2016年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题 1设全集 U= 2， 1， 0， 1， 2，集合 M= 1， 0， 1， N=x|x 2=0，则（ N=（ ） A 2 B 1 C 2， 1， 2 D 1， 1 2已知复数 z= ，则（ ） A z 的实部为 B z 的虚部为 i C |z|= D z 的共轭复数为 + i 3若方程 =1（ a 是常数），则下列结论正确的是（ ） A任意实数 a 方程表示椭圆 B存在实数 a 方程表示椭圆 C任意实数 a 方程表示双曲线 D存在实数 a 方程表示抛物线 4已知 =（ 1， 2）， =（ 2， 4），且 k + 与 垂直，则 k=（ ） A B C D 5 某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个）的统计资料如下表所示： x 11 10 9 y 5 6 8 10 10 根据上表得回归直线方程 = x+ ，其中 = = ，据此回归方程估计零售价为 5 元时销售量估计为（ ） A 16 个 B 20 个 C 24 个 D 28 个 6不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立的必要不充分条件是（ ） A m 2 B 0 m 1 C m 0 D m 1 7如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A 34 B 55 C 78 D 89 8设 公差 d= 1 的等差数列 前 n 项和，且 等比数列，则 ） 第 2 页（共 23 页） A n B n C +n D +n 9已知某几何体的三视图（单位： 图所示，则该几何体的体积是（ ） A 100 98 88 780已知 0， | ，若 x= 和 x= 是函数 f（ x） =x+）的两个相邻的极值点，将 y=f（ x）的图象向左平移 个单位得到函数 y=g（ x）的图象，则下列说法正确的是（ ） A y=g（ x）是奇函数 B y=g（ x）的图象关于点（ ， 0）对称 C y=g（ x）的图象关于直线 x= 对称 D y=g（ x）的周期为 11已知点 ，过点 P 的直线与圆 x2+4 相交于 A， B 两点，则 |最小值为（ ） A 2 B C D 4 12已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 A、 B，左、右焦点分别是线段 有且只有一个点 P 满足 椭圆的离心率为（ ） A B C D 二、填空题 13已知 + ） = ，且 ，则 14 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 第 3 页（共 23 页） 15已知长方体 个顶点都在球面上， ， ， ，过棱 当 截面面积最小时，球心到截面的距离为 16已知函数 f（ x） =2x2+a 在 ， e上有两个零点，则实数 三、解答题 17设数列 前 n 项之和为 满足 n N* （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 n+1） 数列 前 n 项和 18如图，在多面体 ，四边形 正方形， B=1， 正三角形， （ ）求证：面 面 （ ）求该几何体的体积 19从某校随机抽取 200 名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图： 编号 分组 频数 1 0， 2） 12 2 2， 4） 16 3 4， 6） 34 4 6， 8） 44 5 8， 10） 50 6 10， 12） 24 7 12， 14） 12 8 14， 16） 4 9 16， 18） 4 合计 200 （ 1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； （ 2）求频率分布直方图中的 a， b 的值； （ 3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 第 4 页（共 23 页） 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦点分别为 A（ 4， 2 ）在椭圆上，且 x 轴垂直 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）过点 直线与椭圆交于 B、 C 两点，求 积的最大值 21设函数 f（ x） =a 0， a 1） （ 1）当 a=e 时，求函数 f（ x）的图象在点（ 0， f（ 0）的切线方程； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ | e 1（ e 为自然对数的底数），求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 O，过点 ， 5 （ 1）若 O 的直径，求 D 的大小； （ 2）若 5，求证： = 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系 ，已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为： 2 3 4=0（ 0） （ 1）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标系方程； 第 5 页（共 23 页） （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求 值 选修 4等式选讲 24已知 a 0， b 0， c 0，函数 f（ x） =|x a|+|x+b|+c 的最小值为 1 （ 1）求 a+b+c 的值； （ 2）求证： a2+b2+ 第 6 页（共 23 页） 2016 年 内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设全集 U= 2， 1， 0， 1， 2，集合 M= 1， 0， 1， N=x|x 2=0，则（ N=（ ） A 2 B 1 C 2， 1， 2 D 1， 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 直接由全集 U，集合 M 求出 N（ 答案可求 【解答】 解： 全集 U= 2， 1， 0， 1， 2，集合 M= 1， 0， 1， N=x|x 2=0=1， 2， 2， 2 则 N（ = 1， 2 2， 2=2 故选： A 2已知复数 z= ，则（ ） A z 的实部为 B z 的虚部为 i C |z|= D z 的共轭复数为 + i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算性质求出 z，分别判断各个选项即可 【解答】 解： z= = = i， 故 |z|= ， 故选： C 3若方程 =1（ a 是常数），则下列结论正确的是（ ） A任意实数 a 方程表示椭圆 B存在实数 a 方程表示椭圆 C任意实数 a 方程表示双曲线 D存在实数 a 方程表示抛物线 【考点】 曲线与方程 【分析】 根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项 【解答】 解：对于 a=1，方程 =1 表示圆，选项 A 错误； 当 a 0 且 a 1 时，方程 =1 表示椭圆， B 正确； 第 7 页（共 23 页） 当 a 0 时，方程 =1 表示双曲线， C 错误； 对于任意实数 a，方程 =1 不是抛物线， D 错误 故选： B 4已知 =（ 1， 2）， =（ 2， 4），且 k + 与 垂直， 则 k=（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由向量数量积的坐标表示和向量模的公式，可得 ， 的数量积和模，再由向量垂直的条件：数量积为 0，计 算即可得到 k 的值 【解答】 解： =（ 1， 2）， =（ 2， 4）， 可得 = 2+8=6， | |= =2 ， 由 k + 与 垂直，可得（ k + ） =0， k + 2=0，即有 6k+20=0， 解得 k= 故选 B 5某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个）的统计资料如下表所示： x 11 10 9 y 5 6 8 10 10 根据上表得回归直线方程 = x+ ， 其中 = = ，据此回归方程估计零售价为 5 元时销售量估计为（ ） A 16 个 B 20 个 C 24 个 D 28 个 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出样本中心代入回归方程得出 ，从而得出回归方程解析式，令 x=5，计算 即可 【解答】 解： = ， = 10+ ，解得 = 线性回归方程为 = 当 x=5 时， = 5+24 故选 C 6不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立的必要不充分条件是（ ） 第 8 页（共 23 页） A m 2 B 0 m 1 C m 0 D m 1 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 根据不等式 x+m 0 在 R 上恒成立， 0，可解得 m 的范围，然后看 m 1与选项中的 m 范围，即可得出答案 【解答】 解：当不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立时， =4 4m 0， 解得 m 1； 所以 m 1 是不等式恒成立的充要条件； m 2 是不等式成立的充分不必要条件； 0 m 1 是不等式成立的既不充分也不必要条件； m 0 是不等式成立的必要不充分条件 故选： C 7如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A 34 B 55 C 78 D 89 【考点】 程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用 【分析】 写出前几次循环的结果，不满足判断框 中的条件，退出循环，输出 z 的值 【解答】 解：第一次循环得 z=2， x=1， y=2； 第二次循环得 z=3， x=2， y=3； 第三次循环得 z=5， x=3， y=5； 第四次循环得 z=8， x=5， y=8； 第五次循环得 z=13， x=8， y=13； 第六次循环得 z=21， x=13， y=21； 第七次循环得 z=34， x=21， y=34； 第八次循环得 z=55， x=34， y=55；退出循环，输出 55， 故选 B 8设 公差 d= 1 的等差数列 前 n 项和，且 等比数列，则 ） A n B n C +n D +n 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由 等比数列，得到 1 （ 21） 2= 46），求出可求出通项公式 第 9 页（共 23 页） 【解答】 解：由题意可得， an= n 1）（ 1） = n， = ， 再根据若 等比数列，可得 1 （ 21） 2= 46）， 解得 ， +1 n= n， 故选： B 9已知某几何体的三视图（单位： 图所示，则该几何体的体积 是（ ） A 100 98 88 78考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的 该几何体的体积 V=6 6 3 =100 故选： A 10已知 0， | ， 若 x= 和 x= 是函数 f（ x） =x+）的两个相邻的极值点，将 y=f（ x）的图象向左平移 个单位得到函数 y=g（ x）的图象，则下列说法正确的是（ ） A y=g（ x）是奇函数 B y=g（ x）的图象关于点（ ， 0）对称 C y=g（ x）的图象关于直线 x= 对称 D y=g（ x）的周期为 【考点】 命题的真假判断与应用；函数 y=x+）的图象变换 第 10 页（共 23 页） 【分析】 根据 x= 和 x= 是函数 f（ x） =x+）的两个相邻的极值点，得到函数的周期，求出 =1，然后根据三角函数的图象关系求出 g（ x），结合函数奇偶性，对称性的性质分别进行判断即可 【解答】 解： 若 x= 和 x= 是函数 f（ x） =x+）的两个相邻的极值点， 若 x= 和 x= 是函数 f（ x） =x+）的两个相邻的对称轴， 则函数的周期 T=2 （ ） =2，即 =2，则 =1， 即 f（ x） =x+）， 若 x= 时，函数取得极大值，则 f（ ） =+） =1， 则 +=2 =2，当 k=0 时， = ，此时 f（ x） =x ）， 将 y=f（ x）的图象向左平移 个单位得到函数 y=g（ x）的图象， 即 g（ x） =） = x+ ） = 此时函数 g（ x）是偶函数不是奇函数，故 A 错误， g（ ） = ） =0，即函数 y=g（ x）的图象关于点（ ， 0）对称，故 B 正确， g（ ） =） =0，即函数 y=g（ x）的图象关于关于直线 x= 不对称，故 C 错误， y=g（ x）的周期为 2，故 D 错误， 若 x= 时，函数取得极小 值，则 f（ ） =+） =+） = 1， 则 +=2，即 =2，当 k=1 时， = ， | ， 此时 不存在 综上故选： B 11已知点 ，过点 P 的直线与圆 x2+4 相交于 A， B 两点，则 |最小值为（ ） A 2 B C D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标 代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（ 1， 3）处取得最小值 第 11 页（共 23 页） 【解答】 解：约束条件 的可行域如下图示： 画图得出 P 点的坐标（ x， y）就是三条直线 x+y=4， y x=0 和 x=1 构成的三角形区域， 三个交点分别为（ 2， 2），（ 1， 3），（ 1， 1）， 因为圆 c： x2+4 的半径 r= ，得三个交点都在圆内， 故过 P 点的直线 l 与圆相交的线段 度最短， 就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度 三角形区域内距离原点最远的点就是（ 1， 3）， 可用圆 d： x2+0 与直线 x=y 的交点为（ ， ）验证， 过点（ 1， 3）作垂直于直线 y=3x 的弦， 国灰 4，故 |2 =4， 所以线段 最小值为 4 故选： D 12已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 A、 B，左、右焦点分别是线段 有且只有一个点 P 满足 椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意可求得 方程，设出 P 点坐标，代入 方程，由 =0，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案 【解答】 解：依题意，作图如下： 由 A（ a， 0）， B（ 0， b）， c， 0）， c， 0）， 可得直线 方程为： + =1，整理得： ay+， 设直线 的点 P（ x， y），则 bx= x= y a， 由 第 12 页（共 23 页） =（ c x， y） （ c x， y） =x2+（ y a） 2+ 令 f（ y） =（ y a） 2+ 则 f（ y） =2（ y a） +2y， 由 f（ y） =0 得： y= ，于是 x= ， =（ ） 2+（ ） 2 ， 整理得： = b2=， 3=0， ，又椭圆的离心率 e （ 0， 1）， =（ ） 2， 可得 e= ， 故选： D 二、填空题 13已知 + ） = ，且 ，则 【考点】 三角函数的化简求值 第 13 页（共 23 页） 【分析】 由 ，可得： ， =利用 ，展开即可得出 【解答】 解： ， ， = = = + = + = 故答案为： 14 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 180 【考点】 二项式定理 【分析】 如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定 n 的值，进而利用展开式，即可求得常数项 【解答】 解 ：如果 n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 n 是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大 展开式中只有第六项的二项式系数最大， n=10 展开式的通项为 = 令 =0，可得 r=2 展开式中的常数项等于 =180 故答案为： 180 15已知长方体 个顶点都在球面上， ， ， ，过棱 当截面面积最小时，球心到截面的距离为 【考点】 球内接多面体 第 14 页（共 23 页） 【分析】 过棱 该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为 ，求出球的半径，可得球心到截面的距离 【解答】 解：过棱 该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为 ， 长方体 个顶点都在球面上， ， ， ， 球的半径为 = ， 球心到截面的距离为 = ， 故答案为： 16已知函数 f（ x） =2x2+a 在 ， e上有两个零点，则实数 a 的取值范围为 （ 1，2+ ） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 求出 f（ x）的导数 f（ x），分析 f（ x）的零点和区间 ， e的位置关系，判断 f（ x）的单调性为在 ， 1上单调递增，在（ 1， e）上单调递减，若有两个不同的零点，则，即可解出 a 的取值范 围 【解答】 解： f（ x） =2x2+a， f（ x） = ， x ， e，故 f（ x） =0，解得 x=1， 当 x 1， f（ x） 0； 当 1 x e， f（ x） 0， 故 f（ x）在 x=1 有唯一的极值点， f（ 1） =a 1， f（ ） =a 2 ， f（ e） =a+2 则 f（ e） f（ ）， f（ x）在 ， e上有两个零点的条件， ，解得 1 a 2+ ， 第 15 页（共 23 页） 故实数 a 的取值范围（ 1， 2+ 故答案为：（ 1， 2+ 三、解答题 17设数列 前 n 项之和为 满足 n N* （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 n+1） 数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）通过 1=1 1 作差可知 1，进而计算可得结论； （ 2）通过（ 1）可知 n+1） ，进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】 解：（ 1） 1=1 1， an=1 1， 又 ， 数列 首项、公比均为 的等比数列， 其通项公式 ； （ 2）由（ 1）可知 n+1） n+1） ， +3 +4 +（ n+1） ， +3 +n +（ n+1） ， 两式相减得： + + + （ n+1） = + （ n+1） = ， 18如图，在多面体 ，四边形 正方形， B=1， 正三角形， （ ）求证：面 面 第 16 页（共 23 页） （ ）求该几何体的体积 【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ ）由已知得 ，从而 此能证明面 面 （ ）依题意得： 而，由此能求出该几何体的体积 【解答】 （ ）证明： 在多面体 ，四边形 正方形， B=1， 正三角形， ， ， 又 平面 面 面 （ ）解：依题意得： 而 ， ， 故： 19从某校随机抽取 200 名学生，获得了他们的一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图： 编号 分组 频数 1 0， 2） 12 2 2， 4） 16 3 4， 6） 34 第 17 页（共 23 页） 4 6， 8） 44 5 8， 10） 50 6 10， 12） 24 7 12， 14） 12 8 14， 16） 4 9 16， 18） 4 合计 200 （ 1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； （ 2）求频率分布直方图中的 a， b 的值； （ 3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 【考点】 频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据频率分布表求出 1 周课外阅读时间 少于 12 小时的频数，再根据频率= 求频率； （ 2）根据小矩形的高 = ，求 a、 b 的值； （ 3）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案 【解答】 解：（ 1）由频率分布表知： 1 周课外阅读时间少于 12 小时的频数为 2+4+4=10， 1 周课外阅读时间少于 12 小时的频率为 1 = （ 2）由频率分布表知：数据在 4， 6）的频数为 34， 频率为 a= 数据在 8， 10）的频数为 25， 频率为 b= （ 3）数据的平均数为 （ 12 1+3 16+5 34+7 44+9 50+11 24+13 12+15 4+17 4）=时）， 样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦点分别为 A（ 4， 2 ）在椭圆上，且 x 轴垂直 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）过点 直线与椭圆交于 B、 C 两点，求 积的最大值 第 18 页（共 23 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 c=4，令 x=4，代入椭圆方程可得 =2 ，由 a， b， c 的关系，解得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2）点 4， 0），可设直线 x=，代入 椭圆方程 2，可得 y 的方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得 S |化简整理，运用解不等式即可得到所求最大值 【解答】 解：（ 1）由 A（ 4， 2 ）在椭圆上，且 x 轴垂直， 可得 c=4，令 x=4，代入椭圆方程可得 y= b = ， 即有 =2 ，又 6， 解得 a=4 ， b=4， 则椭圆方程为 + =1； （ 2）点 4， 0），可设直线 x=， 代入椭圆方程 2，可得（ 2+16=0， 设 B（ C（ 可得 =644（ 2+ 0 y1+ ， ， | = = ， S | 4 =16 =16 16 =8 ， 当且 仅当 = ，即 t=0 时， 积的最大值为 8 21设函数 f（ x） =a 0， a 1） （ 1）当 a=e 时，求函数 f（ x）的图象在点（ 0， f（ 0）的切线方程； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ | e 1（ e 为自然对数的底数），求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线 方程 【分析】 （ 1）求得 a=e 时， f（ x） =导数，可得 f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程； 第 19 页（共 23 页） （ 2）由题意可得 f（ x）的最大值减去 f（ x）的最小值大于或等于 e 1，由单调性知， f（ x）的最小值是 f（ 1）或 f（ 1），最大值 f（ 0） =1，由 f（ 1） f（ 1）的单调性，判断 f（ 1）与 f（ 1）的大小关系，再由 f（ x）的最大值减去最小值 f（ 0）大于或等于 e 1 求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a=e 时， f（ x） =导数为 f（ x） =1 2x 可得函数 f（ x）的图象在点（ 0， f（ 0）的切线斜率为 1 0 1=0， 切点为（ 0， 1），即有切线的方程为 y= 1； （ 2）由存在 1， 1，使得 |f（ f（ | e 1 成立， 而当 x 1， 1时 |f（ f（ | f（ x） f（ x） 则只要 f（ x） f（ x） e 1， f（ x） =导数为 f（ x） =2x 又 x， f（ x）， f（ x）的变化情况如下表所示： x （ ， 0） 0 （ 0， +） f（ x） + 0 f（ x） 增函数 极大值 减函数 所以 f（ x）在 1， 0上是增函数，在 0， 1上是减函数， 所以当 x 1， 1时， f（ x）的最大值 f（ x） f（ 0） = 1， f（ x）的最小值 f（ x） f（ 1）和 f（ 1）中的最小值 因为 f（ 1） f（ 1） =（ 1 a）（ 1 ） =2a+ ， 令 g（ a） =2a+ ，由 g（ a） = 1 = 0， 所以 g（ a）在 a （ 0， +）上是减函数 而 g（ 1） =0，故当 a 1 时， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1）； 当 0 a 1 时， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1）， 所以，当 a 1 时， f（ 0） f（ 1） e 1，即 a e 1， 而函数 y=a 导 数 y=1 ， 可得函数 y 在 a （ 1， +）上是增函数，解得 a e； 当 0 a 1 时， f（ 0） f（ 1） e 1，即 +e 1， 函数 y= +导数为 y= = ， 可得函数 y 在 a （ 0， 1）上是减函数，解得 0 a 综上可知，所求 a 的取值范围为（ 0， e， +） 选修 4何证明选讲 22如图，四边形 O，过点 ， 5 （ 1）若 O 的直径，求 D 的