物理竞赛复赛模拟训练卷21.doc

物理竞赛复赛模拟训练卷21 题1：，如图1所示，公园的转椅以恒定的角速度绕其竖直对称轴在水平面内做匀速转动。转椅上的人以相对转椅v的速度平抛一个小球，为使小球能击中转椅架底部中心点O，试求v的大小和方向。已知：小球抛出点比O点高h，与竖直转轴的距离为R。图1图1(1)解：先计算小球抛出对地的初速度 。水平方向： 竖直方向： 解得 由图1(1)中速度矢量三角形易知： 与R的夹角为 ，则 ， 所以题2：在斯涅耳的档案中有一张光学图（见图2）。由于墨水褪色只留下了三个点，一个薄透镜的焦点F (图2)，光源S和透镜上的一点L。此外，还留下一部分从光源S画到其像S的直线a，从正文中知道S比S点更靠近透镜，有可能完整恢复这张图纸吗？如果可能，把它画出来，并确定图中透镜的焦距。图2图2(1)分析与解答：如图2(1)所示：1、令O为透镜的光学中心；2、F和O点位于垂直于透镜的光轴上，因此 是直角；3、；连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心；4、连接F与L点，并以线段FL的中心C为圆心，画一通过F及L点的圆；5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角，可以判断O点位于圆与直线a 的交点上。6、从图中找到O点的两个可能的位置（ 和 ）；7、恢复出两种可能的示意图，如图2(1)所示。8、由于光源S比其像 更靠近透镜，可以断定只有透镜 符合题意。实际上，对透镜 可以看到S到 的距离大于二倍焦距，因此 到 的距离小于二倍焦距。 题3：有两个处于基态的氢原子A、B，A静止，B以速度v0与之发生碰撞。已知：碰撞后二者的速度vA和vB在一条直线上，碰撞过程中部分动能有被某一个氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能态跃迁，并发出光子。如欲碰撞后发出一个光子，试计算：速度v0至少需要多大（以m/s表示）？已知电子电量为e=1.60210-19C，质子质量为mP=1.67310-27kg，电子质量为me=0.191110-31kg。氢原子的基态能量为E1=-13.58eV。分析与解答：根据玻尔理论，我们可求出氢原子A、B碰后发出光子的能量。再根据动量守恒定律与能量守恒定律及运用数学运算技巧，即可求出最后结果。氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是 的第一激发态，已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比，即有： (1)又知基态(n=1)的能量为-13.58eV，即 n=2的第一激发态的能量为 (2)为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为 (3)这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即 (4)式中 为光子的频率。从开始碰撞到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有 (5) (6)光子的动量 。由(6)式推得 ，因为 c，所以 ，故(5)式中光子的动量与 相比较可忽略不计，(5)式变为 (7)符合(6)、(7)两式的 的最小值可推求如下：由(6)式及(6)式推得 经配方得 (8)由(8)可看出，当 时， 达到最小值 ，此时 (9) (10)代入有关数值，得 (11)题4：图4所示，有26块半径为r和26块半径为R（Rr）的 薄金属板，它们被平行地放置，如图41-95（a）所示。任何两块邻近的平板之间的距离为d（dr)，用这种方式可形成一电容器，问应该如何把这些板连接成两组，使所得的电容成为最大？求出这个最大电容。图4分析与解答：我们应该把某些板连接起来，具有电势 ，把其余的板连成具有电势U2，使系统中积聚的静电场能量最大。当然，电容的最后结果不应与 和 值有关。因此，为了简单，我们设 求出图41-95（b）中的(a)、(b)所示情况的两种静电场能量：平板组表面分别为 和 ，图41-95（b）中的（a）中所示区域内的静电场 。所考虑区域内的静电场能量为 类似地， 图41-95（b）中的(b)中所示区域内静电场能量（无中心部分）为 我们注意到，仅当 时，才有 现在考虑相继两块较大平板之间的静电场能量，从理论上讲，有8种可能方式把平板连成电势为 和- 。但其中只有4种是本质不同的，另外4种对应于两个电势符号的改变 。4种可能的情况由图41-95（c）中的(a)、(b)、(c)、(d)所示，静电场能量为：（1）0；（2）2W；（3） ；（4） 。如 ，情况（b）能量最大；如 ，(c)和(d)能量最大，可 见平板的最佳连结法信赖 对 的比。对每一固定比 ，可找出一种连接法，使大平板间所有区域内静电场能量为最大。（A）对 ，即 ，我们把所有小板连在一起，把所有大板也连接在一起，如图41-95（d）中的(a)所示。此时总能量为： 式中 指系统电容： （B）如 ，即 。大板应连成 和 交叉，即 小板全部连成为 ，或全部为 ，或部分为 ，其余为 .这种情况在图41-95（d）中的(b)中示出。此时，总能量为 式中 指系统电容： 考虑到 ，我们可以写成 题5：一般的日光灯两端的电压增大到u1=200伏时就能发光，发光后如电压降到u2=114.2伏就会熄灭。如果日光灯接在电压为220伏的照明电路中，试计算日光灯每次发光的延续时间（日光灯的熄灭电压各异，本题只是一个假设情况）。分析与解答：220伏照明电压的瞬时值表达式为： 伏，如图5所示。图5第一个半周期中，从t=0开始，设经t1时间后电压从0增大到u1，此时日光灯第一次发光，则 解得： 再设经t2时间，电压由零增大到电压的最大值又减小到等于u2，这时日光灯第一次熄灭，则： 解得： 所以日光灯发光的持续时间 同样，在第二个半周期交流电压反向增大到u1时，日光灯又会发光，持续时间相同，即一个周期内，日光灯明暗交替两次。题6：如图6为两个圆筒底部面积S=100cm2，左筒内气体的质量m1=4g，体积V1=22.4L，压强p1=1atm，温度为T1=273K。右筒内有同种气体，质量m2=7.44g，体积V2=22.4L，温度T2=273K；左筒壁绝热，右筒壁靠大热库维持恒定的0的温度。整个系统在真空中，放开筒连接的活塞后，活塞移动L=50cm后达到平衡而静止。试问右筒内的气体吸收了多少热量？已知气体可视为理想气体，定容比热CV=3.14J/（gK），设活塞与筒壁之间无摩擦。图6分析与解答：先用状态方程算出右筒内气体的初始压强，与左筒比较，确定活塞移动方向（左移）。随着活塞左移，左筒气体绝热压缩，外界（即右筒气体）对它做功，内能增加，升温。与此同时，右筒气体等温膨胀，内能不变，从热库吸热，对外（即对左筒气体）做功。总之，右筒气体从热库吸收的热量等于它对左筒气体所做的功，也等于左筒气体内能的增量。放开活塞前，由状态方程 及 两式相比得 所以，活塞放开后右筒气体推动杆对左筒气体做功，活塞向左移动。平衡后左右筒体积分别为 ， 在移动过程中，左筒气体绝热压缩，右筒气体等温膨胀，平衡后，左、右筒气体的参量方程为 ， 且有 ，故得 根据热力学第一定律知，左边筒气体的内能增量，等于右边筒气体对它做的功 ，右筒从热库中吸收热量Q等于它对左筒气体所做功 ， ，所以 点评：本题是应用热力学第一定律的典型例题。图7题7：一簇离子，质量都为m，在P点以相同速率向不同方向散开，如图7中43-115（a）所示，垂直于纸面的均匀磁场B将这些离子聚焦于R点，距离PR=2a。离子的轨道为轴对称，要求确定磁场区的边界。分析与解答：从不同方向进入磁场的离子，均做匀速圆周运动，最后沿轨道的切线方向离开 磁场，都射向R点，这些圆的半径均为r，但圆心散落在离子轨道的对称轴y上。本题的要求，也即解题的关键是，找到表达磁场边界的函数式，并讨论磁场边界的形状。在磁场B中，作用于电量为Q，速度为 的质点的洛仑兹力为 。结果使粒子在半径r的圆轨道上运动，即 质量为m的所有粒子都在半径为 的相同的圆轨道上运动。离开磁场后，它们将沿 最后的切线方向 直线飞行。我们应这样去求磁场的边界线，使所有的离子也都打在同一点R上，要解决的数学问题是，寻找的粒子应从这些半径为r的圆的何处离开，才能使它们的切线在R点相交，这些半径为r的圆的圆心都位于y轴（图43-115（b）在半径r的圆轨道上运动的粒子，在坐标为 的A点离开磁场，沿切线飞向R点。由相似三角形得到 圆的方程为 消去（y-b），我们得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界的函数为 这是一个四次函数，只要在和一象限画出这个函数的曲线，把它对y轴反演。表示磁场边界的函数形式取决于给定情况里的距离a和半径r的相对大小（见图）如果半径r小于a（小速度强磁场），场的边界无限延伸，向任何方向出发的离子都能聚焦。如果半径r等于a，所有的离子也都能聚焦，磁场边界在P和R点处垂直出发，处在有限范围内。如果半径r大于a，边界就更为平坦，那些出发方向比P点切线更陡的离子不能到达R点。题8：解答下列相对论的问题：（1）试导出动量恒定的粒子体系，当所有粒子以相同速度沿同一方向运动时，其相对论性总能量达最小值。（2）一个高能光子可产生一个正负电子对（e-e+）。电子对产生是狄拉克（1928年）预言的，试利用动量和能量守恒定律证明只有当有另一粒子参与作用时，才有可能产生电子对。（3）在一个静止电子的库仑场中产生电子对，试求有可能产生这过程的光子的最小能量（阈值）。（4）电子对e-e+）的产生作为光子和极端相对论性的电子相互作用的结果，此电子沿光子相反方向运动。如果已知光子的阈能E1=10eV，试求此电子的能量。分析与解答：（1）孤立粒子系的总动量、总能量和测量它们时所用的参考系有关。但是 这个物理量在所有惯性参考系是相同的，这称为相对论不变性，在质心参考系 ，因此 当在质心参考系（ 系）中，总能量 有最小值时，在实验室参考系（ 系）中，给定动量 ，能量 有最小值。 式中 和 是第 个粒子的静质量和动能。因为 总是为正（或零），当 时， 是最小值，即当在实验室参考系中，所有粒子具有相同速度沿直线运动时，其速度和质心的速度相等。（2）如果没有第三者参与此过程，则在电子对产生过程中能量和动量不可能同时守恒，有第三粒子参与时，电子对产生的过程可能发生，见下文。（3）当反应后三个粒子沿光子方向运动并具有相同的动量时，光子的能量将为最小值（参见解答（1）。根据动量和能量守恒定律，可得 (1)式中 为光子的动量 (2)式中 为每一粒子的总能量， 为电子的静能。根据相对论不变性 (3) (4)利用等式(2)，将(3)式和(4)式代入(1)式，得 (5)对于电子， ，阈能 。（4）