平面解析几何讲座

平面解析几何专题讲座 俗话说 知己知彼 才能百战百胜 这一策略 同样可以用于高考复习之中 我们不仅要不断研究考试大纲 考试说明和教材 而且还必须研究历年高考试题 从中寻找规律 这样才有可能以不变应万变 才有可能在高考中取得优异成绩 纵观近几年的高考解析几何试题 可以发现有这样的规律 小题灵活 大题稳定 一 直线和圆的方程 考试内容 直线的倾斜角和斜率 直线方程的点斜式和两点式 斜截式和截距式 直线方程的一般式 两条直线平行与垂直的条件 两条直线的交角 点到直线的距离 用二元一次不等式表示平面区域 简单的线性规划问题 曲线与方程的概念 由已知条件列出曲线方程 圆的标准方程和一般方程 圆的参数方程 考试要求 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程的点斜式 两点式 斜截式和截距式 一般式 并能根据条件熟练地求出直线方程 2 掌握两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角和点到直线的距离公式 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 3 了解二元一次不等式表示平面区域 4 了解线性规划的意义 并会简单的应用 5 了解解析几何的基本思想 了解坐标法 6 掌握圆的标准方程和一般方程 了解参数方程的概念 理解圆的参数方程 二 圆锥曲线方程 考试内容 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性质 考试要求 1 掌握椭圆的定义 标准方程和椭圆的简单几何性质 理解椭圆的参数方程 2 掌握双曲线的定义 标准方程和双曲线的简单几何性质 3 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 4 了解圆锥曲线的初步应用 三 解决解析几何问题的几条原则 1 重视 数形结合 的数学思想2 注重平面几何的知识的应用3 突出圆锥曲线定义的作用 四 直线和圆的方程常见知识点 五 圆锥曲线方程常见知识点 六 高考解析几何解答题的类型与解决策略 七 解析几何中的一类重要问题 直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题 它是我们解决解析几何其他问题的基础 我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系 熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长 弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法 特别要重视判别式的作用 力争准确地解决问题 例 直线的右支交于不同的两点A B I 求实数k的取值范围 II 是否存在实数k 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F 若存在 求出k的值 若不存在 说明理由 解 将直线 依题意 直线l与双曲线C的右支交于不同两点 故 设A B两点的坐标分别为 则由 式得 假设存在实数k 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F c 0 则由FA FB得 整理得 把 式及代入 式化简得解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点 例 设直线l与椭圆相交于A B两点 又l与双曲线x y 1相交于C D两点 C D三等分线段AB 求直线l的方程 2 2 例 设椭圆方程为 过点M 0 1 的直线l交椭圆于点A B O是坐标原点 点P满足 点N的坐标为 当l绕点M旋转时 求 1 动点P的轨迹方程 2 的最小值与最大值 例 设双曲线C 相交于两个不同的点A B I 求双曲线C的离心率e的取值范围 II 设直线l与y轴的交点为P 且求a的值 例 已知椭圆的中心在原点 离心率为 一个焦点是F m 0 m是大于0的常数 求椭圆的方程 设Q是椭圆上的一点 且过点F Q的直线与y轴交于点M 若 求直线的斜率 例 椭圆的中心是原点o 它的短轴长为 相应于焦点 的准线与x轴相交于点 过点的直线与椭圆相交于 两点 1 求椭圆的方程及离心率 2 若 求直线的方程 3 设 过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点 证明 例 如图 抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 点P 1 2 A B 均在抛物线上 I 写出该抛物线的方程及其准线方程 II 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时 求的值及直线AB的斜率 例 双曲线的焦距为2c 直线过点 a 0 和 0 b 且点 1 0 到直线的距离与点 1 0 到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围 例 已知圆C与圆关于直线对称 则圆C的方程为AB C D 已知椭圆的中心在原点 离心率 且它的一个焦点与抛物线的焦点重合 则此椭圆方程为 A B C D 例 已知双曲线的左 右焦点分别为 点P在双曲线的右支上 且 则此双曲线的离心率e的最大值为 A B C D 例 设P是双曲线上一点 双曲线的一条渐近线方程为 分别是双曲线的左 右焦点 若 则A 1或5B 6C 7D 9 例 已知椭圆的左 右焦点分别为F1 F2 点P在椭圆上 若P F1 F2是一个直角三角形的三个顶点 则点P到x轴的距离为A B 3C D 例 曲线关于直线x 2对称的曲线方程是ABCD 例 若椭圆的左 右焦点分别为F1 F2 线段F1F2被抛物线y2 2bx的焦点分成5 3两段 则此椭圆的离心率为ABCD 例 变量x y满足下列条件 则使z 3x 2y的值最小的 x y 是 A 4 5 3 B 3 6 C 9 2 D 6 4 例 若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合 则双曲线的离心率为A B C 4D 例 已知点 动点 则点P的轨迹是A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 例 是椭圆上一点 是焦点 若则的面积是 例 如图 P是抛物线C y x上一点 直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q 若直线l与过点P的切线垂直 求线段PQ中点M的轨迹方程 若直线l不过原点且与x轴交于点S 与y轴交于点T 试求的取值范围 例 给定抛物线C y2 4x F是C的焦点 过点F的直线l与C相交于A B两点 设l的斜率为1 求与的夹角的大小 设 若 4 9 求l在y轴上截距的变化范围 例 设椭圆的两个焦点是与 且椭圆上存在一点 使得直线与垂直 1 求实数的取值范围 2 设是相应于焦点的准线 直线与相交于点 若 求直线的方程 例 已知两点M 2 0 N 2 0 动点P在y轴上的射影为H 是2和的等比中项 1 求动点P的轨迹方程 并指出方程所表示的曲线 2 若以点M N为焦点的双曲线C过直线x y 1上的点Q 求实轴最长的双曲线C的方程 例 已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点 且两条渐近线与以点为圆心 1为半径的圆相切 又知C的一个焦点与A关于直线对称 求双曲线C的方程 设直线与双曲线C的左支交于A B两点 另一直线经过M 2 0 及AB的中点 求直线在轴上的截距b的取值范围 若Q是双曲线C上的任一点 为双曲线C的左 右两个焦点 从引的平分线的垂线 垂足为N 试求点N的轨迹方程 例 设F F分别为椭圆C a b 0 的左 右焦点 1 设椭圆C上的点到F F两点距离之和等于4 写出椭圆C的方程和焦点坐标 2 设点K是 1 中所得椭圆上的动点 求线段的中点的轨迹方程 3 已知椭圆具有性质 M N是椭圆C上关于原点对称的两