,对位移函数设定的要求;,
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