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第 1 页(共 23 页) 2016 年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科) 一、选择题 1设全集 U= 2, 1, 0, 1, 2,集合 M= 1, 0, 1, N=x|x 2=0,则( N=( ) A 2 B 1 C 2, 1, 2 D 1, 1 2已知复数 z= ,则( ) A z 的实部为 B z 的虚部为 i C |z|= D z 的共轭复数为 + i 3若方程 =1( a 是常数),则下列结论正确的是( ) A任意实数 a 方程表示椭圆 B存在实数 a 方程表示椭圆 C任意实数 a 方程表示双曲线 D存在实数 a 方程表示抛物线 4已知 =( 1, 2), =( 2, 4),且 k + 与 垂直,则 k=( ) A B C D 5 某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料如下表所示: x 11 10 9 y 5 6 8 10 10 根据上表得回归直线方程 = x+ ,其中 = = ,据此回归方程估计零售价为 5 元时销售量估计为( ) A 16 个 B 20 个 C 24 个 D 28 个 6不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立的必要不充分条件是( ) A m 2 B 0 m 1 C m 0 D m 1 7如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A 34 B 55 C 78 D 89 8设 公差 d= 1 的等差数列 前 n 项和,且 等比数列,则 ) 第 2 页(共 23 页) A n B n C +n D +n 9已知某几何体的三视图(单位: 图所示,则该几何体的体积是( ) A 100 98 88 780已知 0, | ,若 x= 和 x= 是函数 f( x) =x+)的两个相邻的极值点,将 y=f( x)的图象向左平移 个单位得到函数 y=g( x)的图象,则下列说法正确的是( ) A y=g( x)是奇函数 B y=g( x)的图象关于点( , 0)对称 C y=g( x)的图象关于直线 x= 对称 D y=g( x)的周期为 11已知点 ,过点 P 的直线与圆 x2+4 相交于 A, B 两点,则 |最小值为( ) A 2 B C D 4 12已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 A、 B,左、右焦点分别是线段 有且只有一个点 P 满足 椭圆的离心率为( ) A B C D 二、填空题 13已知 + ) = ,且 ,则 14 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于 第 3 页(共 23 页) 15已知长方体 个顶点都在球面上, , , ,过棱 当 截面面积最小时,球心到截面的距离为 16已知函数 f( x) =2x2+a 在 , e上有两个零点,则实数 三、解答题 17设数列 前 n 项之和为 满足 n N* ( 1)求数列 通项公式; ( 2)令 n+1) 数列 前 n 项和 18如图,在多面体 ,四边形 正方形, B=1, 正三角形, ( )求证:面 面 ( )求该几何体的体积 19从某校随机抽取 200 名学生,获得了他们的一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组级频数分布直方图: 编号 分组 频数 1 0, 2) 12 2 2, 4) 16 3 4, 6) 34 4 6, 8) 44 5 8, 10) 50 6 10, 12) 24 7 12, 14) 12 8 14, 16) 4 9 16, 18) 4 合计 200 ( 1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; ( 2)求频率分布直方图中的 a, b 的值; ( 3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 第 4 页(共 23 页) 20已知椭圆 + =1( a b 0)的左右焦点分别为 A( 4, 2 )在椭圆上,且 x 轴垂直 ( 1)求椭圆的方程; ( 2)过点 直线与椭圆交于 B、 C 两点,求 积的最大值 21设函数 f( x) =a 0, a 1) ( 1)当 a=e 时,求函数 f( x)的图象在点( 0, f( 0)的切线方程; ( 2)若存在 1, 1,使得 |f( f( | e 1( e 为自然对数的底数),求实数 a 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图,四边形 O,过点 , 5 ( 1)若 O 的直径,求 D 的大小; ( 2)若 5,求证: = 选修 4标系与参数方程选讲 23在平面直角坐标系 ,已知直线 l 的参数方程为 ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: 2 3 4=0( 0) ( 1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标系方程; 第 5 页(共 23 页) ( 2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 值 选修 4等式选讲 24已知 a 0, b 0, c 0,函数 f( x) =|x a|+|x+b|+c 的最小值为 1 ( 1)求 a+b+c 的值; ( 2)求证: a2+b2+ 第 6 页(共 23 页) 2016 年 内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题 1设全集 U= 2, 1, 0, 1, 2,集合 M= 1, 0, 1, N=x|x 2=0,则( N=( ) A 2 B 1 C 2, 1, 2 D 1, 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 直接由全集 U,集合 M 求出 N( 答案可求 【解答】 解: 全集 U= 2, 1, 0, 1, 2,集合 M= 1, 0, 1, N=x|x 2=0=1, 2, 2, 2 则 N( = 1, 2 2, 2=2 故选: A 2已知复数 z= ,则( ) A z 的实部为 B z 的虚部为 i C |z|= D z 的共轭复数为 + i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算性质求出 z,分别判断各个选项即可 【解答】 解: z= = = i, 故 |z|= , 故选: C 3若方程 =1( a 是常数),则下列结论正确的是( ) A任意实数 a 方程表示椭圆 B存在实数 a 方程表示椭圆 C任意实数 a 方程表示双曲线 D存在实数 a 方程表示抛物线 【考点】 曲线与方程 【分析】 根据三种圆锥曲线的定义,结合举例可得选项 【解答】 解:对于 a=1,方程 =1 表示圆,选项 A 错误; 当 a 0 且 a 1 时,方程 =1 表示椭圆, B 正确; 第 7 页(共 23 页) 当 a 0 时,方程 =1 表示双曲线, C 错误; 对于任意实数 a,方程 =1 不是抛物线, D 错误 故选: B 4已知 =( 1, 2), =( 2, 4),且 k + 与 垂直, 则 k=( ) A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由向量数量积的坐标表示和向量模的公式,可得 , 的数量积和模,再由向量垂直的条件:数量积为 0,计 算即可得到 k 的值 【解答】 解: =( 1, 2), =( 2, 4), 可得 = 2+8=6, | |= =2 , 由 k + 与 垂直,可得( k + ) =0, k + 2=0,即有 6k+20=0, 解得 k= 故选 B 5某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料如下表所示: x 11 10 9 y 5 6 8 10 10 根据上表得回归直线方程 = x+ , 其中 = = ,据此回归方程估计零售价为 5 元时销售量估计为( ) A 16 个 B 20 个 C 24 个 D 28 个 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出样本中心代入回归方程得出 ,从而得出回归方程解析式,令 x=5,计算 即可 【解答】 解: = , = 10+ ,解得 = 线性回归方程为 = 当 x=5 时, = 5+24 故选 C 6不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立的必要不充分条件是( ) 第 8 页(共 23 页) A m 2 B 0 m 1 C m 0 D m 1 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 根据不等式 x+m 0 在 R 上恒成立, 0,可解得 m 的范围,然后看 m 1与选项中的 m 范围,即可得出答案 【解答】 解:当不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立时, =4 4m 0, 解得 m 1; 所以 m 1 是不等式恒成立的充要条件; m 2 是不等式成立的充分不必要条件; 0 m 1 是不等式成立的既不充分也不必要条件; m 0 是不等式成立的必要不充分条件 故选: C 7如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A 34 B 55 C 78 D 89 【考点】 程序框图;程序框图的三种基本逻辑结构的应用 【分析】 写出前几次循环的结果,不满足判断框 中的条件,退出循环,输出 z 的值 【解答】 解:第一次循环得 z=2, x=1, y=2; 第二次循环得 z=3, x=2, y=3; 第三次循环得 z=5, x=3, y=5; 第四次循环得 z=8, x=5, y=8; 第五次循环得 z=13, x=8, y=13; 第六次循环得 z=21, x=13, y=21; 第七次循环得 z=34, x=21, y=34; 第八次循环得 z=55, x=34, y=55;退出循环,输出 55, 故选 B 8设 公差 d= 1 的等差数列 前 n 项和,且 等比数列,则 ) A n B n C +n D +n 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由 等比数列,得到 1 ( 21) 2= 46),求出可求出通项公式 第 9 页(共 23 页) 【解答】 解:由题意可得, an= n 1)( 1) = n, = , 再根据若 等比数列,可得 1 ( 21) 2= 46), 解得 , +1 n= n, 故选: B 9已知某几何体的三视图(单位: 图所示,则该几何体的体积 是( ) A 100 98 88 78考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知:该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的 【解答】 解:由三视图可知:该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的 该几何体的体积 V=6 6 3 =100 故选: A 10已知 0, | , 若 x= 和 x= 是函数 f( x) =x+)的两个相邻的极值点,将 y=f( x)的图象向左平移 个单位得到函数 y=g( x)的图象,则下列说法正确的是( ) A y=g( x)是奇函数 B y=g( x)的图象关于点( , 0)对称 C y=g( x)的图象关于直线 x= 对称 D y=g( x)的周期为 【考点】 命题的真假判断与应用;函数 y=x+)的图象变换 第 10 页(共 23 页) 【分析】 根据 x= 和 x= 是函数 f( x) =x+)的两个相邻的极值点,得到函数的周期,求出 =1,然后根据三角函数的图象关系求出 g( x),结合函数奇偶性,对称性的性质分别进行判断即可 【解答】 解: 若 x= 和 x= 是函数 f( x) =x+)的两个相邻的极值点, 若 x= 和 x= 是函数 f( x) =x+)的两个相邻的对称轴, 则函数的周期 T=2 ( ) =2,即 =2,则 =1, 即 f( x) =x+), 若 x= 时,函数取得极大值,则 f( ) =+) =1, 则 +=2 =2,当 k=0 时, = ,此时 f( x) =x ), 将 y=f( x)的图象向左平移 个单位得到函数 y=g( x)的图象, 即 g( x) =) = x+ ) = 此时函数 g( x)是偶函数不是奇函数,故 A 错误, g( ) = ) =0,即函数 y=g( x)的图象关于点( , 0)对称,故 B 正确, g( ) =) =0,即函数 y=g( x)的图象关于关于直线 x= 不对称,故 C 错误, y=g( x)的周期为 2,故 D 错误, 若 x= 时,函数取得极小 值,则 f( ) =+) =+) = 1, 则 +=2,即 =2,当 k=1 时, = , | , 此时 不存在 综上故选: B 11已知点 ,过点 P 的直线与圆 x2+4 相交于 A, B 两点,则 |最小值为( ) A 2 B C D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件 的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标 代入目标函数的解析式,分析后易得直线过在( 1, 3)处取得最小值 第 11 页(共 23 页) 【解答】 解:约束条件 的可行域如下图示: 画图得出 P 点的坐标( x, y)就是三条直线 x+y=4, y x=0 和 x=1 构成的三角形区域, 三个交点分别为( 2, 2),( 1, 3),( 1, 1), 因为圆 c: x2+4 的半径 r= ,得三个交点都在圆内, 故过 P 点的直线 l 与圆相交的线段 度最短, 就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度 三角形区域内距离原点最远的点就是( 1, 3), 可用圆 d: x2+0 与直线 x=y 的交点为( , )验证, 过点( 1, 3)作垂直于直线 y=3x 的弦, 国灰 4,故 |2 =4, 所以线段 最小值为 4 故选: D 12已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 A、 B,左、右焦点分别是线段 有且只有一个点 P 满足 椭圆的离心率为( ) A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意可求得 方程,设出 P 点坐标,代入 方程,由 =0,运用导数求得极值点,结合椭圆的离心率公式,解方程即可求得答案 【解答】 解:依题意,作图如下: 由 A( a, 0), B( 0, b), c, 0), c, 0), 可得直线 方程为: + =1,整理得: ay+, 设直线 的点 P( x, y),则 bx= x= y a, 由 第 12 页(共 23 页) =( c x, y) ( c x, y) =x2+( y a) 2+ 令 f( y) =( y a) 2+ 则 f( y) =2( y a) +2y, 由 f( y) =0 得: y= ,于是 x= , =( ) 2+( ) 2 , 整理得: = b2=, 3=0, ,又椭圆的离心率 e ( 0, 1), =( ) 2, 可得 e= , 故选: D 二、填空题 13已知 + ) = ,且 ,则 【考点】 三角函数的化简求值 第 13 页(共 23 页) 【分析】 由 ,可得: , =利用 ,展开即可得出 【解答】 解: , , = = = + = + = 故答案为: 14 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于 180 【考点】 二项式定理 【分析】 如果 n 是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果 n 是偶数,那么是最中间那项的二次项系数最大,由此可确定 n 的值,进而利用展开式,即可求得常数项 【解答】 解 :如果 n 是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果 n 是偶数,那么是最中间项的二次项系数最大 展开式中只有第六项的二项式系数最大, n=10 展开式的通项为 = 令 =0,可得 r=2 展开式中的常数项等于 =180 故答案为: 180 15已知长方体 个顶点都在球面上, , , ,过棱 当截面面积最小时,球心到截面的距离为 【考点】 球内接多面体 第 14 页(共 23 页) 【分析】 过棱 该球的截面,则当截面面积最小时,截面的直径为 ,求出球的半径,可得球心到截面的距离 【解答】 解:过棱 该球的截面,则当截面面积最小时,截面的直径为 , 长方体 个顶点都在球面上, , , , 球的半径为 = , 球心到截面的距离为 = , 故答案为: 16已知函数 f( x) =2x2+a 在 , e上有两个零点,则实数 a 的取值范围为 ( 1,2+ ) 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 求出 f( x)的导数 f( x),分析 f( x)的零点和区间 , e的位置关系,判断 f( x)的单调性为在 , 1上单调递增,在( 1, e)上单调递减,若有两个不同的零点,则,即可解出 a 的取值范 围 【解答】 解: f( x) =2x2+a, f( x) = , x , e,故 f( x) =0,解得 x=1, 当 x 1, f( x) 0; 当 1 x e, f( x) 0, 故 f( x)在 x=1 有唯一的极值点, f( 1) =a 1, f( ) =a 2 , f( e) =a+2 则 f( e) f( ), f( x)在 , e上有两个零点的条件, ,解得 1 a 2+ , 第 15 页(共 23 页) 故实数 a 的取值范围( 1, 2+ 故答案为:( 1, 2+ 三、解答题 17设数列 前 n 项之和为 满足 n N* ( 1)求数列 通项公式; ( 2)令 n+1) 数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和;数列递推式 【分析】 ( 1)通过 1=1 1 作差可知 1,进而计算可得结论; ( 2)通过( 1)可知 n+1) ,进而利用错位相减法计算即得结论 【解答】 解:( 1) 1=1 1, an=1 1, 又 , 数列 首项、公比均为 的等比数列, 其通项公式 ; ( 2)由( 1)可知 n+1) n+1) , +3 +4 +( n+1) , +3 +n +( n+1) , 两式相减得: + + + ( n+1) = + ( n+1) = , 18如图,在多面体 ,四边形 正方形, B=1, 正三角形, ( )求证:面 面 第 16 页(共 23 页) ( )求该几何体的体积 【考点】 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 ( )由已知得 ,从而 此能证明面 面 ( )依题意得: 而,由此能求出该几何体的体积 【解答】 ( )证明: 在多面体 ,四边形 正方形, B=1, 正三角形, , , 又 平面 面 面 ( )解:依题意得: 而 , , 故: 19从某校随机抽取 200 名学生,获得了他们的一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组级频数分布直方图: 编号 分组 频数 1 0, 2) 12 2 2, 4) 16 3 4, 6) 34 第 17 页(共 23 页) 4 6, 8) 44 5 8, 10) 50 6 10, 12) 24 7 12, 14) 12 8 14, 16) 4 9 16, 18) 4 合计 200 ( 1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; ( 2)求频率分布直方图中的 a, b 的值; ( 3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组 【考点】 频率分布直方图 【分析】 ( 1)根据频率分布表求出 1 周课外阅读时间 少于 12 小时的频数,再根据频率= 求频率; ( 2)根据小矩形的高 = ,求 a、 b 的值; ( 3)利用平均数公式求得数据的平均数,可得答案 【解答】 解:( 1)由频率分布表知: 1 周课外阅读时间少于 12 小时的频数为 2+4+4=10, 1 周课外阅读时间少于 12 小时的频率为 1 = ( 2)由频率分布表知:数据在 4, 6)的频数为 34, 频率为 a= 数据在 8, 10)的频数为 25, 频率为 b= ( 3)数据的平均数为 ( 12 1+3 16+5 34+7 44+9 50+11 24+13 12+15 4+17 4)=时), 样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组 20已知椭圆 + =1( a b 0)的左右焦点分别为 A( 4, 2 )在椭圆上,且 x 轴垂直 ( 1)求椭圆的方程; ( 2)过点 直线与椭圆交于 B、 C 两点,求 积的最大值 第 18 页(共 23 页) 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 ( 1)由题意可得 c=4,令 x=4,代入椭圆方程可得 =2 ,由 a, b, c 的关系,解得 a, b,进而得到椭圆方程; ( 2)点 4, 0),可设直线 x=,代入 椭圆方程 2,可得 y 的方程,运用韦达定理,以及三角形的面积公式可得 S |化简整理,运用解不等式即可得到所求最大值 【解答】 解:( 1)由 A( 4, 2 )在椭圆上,且 x 轴垂直, 可得 c=4,令 x=4,代入椭圆方程可得 y= b = , 即有 =2 ,又 6, 解得 a=4 , b=4, 则椭圆方程为 + =1; ( 2)点 4, 0),可设直线 x=, 代入椭圆方程 2,可得( 2+16=0, 设 B( C( 可得 =644( 2+ 0 y1+ , , | = = , S | 4 =16 =16 16 =8 , 当且 仅当 = ,即 t=0 时, 积的最大值为 8 21设函数 f( x) =a 0, a 1) ( 1)当 a=e 时,求函数 f( x)的图象在点( 0, f( 0)的切线方程; ( 2)若存在 1, 1,使得 |f( f( | e 1( e 为自然对数的底数),求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线 方程 【分析】 ( 1)求得 a=e 时, f( x) =导数,可得 f( x)在( 0, f( 0)处的切线的斜率和切点,即可得到所求切线的方程; 第 19 页(共 23 页) ( 2)由题意可得 f( x)的最大值减去 f( x)的最小值大于或等于 e 1,由单调性知, f( x)的最小值是 f( 1)或 f( 1),最大值 f( 0) =1,由 f( 1) f( 1)的单调性,判断 f( 1)与 f( 1)的大小关系,再由 f( x)的最大值减去最小值 f( 0)大于或等于 e 1 求出 a 的取值范围 【解答】 解:( 1)当 a=e 时, f( x) =导数为 f( x) =1 2x 可得函数 f( x)的图象在点( 0, f( 0)的切线斜率为 1 0 1=0, 切点为( 0, 1),即有切线的方程为 y= 1; ( 2)由存在 1, 1,使得 |f( f( | e 1 成立, 而当 x 1, 1时 |f( f( | f( x) f( x) 则只要 f( x) f( x) e 1, f( x) =导数为 f( x) =2x 又 x, f( x), f( x)的变化情况如下表所示: x ( , 0) 0 ( 0, +) f( x) + 0 f( x) 增函数 极大值 减函数 所以 f( x)在 1, 0上是增函数,在 0, 1上是减函数, 所以当 x 1, 1时, f( x)的最大值 f( x) f( 0) = 1, f( x)的最小值 f( x) f( 1)和 f( 1)中的最小值 因为 f( 1) f( 1) =( 1 a)( 1 ) =2a+ , 令 g( a) =2a+ ,由 g( a) = 1 = 0, 所以 g( a)在 a ( 0, +)上是减函数 而 g( 1) =0,故当 a 1 时, g( a) 0,即 f( 1) f( 1); 当 0 a 1 时, g( a) 0,即 f( 1) f( 1), 所以,当 a 1 时, f( 0) f( 1) e 1,即 a e 1, 而函数 y=a 导 数 y=1 , 可得函数 y 在 a ( 1, +)上是增函数,解得 a e; 当 0 a 1 时, f( 0) f( 1) e 1,即 +e 1, 函数 y= +导数为 y= = , 可得函数 y 在 a ( 0, 1)上是减函数,解得 0 a 综上可知,所求 a 的取值范围为( 0, e, +) 选修 4何证明选讲 22如图,四边形 O,过点 , 5 ( 1)若 O 的直径,求 D 的
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