1988年(高考数学试题文理科)

一九八八年（理科）一（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分。（1）的值等于 （ B ）（A）1 （B）-1 （C）i (D)-i（2）设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为（2，1），那么 （ C ）（A）点P在直线L上，但不在圆M上。（B）点P在圆M上，但不在直线L上。（C）点P既在圆M上，又在直线L上。（D）点P既不在直线L上，也不在圆M上。（3）集合1，2，3的子集共有 （ B ）（A）7个 （B）8个 （C）6个 （D）5个（4）已知双曲线方程，那么它的焦距是 （ A ）（A）10 （B）5 （C） （D）（5）在的展开式中，x6的系数是 （ D ）（A） （B） （C） （D）（6）函数的最小正周期是 （ A ）（A） （B） （C） （D）（7）方程的解集是 （ C ）（A） （B）（C） （D）（8）极坐标方程所表示的曲线是 （ D ）（A）圆 （B）双曲线右支 （C）抛物线 （D）椭圆（9）如图，正四棱台中，所在的直线与所在的直线是（A）相交直线 （ C ）（B）平行直线（C）不互相垂直的异面直线（D）互相垂直的异面直线（10）的值等于 ( D ） （A）4 （B） （C） （D）8（11）设命题甲：ABC的一个内角为600。命题乙：ABC的三内角的度数成等差数列数列。那么（ C ）（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件。（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件。（C）甲是乙的充要条件。（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件。（12）在复平面内，若复数z满足，则z所对应的点Z的集合构成的图形是 （ B ）（A）圆 （B）直线 （C）椭圆 （D）双曲线（13）如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ）（A）（1，1） （B）（-1，-1） （C）（-1，1） （D）（1，-1）（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ B ）（A）种 （B）种（C）种 （D）种（15）已知二面角的平面角是锐角，C是平面内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面上的射影，点E是棱AB上满足CEB为锐角的任一点，那么 （ A ）（A）CEBDEB （B）CEB=DEB （C）CEB1，并且a1=b(b0）求答1三（本题满分10分）已知求的值。解：四（本题满分10分）如图，正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求SDE绕直线SE旋转一周所得的旋转体的体积。解：连结AE，因为SDE和ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，所以SE=AE，从而SDE为等腰三角形，由于D是SA的中点，所以EDSA。作DFSE，交SE于点F。考虑直角SDE的面积，得到所以，所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即五（本题满分11分）设的大小，并证明你的结论。解：当t0时，由重要不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号六（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.给定实数证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。解：（1）设M1（x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x1x2，且从而直线M1M2的斜率因此，直线M1M2不平行于x轴。（2）设点P是这个函数图象上任意一点，则（注：对（1）也可用反证法。或考察平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况。由其无交点或恰有一交点，从而得证。对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称。）七（本题满分12分）如图，直线L的方程为，其中p0;椭圆的中心为D，焦点在x轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为A。问p在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离。解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：将（2）式代入（1）式，得所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根。而这又等价于所以，所求的p的取值范围为一九八八年（文科）一（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。（1）的值等于 （ B ）（A）1 （B）-1 （C）i (D)-i（2）设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为（2，1），那么 （ C ）（A）点P在直线L上，但不在圆M上。（B）点P在圆M上，但不在直线L上。（C）点P既在圆M上，又在直线L上。（D）点P既不在直线L上，也不在圆M上。（3）集合1，2，3的子集共有 （ D ）（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个（4）函数的图象是 （ B ）（5）已知椭圆方程，那么它的焦距是 （ A ）（A）6 （B）3 （C） （D）（6）在复平面内，与复数z=-1-i的共轭复数对应的点位于（ B ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（7）在的展开式中，x6的系数是 （ D ）（A） （B） （C） （D）（8）函数的最小正周期是 （ D ）（A） （B） （C） （D）（9）的值等于 （ A ）（A） （B） （C） （D）（10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（A） （B） （C） （D） （ C ）（11）函数的反函数是 （ A ）（A） （B）（C） （D）（12）如图，正四棱台中，所在的直线与所在的直线是（A）相交直线 （ C ）（B）平行直线（C）不互相垂直的异面直线（D）互相垂直的异面直线（13）函数在闭区间 （ B ）（A）上是增函数 （B）上是增函数 （C）上是增函数 （D）上是增函数（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ A ）（A）种 （B）种（C）种 （D）种（15）已知二面角的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么的值等于 （ C ）（A） （B） （C） （D）二（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分。只要求直接写出结果（1）求复数的模和辐角的主值。答2;（只答对一个值的给2分）（2）解方程答x=-2（直接答-2也算对）（3）已知的值。答-3（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积。答（未写单位，只给3分）（5）求答3三（本题满分10分）证明证明：略。四（本题满分10分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用表示ASD，求的值。解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DAAB所以 DASA 从而连结BD，易知BD=由于SBBD，所以因此，五（本题满分11分）在双曲线x2-y2=1的右支上求点P（a,b），使该点到直线y=x的距离为。解：由题意，点P（a,b）是下述方程组的解：并且a0.由（1）式得因为a0，所以，从而ab，于是由（2）式得a-b=2 （3）把（3）式代入得解得所求的点