度高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定同步辅导与检测课件 新人教A版必修2.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 2平面与平面垂直的判定 点 直线 平面之间的位置关系 掌握二面角的概念 会求简单的二面角的大小 掌握平面与平面垂直的判定定理 并能灵活应用 基础梳理 1 二面角 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 叫做二面角的棱 叫做二面角的面 如图 记作 二面角 或 或 2 二面角的平面角如图 二面角 l 1 两个半平面这条直线这两个半平面 l p ab qp l q 若有 o l oa ob oa l ob l则 aob就叫做二面角 l 的平面角 练习1 如右图所示 pa 平面abcd abcd是正方形 求证 平面pcd 平面pad 2 证明 因为pa 平面abcd 所以pa cd 又abcd是正方形 所以ad cd 又pa与ad相交 所以cd 平面pad 因为cd 平面pcd 所以平面pcd 平面pad 练习2 正方体六个面之间构成多少对互相垂直的平面 练习3 若 a 则a 对吗 练习4 若 a b a b 则a 对吗 练习5 若a b a 则b 对吗 2 面面垂直 定义 如果两个平面相交 且它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 练习2 12对练习3 错练习4 错练习5 对2 直二面角 画法 记作 面面垂直的判定定理文字语言 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 符号表示 一条垂线a 思考应用 1 二面角的平面角的大小 是否与角的顶点在棱上的位置有关 解析 如图 在二面角 l 的棱上任取点o 以o为垂足 在半平面 和 内分别作垂直于棱的射线oa和ob 则射线oa和ob组成 aob 再取棱上另一点o 在 和 内分别作l的垂线o a 和o b 则它们组成 a o b 因为oa o a ob o b 所以 aob与 a o b 的两边分别平行且方向相同 即 aob a o b 上述结论说明了按照上述方法作出的角的大小 与角的顶点在棱上的位置无关 2 应用面面垂直的判定定理的关键是什么 解析 应用此定理的关键在于 在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线 即实现面面垂直向线面垂直的转化 自测自评 1 经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有 a 0个b 1个c 无数个d 1个或无数个解析 当两点连线与平面 垂直时 可作无数个垂面 否则 只有1个 答案 d2 若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面 则这两个二面角的大小关系是 a 相等b 互补c 相等或互补d 不确定解析 若方向相同则相等 若方向相反则互补 答案 c 3 已知a b c a b a c 则 a b 与 相交c d 以上都有可能4 两个平面相交可形成 个二面角 5 若 a 则a与 的位置关系是 垂直 d 4 利用二面角解决相关问题 如图所示 在四面体abcd中 abd acd bcd abc都全等 且ab ac bc 2 求以bc为棱 以 bcd和 bca为面的二面角的大小 分析 分析题目可知 本题主要考查二面角的概念和全等三角形的有关知识以及解三角形的有关知识 解决本题的关键是 看清图形的对称性 由于是具有公共边的两个等腰三角形 所以根据二面角的平面角的定义很容易作出二面角的平面角 解析 取bc的中点e 连接ae de ab ac ae bc 又 abd acd ab ac db dc de bc aed为二面角abcd的平面角 又 abc dbc 且 abc是以bc为底的等腰三角形 dbc也是以bc为底的等腰三角形 ab ac db dc 又 abd bdc ad bc 2 在rt deb中 db be 1 在 aed中 ae de ad 2 ad2 ae2 de2 aed 90 以 bcd和 bca为面的二面角的大小为90 点评 1 求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角 这就需要紧扣它的三个条件 即这个角的顶点是否在棱上 角的两边是否分别在两个平面内 这两边是否都与棱垂直 在具体作图时 还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧 如本例中 充分利用图形的对称性 即有公共底边的两个等腰三角形 取bc的中点 很快作出二面角的平面角 也就是利用定义作出二面角的平面角 2 求二面角大小的基本程序是 先作出二面角的平面角 再以此角作出 或找到 相关三角形 解此三角形即可求出二面角的大小 跟踪训练 1 正方体abcda1b1c1d1中 截面a1bd与底面abcd所成二面角a1bda的正切值等于 解析 连ac交bd于点o 连a1o o为bd中点 a1d a1b 在 a1bd中 a1o bd 又在正方形abcd中 ac bd a1oa为二面角a1bda的平面角 设aa1 1 则ao tan a1oa 答案 c 平面与平面垂直的判定及综合应用 如图 正方体的棱长为1 b c bc o 求 1 ao与a c 所成角的度数 2 ao与平面abcd所成角的正切值 3 平面aob与平面aoc所成角的度数 解析 1 a c ac ao与a c 所成的角就是 oac ab 平面bc ab oc 又 oc ob ob ab b oc 平面abd oc oa 在rt aoc中 oc ac oac 30 即ao与a c 所成角的度数为30 2 作oe bc 平面bc 平面abcd oe 平面abcd oae为oa与平面abcd所成的角 3 oc oa oc ob oc 平面aob 又 oc 平面aoc 平面aob 平面aoc 即平面aob与平面aoc所成的角为90 点评 本题包含了线线角 线面角和面面角三类问题 求角度问题主要是求两条异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角三种 求角度问题解题的一般步骤是 1 找出这个角 2 证明该角符合题意 3 作出这个角所在的三角形 解三角形 求出角 求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题 即在线线成角中找到答案 跟踪训练 2 如图所示 四棱锥pabcd中 底面abcd是矩形 pa 平面abcd m n分别是ab pc的中点 pa ad a 1 求证 mn 平面pad 2 求证 平面pmc 平面pcd 证明 1 如图所示 取pd的中点e 连接ae ne 由n为pc的中点知en綊dc 又abcd是矩形 dc綊ab en綊ab 又m是ab的中点 en綊am amne是平行四边形 mn ae 而ae 平面pad mn 平面pad mn 平面pad 2 pa ad ae pd 又 pa 平面abcd cd 平面abcd cd pa 而cd ad pa ad a cd 平面pad cd ae pd cd d ae 平面pcd mn ae mn 平面pcd 又mn 平面pmc 平面pmc 平面pcd 1 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线 则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是 a 相等b 互补c 互余d 无法确定 解析 如图 bd cd为ab ac所在平面与 的交线 则 bdc为二面角 l 的平面角 且 abd acd 90 a bdc 180 答案 b 2 已知直线l 平面 则经过l且和 垂直的平面 a 有一个b 有两个c 有无数个d 不存在 解析 经过l的任一平面都和 垂直 答案 c 1 二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形 其大小是用二面角的平面角来度量的 二面角的平面角必须具备三个条件 角的顶点在二面角的棱上 角的两边分别在二面