广东省汕头市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2015年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=x|4， x Z，则（ ） A MN=0 B N M C M N D M N=N 2设 i 是虚数单位， a R，若 i（ ）是一个纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A B 1 C 0 D 1 3下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（ 0， 1）内单调递增的是（ ） A y= y= y=D y=双曲线 =1 的离心率为（ ） A B C D 5已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A B 0 C D 1 6某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为 1 的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为（ ） A 1 B 2 C 1 D 1 7一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 8直线 x y+m=0 与圆 x2+ 相交的一个充分不必要条件是（ ） A 0 m 1 B 4 m 2 C m 1 D 3 m 1 9函数 f（ x） =2x+） | ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则 等于（ ） A B C D 10经过函数 y= 图象上一点 M 引切线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B， O 为坐标原点，记 面积为 S，则 S=（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 11已知向量 | |=1， | |=2 且 =0，又 = +2 ， =m n ， ，则 等于（ ） A B 1 C 1 D 2 12已知 a 0，若函数 且 g（ x） =f（ x） +2a 至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2 C（ 1， +） D 1， +） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将正确答案填在答卷相应的位置上 ） 13如果 x+ ） = ，则 x） = 14当 x 0 时， f（ x） = x 的最小值是 第 3 页（共 21 页） 15数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗： “儿忆父兮妻忆夫 ”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如 343， 12521 等，两位数的回文数有 11、 22、 33、 99 共 9 个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 16已知正方体 棱长为 4，点 E 是线 的中点，则三棱锥 A 三、解答题（ 6 小题，满分 60 分 明过程或结算步骤） 17已知数列 各项均是正数，其前 n 项和为 足 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 （ n N*），求数列 前 2n 项和 18某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析 （ 1）按一定比例进行分层抽样抽取了 20 名学生的数学成绩，并用茎叶图（图 1）记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩 70， 90）的频率是 补全表格并绘制相应频率分布直方图（图 2） 分数段（分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150） （ 2）为考察学生的 物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩进行比较，得到统计数据如表： 物理成绩优秀 物理成绩一般 合计 数学成绩优秀 15 3 18 数学成绩一般 5 17 22 合计 20 20 40 能够有多大的把握，认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系？ P（ 0 4 页（共 21 页） 19如图，在四棱锥 P ，侧棱 C=，底面 直角梯形，其中 （ 1）求证：侧面 底面 （ 2）求三棱锥 P 表面积 20在直角坐标系 ，曲线 C： + 的右顶点是 A、上顶点是 B （ 1）求以 直径的圆 E 的标准方程； （ 2）过点 D（ 0， 2）且斜率为 k（ k 0）的直线 l 交曲线 C 于两点 M， N 且 =0，其中 O 为坐标原点，求直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） =x （ 1）求函数 f（ x）的极值； （ 2）设函数 g（ x） =（ m 1） x+n，若对 x R， f（ x）恒不小于 g（ x），求 m+n 的最大值 请考生在第 (22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分 .选修4何证明选讲 22如 图， O 的直径， O 的切线 延长线交于点 C （ 1）求证： A、 O、 E、 D 四点共圆； （ 2）若 B=30，求 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C 的极坐标方程是 ，曲线 D 的参数方程是： （ 为参数） （ 1）求曲线 C 与曲线 D 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C 与曲线 D 相交于 A、 B 两点，求 | 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x | |x+ |最大值为 M， 第 5 页（共 21 页） （ 1）求实数 M 的值； （ 2）若 x R， f（ x） 2+ ） t 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2015年广东省汕头市高二（ 下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=x|4， x Z，则（ ） A MN=0 B N M C M N D M N=N 【考点】 集合的表示法 【分析】 化简集合 N，利用集合的交集的定义，即得出结论 【解答】 解： 集合 M=x| 1 x 1， N=x|4， x Z= 1， 0， 1， MN=0， 故选： A 2设 i 是虚数单位， a R，若 i（ ）是一个纯虚数，则实 数 a 的值为（ ） A B 1 C 0 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据所给的复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部等于 0 且虚部不等于 0，得到结果 【解答】 解： i（ ）是纯虚数， 即 a+2i 是纯虚数， a=0， a=0 故选： C 3下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（ 0， 1）内单调递增的是（ ） A y= y= y=D y=考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 根据奇函数的定义，奇函数图象的对称性，以及 y=余弦函数的单调性，复合函数、反比例函数和对数函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： y=定义域上没有单调性， 在定义域上单调递减， y=图象不关于原点对称，不是奇函数， y=奇函数，且在 R 上单调递增 故选： A 4双曲线 =1 的离心率为（ ） A B C D 第 7 页（共 21 页） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的方程求出 a， b， c 即可 【解答】 解：由 =1 得 4， 6， 则 c2=a2+4+36=100， 则 a=8， c=10， 则双曲线的离心率 e= = = ， 故选： B 5已知变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A B 0 C D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y= 2x+z+ ， 平移直线 y= 2x+z+ ， 由图象可知当直线 y= 2x+z+ 经过点 B 时， 直线 y= 2x+z+ 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 ，即 B（ ， ）， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=2 + =1 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 1 故选： D 第 8 页（共 21 页） 6某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为 1 的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为（ ） A 1 B 2 C 1 D 1 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图得到几何体是棱长为 1 的正方体挖去底面半径为 1 的 圆柱，间接法求体积即可 【解答】 解：由已知三视图得到几何体是棱长为 1 的正方体挖去底面半径为 1 的 圆柱，正方体的条件为 1， 圆柱的体积为 ，所以其体积为 1 ； 故选 C 7一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ） 第 9 页（共 21 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， i 的值，当 i=6 时不满足条件 i 5，输出 S 的值，利用裂项法即可计算得解 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 i=1， S=0 满足条件 i 5，执行循环体， S= ， i=2 满足条件 i 5，执行循环体， S= + ， i=3 满足条件 i 5，执行循环体， S= + + ， i=4 满足条件 i 5，执行循环体， S= + + + ， i=5 满足条件 i 5，执 行循环体， S= + + + + ， i=6 不满足条件 i 5，退出循环，输出 S 的值 由于 S= + + + + =（ 1 ） +（ ） +（ ） =1 = 故选： B 8直线 x y+m=0 与圆 x2+ 相交的一个充分不必要条件是（ ） A 0 m 1 B 4 m 2 C m 1 D 3 m 1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 把直线与圆的方程联立，消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即 0，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集得到 m 的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件 【解答】 解：联立直线与圆的方程，消去 y 得： 2mx+1=0， 由题 意得： =（ 2m） 2 8（ 1） = 4 0， 第 10 页（共 21 页） 解得： m ， 0 m 1 是 m 的一个真子集， 直线 x y+m=0 与圆 x2+ 相交的一个充分不必要条件是 0 m 1 故选 A 9函数 f（ x） =2x+） | ）的图象向左平移 个单位后关于原点对称，则 等于（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件根据函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称 性可得+=k z，由此根据 | 求得 的值 【解答】 解：函数 f（ x） =2x+） | ）的图象向左平移 个单位后，得到函数y=（ x+ ） +=2x+ +）的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得 +=k z， = ， 故选： D 10经过函数 y= 图象上一点 M 引切线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B， O 为坐标原点，记 面积为 S，则 S=（ ） A 8 B 4 C 2 D 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 利用导数可求得切线 l 的斜率及方程， 从而可求得 l 与两坐标轴交于 A， B 两点的坐标，继而可求 面积 【解答】 解：设 M（ 曲线 y= 上任一点，则 y= ， y= ，设过曲线 y= 上一点 M 的切线 l 的斜率为 k， 则 k= ， 切线 l 的方程为： y+ = （ x 当 x=0 时， y= ，即 B（ 0， ）； 当 y=0 时， x=2 A（ 20）； 第 11 页（共 21 页） S | |2| |=4 故选： B 11已知向量 | |=1， | |=2 且 =0，又 = +2 ， =m n ， ，则 等于（ ） A B 1 C 1 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： 向量 | |=1， | |=2 且 =0 与 不共线， = +2 ， =m n ， ， 设 =x ， 则 x（ +2 ） =m n ， 即 ，则 = ， 故选： A 12 已知 a 0，若函数 且 g（ x） =f（ x） +2a 至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2 C（ 1， +） D 1， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出 a=1 及 a=2 时的分段函数的简图，由图判断 a=1 及 a=2 时满足题意，结合选项得答案 【解答】 解：函数 g（ x） =f（ x） +2a 的零点的个数等价于方程 f（ x） = 2a 根的 个数， 即函数 y=f（ x）的图象与直线 y= 2a 交点的个数，利用特殊值验证法： 当 a=1 时， y=f（ x）的图象如图： 满足题意； 当 a=2 时， y=f（ x）的图象如图： 第 12 页（共 21 页） 满足题意 结合选项可知， a 的范围是 D 故选： D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将正确答案填在答卷相应的位置上） 13如果 x+ ） = ，则 x） = 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用三角函数的诱导公式首先化简再求值 【解答】 解：由已知得到 ，而 x） =； 故答案为： 14当 x 0 时， f（ x） = x 的最小值是 2 【考点】 基本不等式；函数的最值及其几何意义 【分析】 由 x 0，可得 x 0，函数 f（ x）化为 f（ x） =（ x） + ，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值和 x 的值 【解答】 解：当 x 0 时， x 0， 即有 f（ x） = x =（ x） + 2 =2 当且仅当 x= 时， f（ x）取得最小值 2 故答案为： 2 15数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗： “儿忆父兮妻忆夫 ”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如 343， 12521 等，两位数的回文数 有 11、 22、 33、 99 共 9 个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 第 13 页（共 21 页） 【分析】 利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【解答】 解：三位数的回文数为 A 共有 1 到 9 共 9 种可能，即 123B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 共有 9 10=90 个， 其中偶数为 A 是偶数，共 4 种可能，即 2468 B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 其有 4 10=40 个， 三位数的回文数中，偶数的概率 p= 故答案为： 16已知正方体 棱长为 4，点 E 是线 的中点，则三棱锥 A 36 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 三棱锥 A 接球为四棱锥 E 接球，利用勾股定理建立方程，求出球的 半径，即可求出三棱锥 A 接球体 【解答】 解：三棱锥 A 接球为四棱锥 E 接球， 设球的半径为 R，则 2 ） 2+（ 4 R） 2， R=3， 三棱锥 A 接球体积为 =36 故答案为： 36 三、解答题（ 6 小题，满分 60 分 明过程或结算步骤） 17已知数列 各项均是正数，其前 n 项和为 足 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 （ n N*），求数列 前 2n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出； 第 14 页（共 21 页） （ 2） n 为奇数时， =n 2 n 为偶数时， 分组分别利用等差数列与等比数列的求和公 式即可得出 【解答】 解：（ 1）由 =4 ，两式相减得 =， 得 = ， 又 1=4 得 故数列 以 2 为首项， 为公比的等比数列 故 = （ 2） n 为奇数时， =n 2 n 为偶数时， b1+1） +（ b2+ = 1+1+（ 2n 3） + + = + =2n+ 18某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析 （ 1）按一定比例进行分层抽样抽取了 20 名学生的数学成绩，并用茎叶图（图 1）记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩 70， 90）的频率是 补全表格并绘制相应频率分布直方图（图 2） 第 15 页（共 21 页） 分数段（分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150） （ 2）为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩进行比较，得到统计数据如表： 物理成绩优秀 物理成绩一般 合计 数学成绩优秀 15 3 18 数学成绩一般 5 17 22 合计 20 20 40 能够有多大的把握，认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系？ P（ 0 考点】 独立性检验的应用；频率分布直方图 【分析】 （ 1）利用茎叶图，可得表格及频率分布直方图； （ 2）求出 临界值比较，即可得出结论 【解答】 解：（ 1） 分数段 （分） 50， 70） 70， 90） 90， 110） 110， 130） 130， 150 率分布直方图 （ 2）假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系， 则 有 把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系 19如图，在四棱锥 P ，侧棱 C=，底面 直角梯 形，其中 （ 1）求证：侧面 底面 （ 2）求三棱锥 P 表面积 第 16 页（共 21 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）取 点 O，连接 用等腰三角形的性质可得 又底面 直角梯形，可得四边形 正方形， ，由 得 此 平面 可证明侧面 底面 （ 2） S ， S 利用已知可得： 是边长为的等边三角形，故 S 即可得出 【解答】 证明：（ 1）取 点 O，连接 D= ， 得 又底面 直角梯形，其中 O 为 点，故四边形 正方形， 故 ， 故 ， O=O， 故 平面 平面 故侧面 底面 解：（ 2） S = =1， S = =1 ， A=， ， = ， 故 是边长为 的等边三角形， 故 S = 三棱锥 P 表面积 S=2+ 第 17 页（共 21 页） 20在直角坐标系 ，曲线 C： + 的右顶点是 A、上顶点是 B （ 1）求以 直径的圆 E 的标准方程； （ 2）过点 D（ 0， 2）且斜率为 k（ k 0）的直线 l 交曲线 C 于两点 M， N 且 =0，其中 O 为坐标原点，求直线 l 的方程 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）求出圆心与半径，即可求以 直径的圆 E 的标准方程； （ 2）直线 l： y= 联立 C 整理得（ 1+462=0，利用向量知识及韦达定理，求出 k，即可求直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）依题意点 A（ 2， 0）、 B（ 0， 1） 故线段 中点 E（ 1， ）， 所求圆 E 的半径 r= ， 故圆 E 的标准方程 为（ x 1） 2+（ y ） 2= （ 2）依题意，直线 l： y= 联立 C 整理得（ 1+462=0， 此时 =16（ 43） 0，又 k 0，故 k 设 M（ N（ 则 x1+ ， =k（ x1+（ 1+= =0， 由 k 0 得 k=2 故所求直线 l 的方程是 y=2x+2 21已知函数 f（ x） =x （ 1）求函数 f（ x）的极值； （ 2）设函数 g（ x） =（ m 1） x+n，若对 x R， f（ x）恒 不小于 g（ x），求 m+n 的最大值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求导数 f（ x） =1，解 f（ x） 0 和 f（ x） 0 便可得出函数 f（ x）的单调区间，从而求出函数 f（ x）的极小值，并判断没有极大值； （ 2）根据条件可得出，对任意的 x R，都有 n 0 成立，然后令 u（ x） =n，求导 u（ x） =m，讨论 m 的取值，根据导数符号求函数的最小值，从而得出 m+n 2m 样根据导数便可求出 2m 最大值，这样即可求出 m+n 的最大值 【解答】 解：（ 1）依题意 f（ x） =1； 令 f（ x） 0 得 x 0 令 f（ x） 0 得 x 0 故函数 f（ x）在（ ， 0）单调递减，在（ 0， +）单调递增 故函数 f（ x）的极小值为 f（ 0） =1，没有极大值 （ 2）依题意对 x R， f（ x） g（ x），即 x （ m 1） x+n，即 n 0 恒成立 第 18 页（共 21 页） 令 u（ x） =n，则 u（ x） =m 若 m 0，则 u（ x） 0， u（ x）在 R 上单调递增，没有最小值，不符题意，舍去 若 m 0，令 u（ x） =0 得 x= u（ x） 0，即 x （ ， ， u（ x）单调递减； 当 u（ x） 0，即 x （ +）时， u（ x）单调递增 故 =m n 0； 故 m+n 2m q（ m） =2m q（ x） =1 m （ 0， e）时， q（ x） 0， q（ x）单调递增； 当 m （ e， +）时， q（ x） 0， q（ x）单调递减 故 q（ x） q（ e） =2e e，即 m+n e，即 m+n 的最大值是 e 请考生在第 (22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分 .选修4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 的切线 延长线交于点 C （ 1）求证： A、 O、 E、 D 四点共圆； （ 2）若 B=30，求 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连接