福建省南平市2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学（文）试题（pdf版，含解析）.pdf

南平市 20192020 学年高中毕业班第一次综合质量检查 文文 科科 数数 学学 （满分：（满分：150 分分考试时间：考试时间：120 分钟）分钟） 出题意图 总体指导思想是由于是第一次综合质量检测，以考查基础知识和基础能力为主，考通性 通法。设置的题目兼顾到二类校学生的情况，容易和较容易题比例大。 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。 2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 1 ,2 ,Ax xBx x 则 R BA A.12xxB.12xxC.12xxD.12xx 【解析】1 RA x x，21 R BAxx，故选 B 【考查意图】本题以集合为载体，考查补集与交集等知识，考查运算求解能力，考查数学运 算核心素养. 2. 若复数 i i + a 1 = - z为纯虚数，则实数a的值为 A2B1C1D2 【解析】i + = ii = 1 = 2 1 2 1 2 1aaa + -a - - z ）（ i i ，由已知01 =-a且 01 +a，解得1=a，故选 B 【考查意图】本题以复数为载体，考查复数的概念和复数的除法运算等知识，考查运算求解 能力，考查数学运算核心素养. 3. 已知 1 ln2 a ， 1 ln 2 b , 1 2 ec (其中e为自然对数的底数)，则 AcabBacbCbcaDcba 【解析】 1 1 ln2 a ， 1 ln0 2 b ， 1 2 0e1c ，可得：bca,故选 B 【考查意图】本题以对数、指数为为载体，考查对数、指数的运算及比较大小等知识，考查 运算求解能力，考查数学运算核心素养. 4. 已知平面向量a 与b 满足( 3,1)a ，| 4b ，且(2 )aba ，则ab A2B3C4D5 【解析】由 22 1( 3)2a ，又(2 )aba 得： 2 (2 )2220abaaa ba b ， 1a b ， 222 22244abaa bb ，故选 C 【考查意图】本题以平面向量为载体，考查平面向量的坐标运算，模及数量积运算等知识， 考查运算求解能力，考查数学运算核心素养. 5一个盒子中装有 4 个大小、形状完全相同的小球，其中 1 个白球，2 个红球，1 个黄球， 若从中随机取出 1 个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出 1 个球，则两次取 出小球颜色不同的概率是 A 5 8 B 1 8 C 5 6 D 1 6 【解析】基本事件为共 16 个，两次取出小球颜色相同的事件有 6 个，所以，两次取出小球 颜色相同的概率是 63 168 ，两次取出小球颜色不同的概率是 35 1 88 故选 A. 【考查意图】本题以古典概型为载体，考查用列举法求基本事件的总数、对立事件概率等知 识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养. 6. 已知椭圆)0( 1= 2 2 2 2 ba b y + a x ：E过点P（ 2 3 2 2 ，） ，椭圆E的离心率为 2 2 , 则椭圆E的焦距为 A1B2C2D.22 【解析】 由已知得 a c = 2 2 ，1 4 3 2 1 22 =+ ba ， 又 222 c+b=a， 联立解得12=c，a, b=1，因此焦距为 2，故选 B 【考查意图】本题以椭圆为载体，考查椭圆及其几何性质等知识，考查运算求解能力、逻辑 推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推 理、数学运算核心素养. 7. 已知函数( )3sin2cos2f xxx，把函数( )f x的图象沿 x 轴向左平移 6 个单位，得到 函数( )g x的图象下列关于函数( )g x的说法正确的是 A. 在 , 2 上是减函数B. 在区间 2 , 63 上的值域为1,1 C. 函数( )g x是奇函数D. 其图象关于直线 2 x 对称 【解析】( )2sin(2) 6 f xx ，( )2sin 2()2sin 22cos2 662 g xxxx . ( )g x是偶函数,在, 2 上不单调, 在区间 2 , 63 上的值域为2,1，其图像关于直线 2 x 对称. 故选D. 【考查意图】本题以三角函数为载体，考查三角函数图象变换与性质等知识，考查运算求解 能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数 学运算核心素养. 8. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？” 右图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长， 则输出的n A. 5B.3C. 4D. 2 【解析】 n=1 时， a=9,b=4; n=2 时， a=13.5,b=8; n=3 时， a=20.25,b=16; n=4 时，a=30.375,b=32,此时输出 n=4。故选C. 【考查意图】利用程序框图的顺序结构、循环结构 ,结合实际问题的 已知条件求出输出的 n 的值。考查程序框图的三种基本逻辑结构及应 用，考查学生的文化素养和计算能力。 9. 函数 2 xx xx =xf +cos sin )(在-，上的图像大致为 ABCD 【解析】)(xf为奇函数，排除 B、C，当 x0时，0)(xf，排除 D，故选 A 【考查意图】 本题以函数的大致图像为载体， 主要考查从函数的奇偶性判断图像的对称性和 从函数取值判断图像的变化趋势等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合 思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养. 10. 给出下列四个命题： * 0 xN，使得 0 sin1 2 x ；0a 是 2 10axax 恒成立的充分条件； 函数 ln ( ) x f x x 在点 1 (e, ) e 处不存在切线；函数 2 ( )9lnf xxx存在零点 其中正确命题个数是 A1B2C3D. 4 【解析】 0 1x,sin1 2 ,正确； 2 10axax 恒成立，需0a 或 2 0 40 a aa 解 得：40a ，错误；函数 ln ( ) x f x x 在点 1 (e, ) e 处切线方程为 1 e y ，错误； 函数 2 ( )9lnf xxx，(1)10f ，(3)9ln390f (1)(3)0ff，所以( )f x在1,3存在零点，正确；故选 B 【考查意图】本题以充分条件、简易逻辑、函数导数的应用等知识为载体，主要考查不等式 恒成立、 函数导数的几何意义、 函数零点的判断等知识， 考查运算求解能力、 推理论证能力， 考查数形结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养. 11. 在ABC中， 0 120ABC,D是线段AC上的点， 0 30DBC，若ABC的面积为 2 3，则BD的最大值是 A2B3C5D6 【解析】由 1 2 3sin120 2 ac 得8ac ,因为 ABCABDBCD SSS ,即 11 2 3sin90sin30 22 BDcBDa ,得 8 38 3 3 28 BD ac ， 当且仅当2ac时， 即4,2ac时，BD取到最大值是3.故选 B. 【设计意图】本题以三角形为载体，考查学生运用三角形面积公式的综合能力,并能运用基 本不等式求最值.考查运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 考查直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养. 12. 已知定义在R上的连续函数( )f x满足( )(4)f xfx，且( 2)0f ，( )fx为函数 ( )f x的导函数，当2x 时，有( )( )0f xfx，则不等式( )0 x f x的解集为 A(0,6)B( 2,0)C(, 2) D(, 2)(0,6) 【解析】构造函数( )( ),(2) x g xe f xx， 则( )( )( )( )( )0 xxx g xe f xe fxef xfx，( )g x在(,2)单调递增， 2 ( 2)( 2)0gef ，当(, 2)x 时，( )0g x ，当( 2,2)x 时， ( )0g x ， 又0 x e ，当(, 2)x 时，( )0f x ， 当( 2,2)x 时，( )0f x ， 又( )f x满足( )(4)f xfx，( )f x图象关于直线2x 对称，当( 2,6)x 时，( )0f x ，当(, 2)(6,)x 时，( )0f x ， 不等式( )0 x f x可化为： 0 ( )0 x f x 或 0 ( )0 x f x ， 可解得：(, 2)(0,6)x 故选 D 【考查意图】本题以函数性质、导数的应用等知识为载体，主要考查函数的对称性、函数导 数应用于判断函数单调性，解不等式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形 结合思想，考查逻辑推理、直观想象核心素养. 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.已知 2 cos() 44 ，则sin2. 【解析】由sin2cos(2 )cos 2() 24 22 23 2cos12()1 444 . 【考查意图】本题以三角恒等变换公式为载体，考查学生运用角的变换的综合能力.考查运 算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核 心素养. 14.已知数列 n a是公差为2的等差数列，若 2 1a ， 5 1a ， 6 1a 成等比数列，则 8 a . 【解析】 2 526 (1)11aaa， 即 2 111 (41)151adadad得 1 10a , 又2d ， 8 4a 【考查意图】本题以等差数列、等比数列为载体，考查学生运算求解能力、逻辑推理能力， 考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养. 15.已知直三棱柱 111 -ABC A BC的高为2 3，3BC ， 0 120BAC，则该三棱柱外接球 的表面积为. 解：底面外接圆半径为1 2sin BC r A ，外接球的半径 222 1 1 ()134 2 RrAA ，外接球 的表面积为 2 416R. 【考查意图】考查余弦定理、正弦定理的应用，考查柱体体积、球的表面积计算公式，考查 三棱柱与其外接球的结构关系，考查学生的计算能力、空间想象能力。 16. 已知点 12 ,F F分别为双曲线)0,0( 1=： 2 2 2 2 ba b y a x -C的左、右焦点，A为直线 ax 3 4 =与双曲线C的一个交点，若点A在以 12 FF为直径的圆上，则双曲线C的离心率为 _. 解：设 4 , 3 a Ay（） ，代入1= 2 2 2 2 b y - a x 化简得 22 9 7 by=，由已知得AFAF 21 ，由向量知 识得 2 9 7 ) 3 4 )( 3 4 (bcaca=+-，又 222 cba=+，整理得 2 7 = 2 2 a b ，则C的离心率 2 23 2 7 1=+=e 【考查意图】本题以双曲线为载体，主要考查直线、双曲线及其几何性质等知识，考查运算 求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想,考查逻 辑推理、直观想象、数学运算核心素养. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使 甲产品的生产节能降耗。 以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x(吨)与相应的生产 能耗y(吨)的几组对照数据 x(吨) 4567 y(吨) 2.5344.5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程axby ; ) , ( 2 1 2 1 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii （2）已知该厂技术改造前生产 8 吨甲产品的生产能耗为 7 吨，试根据（1）求出的线性回归 方程，预测节能降耗后生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？ 17.（本小题满分 12 分） 【解析】 (1)5 . 3 4 5 . 4435 . 2 , 5 . 5 4 7654 yx,2 分 , 5 .805 . 4746355 . 24 4 1 i iiy x4 分 ,1267654 2222 4 1 2 i i x5 分 , 7 . 0 5 . 54126 5 . 35 . 545 .80 4 4 2 2 4 1 2 4 1 xx yxyx b i i i ii 7 分 ,35. 05 . 57 . 05 . 3 xbya8 分 .35. 07 . 0xy所求的回归方程为9 分 (2)把8x代入回归方程可预测相应的生产能耗是 吨25. 535. 087 . 0y，10 分 7-5.25=1.75 吨，11 分 所以，预测生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 1.75 吨. 12 分 【考查意图】本题以统计为载体，主要考查线性回归方程等知识，考查运算求解能力、推理 论证能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析核心素养. 18. （本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且21(,) n n SaaR nN . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 n n nn a b S S , 求数列b n 的前n项和 n T. 18.（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）方法一:当1n 时， 11 21aSa.1 分 当2n 时， 1 1 2n nnn aSSa ,3 分 因为 n a是等比数列，所以 1 21aa满足 式，所以21aa ，即1a ，5 分 因此等比数列 n a的首项为 1,公比为 2, 所以等比数列 n a的通项公式是 1 2n n a .6 分 方法二: 当1n 时， 11 21aSa.1 分 当2n 时， 1 1 2n nnn aSSa 3 分 于是 23 2 ,4aa aa,由已知得 2 213 aa a,解得10()aa或舍去,5 分 因此等比数列 n a的首项为 1,公比为 2, 于是等比数列 n a的通项公式是 1 2n n a .6 分 （2）由（1）知21 n n S ，8 分 则 1 1 n n nn a b S S ,即 1 1 211 21212121 n n nn nn b ，10 分 所以 12 1 1111111 1 3377152121 nn nn Tbbb ,所以 1 1 1 21 n n T .12 分 方法二: 11 1+11 11 = nnn n nnnnnn ass b S Ss sss ，8 分 于是 12 122334111 1111111111 nn nnn Tbbb ssssssssss 10 分 由（1）知21 n n S ，于是 1 1 1 21 n n T 12 分 【考查意图】本题以等比数列为载体，考查学生求数列通项公式的方法、数列前 项和的方 法，考查学生运算求解能力、逻辑推理能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推 理、数学运算核心素养. 19. （本小题满分 12 分） 如图，在几何体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1为矩形，AA1CC1 且 AA1=2CC1，E 为 AB1的中点 （1）求证：CE平面 A1B1C1； （2）若平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，ABBCCC12， 求三棱锥 E- ACC1的体积. 19.【解析】 （本小题满分 12 分） (1)证明如图，取 A1B1中点 F，连接 EF，FC1， E 为 AB1中点，EF/A1A 且 EF=1 2A 1A，2 分 AA1CC1且 AA1=2CC1， EF/CC1且 EF=CC1，即四边形 EFC1C 为平行四边形， CEC1F.4 分 111 CEABC 平面， 1111 C FABC 平面， CE平面 A1B1C1.6 分 (2) 平面 AB B1A1平面 ABC，交线为 AB 又矩形 AB B1A1中 A A1AB，AA1平面 ABC，8 分 AA1CC1，CC1平面 ABC， 9 分 BB1CC1， 111 BBCAC 平面， 111 CCCAC 平面， BB1 11C AC平面10 分 11111 111 222 EACCBACCB ACCCABC VVVV 11 分 1112 222 2323 12 分 【考查意图】考查直线与平面平行、垂直的位置关系，考查平面与平面垂直的性质、锥体体 积计算公式，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力，考查化 归转化的数学思想。 20 （本小题满分 12 分） 已知抛物线：Cxy4 2 =，抛物线C的准线为l，焦点为F，A点位于第一象限内且在抛物 线C上运动，直线AO（O为坐标原点）交l于B点，直线BF交抛物线C于ED、两点， M为线段DE中点. （1）若AF=5，求直线FB的方程； （2）试问直线AM的斜率是否为定值,若是，求出该值；若不是，说明理由. 20 【解析】 （本小题满分 12 分） （1）抛物线：Cxy4 2 =的准线为1x ，焦点为F（1,0）2 分 由AF=5 及抛物线定义得A点横坐标为 4，3 分 由A点位于第一象限内且在抛物线：Cxy4 2 =上得A点坐标为（4，4） ，4 分 于是 OA k=1，则直线OA的方程为xy =，与准线1x 联立解得 B（-1，-1）5 分 因此 BF k= 2 1 ，所以直线FB的方程为 2 1 2 1 -x=y，即210 xy 6 分 （说明：若通过几何法或其它方法得出 BF k= 2 1 OA k= 2 1 ，然后再求直线方程也一样给分） （2）由已知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为ykx，与准线1x 联立解得B （k-，1） ， 于是 2 k kBF=，7 分 由已知0k ，故设直线FB的方程为1 2 +=y k x，与xy4 2 =联立并消去x得 04 8 2 =- k -yy，8 分 由于 2 64 160 k 设 1122 ( ,),D x yE xy（），则 k 8 21 =+ yy，则 212 16 2xx k 9 分 由于M为线段DE中点，于是M点坐标为 2 84 (1, ) kk ， 10 分 直线OA的方程）（0=kkxy，与xy4 2 =联立解得A（ kk 4 , 4 2 ） ，11 分 所以直线AM的斜率为 0，综上可知直线AM的斜率为定值 012 分 【考查意图】本题以直线、抛物线为载体，考查直线、抛物线及其几何性质、直线与抛物线 位置关系等知识， 考查运算求解能力、 推理论证能力， 考查化归与转化思想、 数形结合思想、 函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln a f xx x ，其中aR. （1）试讨论函数)(xf的单调性； （2）若1a ，试证明： ecos ( ) x x f x x . 20.（本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由 22 1 ( ) axa fx xxx (0)x 知：1 分 （i）若0a ， 2 ( )0(0) xa fxx x ，)(xf在区间 0,上为增函数2 分 （ii）若0a ， 当x0,a时，有( )0fx，)(xf在区间0,a上为减函数 当x, a 时，有( )0fx，)(xf在区间, a 上为增函数 4 分 综上：当0a 时，)(xf在区间0,上为增函数； 当0a 时，)(xf在区间0,a上为减函数；)(xf在区间, a 上为增函数5 分 （2）若1a ，则 1 ( )ln(0)f xxx x 要证 ecos ( ) x x f x x ，只需证ln1ecos x xxx， 即证：ln ecos1 x xxx （i）当01x时，ln0 xx ，而ecos1 1cos1 1cos10 x x 此时：ln ecos1 x xxx6 分 （ii）当1x 时，令( )ecosln1 x g xxxx，0,x7 分 ( )esinln1 x g xxx8 分 设( )( )esinln1 x h xg xxx， 则 1 ( )ecos x h xx x 1x ， 1 ( )ecose1 10 x h xx x 9 分 当1x 时，( )h x单调递增，( )(1)esin1 10h xh ，即( )0g x ( )g x在1,单调递增，( )(1)ecos1 10g xg 10 分 即：( )ecosln10 x g xxxx ln ecos1 x xxx ecos ( ) x x f x x 11 分 综上：当0 x 时，有 ecos ( ) x x f x x 12 分 【考查意图】 本题以函数导数的应用知识为载体， 主要考查函数导数应用于判断函数单调性， 证明不等式等知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论思想，构造新函数思 想方法，考查逻辑推理核心素养. 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做 第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 cos()1 4 ，曲线C的参数方程为： 2(cossin) cossin x y ， ， （为 参数） ，BA,为直线l上距离为 2 的两动点，点P为曲线C上的动点且不在直线l上 (1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程 (2)求PAB面积的最大值 【解析】法一：直线l的极坐标方程1) 4 (cos2 化成1sincos sin,cosyx，直线l的直角坐标方程为01 yx2 分 曲线C的参数方程化成：为参数） ( , sincos sincos 2 y x . 平方相加得2 4 2 2 y x ，即1 28 22 yx 5 分 （2）设点P)sincos,sin2cos2(,则P到直线l的距离为： 2 |1sincos3| d 2 |1)sin(10| 8 分 max 2 5 2 d9 分 设PAB的面积为S，则) 2 2 5(| 2 1 max ABS 2 2 5 10 分 法二：也可设点P)sin2,cos22( 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(txxf，若1)(x