薄透镜的傅立叶变换特性.doc

第五章 薄透镜的傅立叶变换特性透镜是光学成像系统和光学信息系统中最重要的元件。关于薄透镜的成像性质，我们在几何光学中已经学过。本章我们用波动的观点讨论薄透镜的作用。本章首先讨论透镜对入射光波相位改变的规律。然后讨论透镜的傅立叶变换特性，最后讨论透镜孔径对傅立叶变换的影响。5.1光波通过薄透镜后的位相变化透镜是用玻璃、树脂或其它透明材料制成的光学成像或光学信息器件。其折射率n大于周围的空气。光通过透镜的不同部位产生的位相变化不同，其大小与透镜的厚度成正比。如果一条光线以任意方向通过透镜只有位相的变化，而横向位移可以忽略（或者说入射到透镜上的任意光线，其入射点高度与出射点高度相同），则该透镜称为薄透镜。我们先研究孔径无限大的薄透镜。设透镜的最大厚度为0，光线通过透镜时，在点的发生的总位相延迟当不考虑透镜的反射和吸收，光线通过透镜仅发生位相的改变，其作用相当于一个复振幅透过率为t(x, y)的透射屏。所以为了确定各种不同类型的透镜所引起的位相变化的具体形式，规定以下符号规则：当光线从左到右时，其遇到的每个凸面的曲率半径为正，而凹面的曲率半径为负。将透镜分成如图所示的两半，令、表示两半的厚度，于是厚度函数根据图中的几何关系，有同样如果只考虑近轴光束，即x，y,，则所以厚度函数近似为代入透射函数表达式，得在几何光学中，我们曾在近轴条件下导出薄透镜的焦距f和透镜的两个曲率半径的关系为所以透镜的复振幅透过率为由于是不随（x, y）变化的常位相因子，为简明起见，常将其略去，所以透镜的位相变换因子写为所以透镜的位相变换作用是使得入射光波经透镜之后产生二次曲面位相因子的变化，这种变化只取决于透镜的焦距值。焦距的正负使光波的位相产生了球面波二次曲面的延迟或超前。若考虑透镜孔径的有限大小，用表示其孔径函数（光瞳函数），则透镜对光振动所起的位相变换作用，是由透镜本身性质决定的，与入射光振动复振幅的具体形式无关。若某一器件或透明片，对光振动的复振幅透过率可用表示，则它的作用就相当于焦距为f的透镜。通过全息照相的方法可以获得形式透过率的透明片，这就是制作全息透镜的基本原理。5.2透镜的傅立叶变换特性正透镜的有用性质之一是能够进行二维的傅立叶变换。下面考虑用正透镜进行傅立叶变换的两类光路：第一类，要变换的物体置于透镜的前方；第二类，要变换的物体置于透镜的后方。我们先导出一般公式，然后讨论一些有实用价值的特殊情况。一、要变换的物体在透镜前方点光源位于P0平面的（0,0）点，透镜（无特殊情况指会聚透镜，注意符号法则）位于P平面上，设要变换的物体是一个透明图片，位于P1平面，复振幅透过率，如下图。S点发出的单色发散球面波照射到面，在近轴近似下，其复振幅为：经过透明片后其复振幅为在透镜前，光场的复振幅可按菲涅耳衍射公式写为（忽略常位相因子）则在透镜后，光场的复振幅分布位（忽略透镜孔径的衍射作用，即考虑透镜孔径无限大）由透镜后到观察面，同样根据菲涅耳衍射公式，则其中讨论1当满足时，即Pi面是P1面的共轭面时在Pi这个共轭面上没有透明图片的频谱分布信息，可以认为得到的是的像，而不是的频谱。2当满足时，即Pi面是光源面的共轭面时将代入上式消去d0，得其中通过以下的运算，我们得到在光源的共轭面上，透明图片的复振幅为其中 从导出的式子可以看出：在光源的共轭像平面上透明图片的复振幅分布，除与和的二次位相因子有关外，还与的傅里叶变换有关。空域坐标与频谱坐标的缩放尺度由决定。3当时，即物在前焦面上时显然在这种情况下，观察面的复振幅就是物体的透射系数的傅立叶变换。用这种光路可以准确实现光学傅立叶变换，并且与照明光源的位置无关。当光源位于无限远，即用平行光照明物体时，傅立叶变换平面就位于透镜的后焦面，如下图。当光源位于任意位置与透镜的距离为-d0时，傅立叶变换平面位于光源的共轭像面，变换平面与透镜的距离为，如图。利用这种光学傅立叶变换，可以分析物体的空间频谱，也可以根据空间频谱来研究物体的结构。近代光学中的光学变换、光学空间滤波、光学信息处理以及傅立叶变换全息等都以此为基础。4当时，即物紧靠透镜时根据得这就是物紧靠透镜时在输出面上的复振幅分布。在这种情况下，存在附加二次曲面关系的位相因子。如果用平行光照明，则，此时5物体位于透镜前任意位置，如果用平行光照明物体，即的情况根据当时这种情况下，在傅立叶变换平面上，不论物位于何处，位置坐标与频率坐标的比例不变，但是二次曲面位相因子仍然存在。应当指出，如果，物体的像为放大的实象；若，则物体的像为放大的虚象。二物在透镜后当要变换的物体置于透镜的后方时，如下图。忽略透镜孔径的衍射作用，我们用与推导物在透镜前的方法一样，可导出在点光源S的共轭像面上的复振幅分布为上式说明，通过光源共轭点的观察面上所得到的是的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积。空域坐标与频域坐标的缩放关系由决定。讨论1. 如果输入面紧靠透镜放置，即，则而我们知道物位于透镜前并紧靠透镜的时候，输出面的复振幅也是所以这两种情况是一样的，即只要物紧靠透镜，物在透镜前还是在透镜后没有区别。如果用平行光照明，则，所以2. 输入面在透镜后任意位置，用平行光照明，即，此时显然此时位置坐标与频率坐标的比例随d1变化。为了便于比较，我们把各种光学傅立叶变换汇总于下表。表5-1 光学傅立叶变换的各种光路输入面位置光源位置输出平面二次位相因子空、频坐标比前焦面后焦面11透镜前处后焦面紧靠透镜后焦面透镜后后焦面5.3 透镜孔径对透镜傅里叶变换的影响上一节，我们讨论物在无限大口径透镜前，并且观察面是光源的共轭面，即时，观察屏得到的复振幅为也就是说，物在光源的共轭像平面上的复振幅分布，除去关于和的位相因子外，便是的傅里叶变换了。但是实际上的透镜的口径总是有限大小的，透镜的口径对观察面上的复振幅分布将会产生怎样的影响呢？下面我们来进行分析。我们仍然考虑物在透镜前的情况。透镜的口径为D，用平行光照明，观察面在透镜的后焦面上，即。一、 定性分析用平行光照明物平面，物平面上的每一点可看成一个点光源，向各个方向发射光线。像平面上的任一点的光场，可看作物平面上所有点发出的相同方向的平行光经过透镜汇聚而成。1 透镜孔径对平行于OMi的光柱的限制作用及截止频率 孔径在OMi方向的投影包含整个物面(如下图)，则Mi点光振动代表OMi方向平面波相应空间频谱。 孔径在OMi方向的投影仅包含部分物面(如下图)，则Mi点光振动偏离OMi方向平面波相应空间频谱值。 孔径在OMi方向的投影完全不含物面(如下图)，则OMi方向平面波相应空间频谱在谱面上根本不能被反映。 透镜L的截止频率物所发出的方向的光线将被透镜的孔径所截止，其对应的空间截止频率为，。因为通过透镜会聚到像面上的物平面发出的平行光束，是靠近光轴的部分，即对应于频谱面上靠近中心低频的部分，从这个意义上说：薄透镜是一个低通滤波器。2孔径对频谱面上的光场的影响类似于几何光学成像中的渐晕现象。频谱面上靠近光轴处的谱值（低频谱值）比较准确，而离轴愈远谱值误差越大。二、 定量分析对于频谱面上的某一点，透镜边缘沿OMi方向在物面上的投影近似与透镜孔径函数P(x，y)相同，只是投影的中心在。根据下图的几何关系，可以得到， 于是透镜孔径在物面的投影函数可写作，物分布被这投影包含的面积则为。对于谱平面上的不同点，随观察点坐标而变。当用当平行光垂直照明时，即，根据（5-15式），在谱平面上(5-16)。因此当用平行光垂直照明时，考虑到透镜边框对谱面的影响，观察面上的复振幅（p.132,5-14）为其中。分析上面的式子可以看出，物面离透镜愈近，物面尺寸相对与透镜直径愈小，观察面上的复振幅就越接近p.132,5-14式，也就是渐晕效应愈小。当物面紧贴透镜时，上式与p.132,5-14式完全相同，由透镜孔径所产生的渐晕效应可以完全消除。此时，若1 物面尺寸比透镜直径小，则物的边缘决定了通光孔径。此时观察面上的复振幅为即在谱面上，得到的傅里叶变换。2 物面尺寸比透镜直径大，则透镜的边缘限制了物面的大小，此时观察面上的复振幅为即在谱面上得到的傅里叶变换。本章部分习题解答习题2解：透镜的位相变换作用是使得入射光波经透镜之后产生二次曲面位相因子的变化，即，这种变化只取决于透镜的焦距值。若某一器件或透明片，对光振动的复振幅透过率可用表示，则它的作用就相当于焦距为f的透镜。根据这一观点，我们把给定的衍射屏的振幅透过率函数变换形式显然，这一衍射屏相当于半径为l，焦距分别为，的透镜。所以衍射屏能象透镜一样作为位相变换器。若把其作为成像装置，则物体成三个像，放上接收装置，在任何一个像面上都会有其它的离焦像产生的背景的干扰。又因为，分别与波长有关，所以此“透镜”成象时存在色差，因此用单色光比用自然光照明得到的像清晰。习题6解：变换的物体置于透镜的后方时，如图。点光源S的共轭像面上的复振幅分布为用平行光照明，即时而所以因为两个中心相距较远的sinc函数的乘积很小，我们忽略上式中三个交叠的sinc函数项，则将f0=100cy/cm，L=1cm，f=200cm，d1=100cm代入上式得所以沿轴的强度分布为：光强度分布图如下：在xi轴上，两个一级分量中心到原点的距离分别是：=零级分量第一个零点的位置：中央亮斑的宽度为：