“数形结合”思想在小学数学中的运用

“数形结合”思想在小学数学中的运用数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象表象之间的转化，发挥学生的思维。数学家张广厚曾说：“数学无疑是一门高度抽象的学科，需要人们具有高度的抽象思维能力，但是也同样需要很强的几何直观能力。抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握住问题的实质。”在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观地表示出来，如通过作线段图、树形图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，培养学生“在抽象中看出直观”的意识和能力，增强学生解决问题的能力。一、运用“数形结合”思想开展概念数学学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。数学概念的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意，而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物、图形等，从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程。小学生入学初，刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物（形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数、学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。例如北师大版五年级上册分数的基本性质，我先让学生分小组合作、探究，将三张大小相同的长方形纸平均折成4份、8份、16份，然后用铅笔分别画出3份、6份、12份，比一比画出部分的大小。并将三张长方形纸依次贴在黑板上，分别用分数表示阴影部分，如下图： 让学生观察这几组分数，分数的分子、分母都不相同，为什么分数的大小都相等呢？你们能找出它们的变化规律吗？这里有了数形结合，学生能够很直观地发现分子和分母的变化规律，得出分数的基本性质。 二、运用“数形结合”思想理解计算算理计算是小学数学的重要内容。但在教学中许多老师忽视了引导学生理解算理，许多老师甚至不知如何帮助学生理解算理。学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“要知其然，更要知其所以然。”数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。例如北师大版数学一年级上册有几瓶牛奶（9加几的进位加法），教师出示情境图让学生理解复述题意，引导学生列出算式：9+5=，然后让学生探讨算法。学生可以用自己喜欢的方法来解决，可以通过直接看算式用凑十的方法，也可以用学具小棒等代替牛奶瓶进行操作，学生先自己说一说，摆一摆，再小组合作，汇报自己的想法。集体汇报时教师要在众多的算法中突出板书理解凑十法，通过数形结合明白算理。 然后过渡到 9 + 5 = 14 9 1 4 1 4 10 10又如，北师大版数学五年级下册分数乘法（三）：一张长方形纸条，第一次剪去它的，第二次剪去剩余部分的，此时，剩下的部分占这张纸条的几分之几？如果第三次再剪去剩余部分的，那么剩下部分占这张纸条的几分之几？先让学生独立思考后用图形来表示： 然后小组同学相互交流，展示学生画的图形，说说自己的想法，最后得出=。在数学时，让学生将一张长方形的纸竖着对折2次，用斜线涂出它的，再把这张纸横着对折2次，用红色涂出斜线部分的，教师多媒体展示下图： 得出：=，并适时总结出分数乘分数的计算方法。以上例子，就是把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形就能联想到算式，能更有效地让学生理解计算的算理。三、运用“数形结合”思想拓展几何空间观念“空间与图形”是数学课程标准安排的四个学习领域之一，其核心目的是要发展学生的空间观念。空间观念是在空间知觉的基础上形成起来的，是几何形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象及想象。对于小学生来说，他们的思维还处于从具体形象思维向抽象思维的过渡阶段，而空间观念的培养，也正是进行抽象思维的培养。为此，我们在进行几何知识教学时，不能仅着眼于学生认识一些图形和能进行有关的求积计算，还应致力于如何采用合理的、有效的教学方法，培养学生的空间观念。例如，在教学三角形面积时，为了能让学生充分理解面积公式的意义，就必须让学生经历面积公式的推导过程，因此要放手让学生去独立思考、合作讨论、动手操作怎样得出三角形面积公式，通过数形结合的思想，变抽象为具体。学生探索交流后可以得出以下几种推导方法：方法一：数方格 方法二：将两个相同的三角形拼成一个平行四边形： 方法三：通过割补可以把一个三角形转化成平行四边形或长方形： 或 通过分析拼成的平行四边形和原来的三角形的相互关系，得出三角形的公式：S=ah2。在这一过程中，学生真正明白了三角形的面积与拼成平行四边形面积之间的关系，也深刻理解了“除以2”的涵义。这样的教学，借助数形结合，促进了学生对三角形面积公式的深刻理解，还强化了“转化”这一数学思想方法。四、运用“数形结合”思想解决实际问题运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。在小学数学教学中，主要有线段图、示意图、数形图、几何图、韦恩图和表格等方法体现了数形结合思想方法。下面的例子就是借助表格来解决较为复杂的实际问题的。在北师大版五年级上册鸡兔同笼这节课中，即采用假设法解题时，运用数形结合，可以使极为抽象的假设法变得直观形象。例题：鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？题中有两个变量：鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减少，反之鸡少了兔就多了。但它们总的只数和腿的条数是不变的。教学中，让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难，教师单纯用语言是无法让学生很好地理解的。因此，教材就采用了数形结合（即表格），帮助学生理解鸡兔这两个变量的。在表格中学生通过猜测和尝试，逐步优化思路和方法：从有1只鸡开始一个一个地试，到几只鸡几只鸡地变化尝试和调整，到最后假设鸡和兔各占一半，两步到位，也就是10鸡，10只兔，共有60条腿。腿比实际54条多了6条，因为每多算一只兔子就会多算2条腿，说明多算了3只兔子，得到：7只兔子，13只鸡的正确结果。此时，再进一步延伸到假设法列式解决，即假设20只全部是兔子，得到算式：（204-54）（42）=13（只），水到渠成，学生就容易理解和掌握了。五、运用“数形结合”思想整理数学知识体系我们上完一个单元、一册书或整个小学阶段，就需要对相对应章节内容进行复习整理，使学生数学知识形成体系。复习是知识系统化的过程，也是提高学生技能的过程。小学数学内容是循序渐进，螺旋上升编排的，具有严密的系统性，知识的纵横之间有一根根无形的线把它们有机地串在一起，但数学教材的内容却是一个一个断开的课时完成的。因此，教师就是要让学生通过复习整理，把学过的知识系统化，使这些知识在学生的头脑中竖成串、横成链、结成网，形成一个完整的知识网络体系，这样不但能加深知识，巩固对所学知识的理解，而且便于将成块的知识储存在大脑中，便于今后运用。运用数形结合，有利于学生直观理解和掌握数学知识体系，如下面的树形图就是对数的计算的复习整理： 1、四则运算的意义2、四则运算的法则3、混合