2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏）.doc

2013年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 参考公式 样本数据的方差 其中 12 n x xx 2 2 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 棱锥的体积公式 其中S是锥体的底面积 为高 1 3 VSh h 棱柱的体积公式 其中S是柱体的底面积 为高 VSh h 填空题 本大题共14小题 每小题5分 共计70分 请把答案 填写在答题卡相印位置上 1 函数的最小正周期为 4 2sin 3 xy 2 设 为虚数单位 则复数的模为 2 2 iz iz 3 双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 4 集合共有 个子集 1 0 1 5 右图是一个算法的流程图 则输出的的值是 n 6 抽样统计甲 乙两位射击运动员的5此训练成绩 单位 环 结果如下 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 7 现在某类病毒记作 其中正整数 可以任意选取 则都取到奇数的概 nmY Xmn7 m9 nnm 率为 8 如图 在三棱柱中 分别是的中ABCCBA 111 FED 1 AAACAB 点 设三棱锥的体积为 三棱柱的体积为 则ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21 V V 9 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 包含三角形 2 xy 1 xD 内部和边界 若点是区域内的任意一点 则的取值范围是 yxPDyx2 10 设分别是的边上的点 ED ABC BCAB ABAD 2 1 BCBE 3 2 若 为实数 则的值为 12 DEABAC 21 21 11 已知是定义在上的奇函数 当时 则不等式的解集用区间 xfR0 xxxxf4 2 xxf 表示为 12 在平面直角坐标系中 椭圆的标准方程为 xOyC 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右焦点为 右准线为 短轴的一个端点为 设原点到直线的距离为 到 的距0ab FlBBF 1 dFl 离为 若 则椭圆的离心率为 2 d 12 6dd C 13 在平面直角坐标系中 设定点 是函数 图象上一动点 若点之间xOy aaAP x y 1 0 xAP 的最短距离为 则满足条件的实数的所有值为 22a 14 在正项等比数列中 则满足的最大正整数 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 n 的值为 二 解答题 本大题共6小题 共计90分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本小题满分14分 已知向量 sin cos sin cos ba 0 1 若 求证 2 baba 2 设 若 求的值 1 0 ccba 16 本小题满分14分 如图 在三棱锥中 平面平面 ABCS SABSBC 过作 垂足为 点BCAB ABAS ASBAF FGE 分别是棱的中点 SCSA 求证 1 平面平面 EFGABC 2 SABC 17 本小题满分14分 如图 在平面直角坐标系中 点 直线 xOy 3 0 A42 xyl 设圆的半径为 圆心在 上 C1l 1 若圆心也在直线上 过点作圆的切线 求切线C1 xyAC 的方程 2 若圆上存在点 使 求圆心的横坐标的CMMOMA2 Ca 取值范围 18 本小题满分16分 如图 游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从沿直线步行到 另一种是先从ACAC 沿索道乘缆车到 然后从沿直线步行到 ABBC 现有甲 乙两位游客从处下山 甲沿匀速步行 速度为 在甲出发后 乙从乘缆AACmin 50mmin2A 车到 在处停留后 再从匀速步行到 假设缆车匀速直线运动的速度为 山路BBmin1Cmin 130m 长为 经测量 ACm1260 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道的长 AB 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 C3 乙步行的速度应控制在什么范围内 19 本小题满分16分 设是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 记 其中为 n aad 0 d n Sn cn nS b n n 2 Nn c 实数 1 若 且成等比数列 证明 0 c 421 bbb knk SnS 2 Nnk 2 若是等差数列 证明 n b0 c 20 本小题满分16分 设函数 其中为实数 axxxf ln axexg x a 1 若在上是单调减函数 且在上有最小值 求的取值范围 xf 1 xg 1 a 2 若在上是单调增函数 试求的零点个数 并证明你的结论 xg 1 xf 2013年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 答案 一 填空题 1 2 5 3 3 4 yx 4 8 5 4 6 2 7 20 63 8 1 24 9 1 2 2 10 1 2 11 5 0 5 12 3 3 13 1 3 14 12 二 解答题 15 1 略 2 5 66 16 证 1 由题 平面SABA AFSB SFBF SEEA EFAB EF ABC 平面 平面 同理平面 与为平面内的两条相交AB ABC EF ABC EGABCEF EGEFG 直线 平面平面 EFGABC 2 平面平面于 平面 平面 SABSBCSBAF SABAF SBCAFBC 又且与为平面内的两条相交直线 BCAB ABAFSABBCSA 17 解 1 由题设点 又也在直线上 24 C aa C1 xy241 3aaa 由题 过A点切线方程可设为 即 则 22 3 2 1Cxy A3ykx 30kxy 解得 所求切线为或 2 31 1 1 k k 3 0 4 k 3y 3 3 4 yx 2 设点 24 C aa 00 M xy2MAMO 3 0 A 0 0 O 即 又点在圆上 2222 0000 3 4 xyxy 22 000 32xyy MC 两式相减得 22 00 24 1xaya 由题以上两式有公共点 2 00 5 23 89 0 2 a axaya 2 2 22 5 23 24 89 2 1 23 a aaaa aa 整理得 即 令 则 2 2 5 63 5129 2 a aaa 222 5126 4 5129 aaaa 2 5126taa 解得 解得 2 4 3 tt 26t 2 251266aa 12 0 5 a 18 解 1 在中 ABC 13 12 cos A 5 3 cos C 5 sin 13 A 4 sin 5 C 63 sinsin sincoscossin 65 BACACAC sinsin ABAC CB 565 1260 463 AB 答 索道的长为 1040AB AB1040m 2 设乙出发到点 则甲出发到点 mintP 2 mint Q130APt 50 2 AQt 在中 APQ 222222 12 2cos 130 50 2 2 13050 2 13 PQAPAQAPAQAtttt 2222222 100 13 5 2 120 2 100 16925 2 120 2 PQttt ttttt 当且仅当时 最小 22 100 74140100 PQtt 35 min 37 t PQ 答 乙出发分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 甲走完长为的山路 共需分钟 设乙总用时为 乙步行的速度为m1260AC 1260 25 2 50 mint 则 由题 在中 由正弦定理求得 minvm22 228 2t 1040 21 130 BC t v ABC 500BC 500 11 22 2 28 2 t v 500 11 2 17 2 v 11 50017 2 11 2 v 500 500 17 2 11 2 v 500 500 17 2 11 2 v 5000 5000 172112 v 5000 5000 172112 v 39 29 44 4314 v 答 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行的速度应控制到C3 3 29 min 43 m 内 9 44 min 14 m 19 证明 1 若 则 又由题 0 c n n S b n Nn 1 2 n n nd Sna 1 2 n n Sn bad n 1 1 2 nn bbd 是等差数列 首项为 公差为 又成等比数列 n b a 2 d 0 d 421 bbb 2 21 4 bbb 2 3 22 dd aa a 2 3 42 dd ada 0d 2da 2 n Sn a 222222 nkk Snkan k a n Sn k a 2 nkk Sn S Nnk 2 由题 若是等差数列 则可设 cn nS b n n 2 Nn 2 2 2 1 2 n nand b nc n b n bxyn 是常数 关于恒成立 整理得 x y 2 2 2 1 2 nand xyn nc Nn 32 2 22 220dy nadx ncyncx 关于恒成立 Nn 20 220 20 20dyadxcycx 20 22 0 0dyaxd cycx 0c 20 解 1 由题在上恒成立 在上恒成立 1 0fxa x 1 1 a x 1 1a x g xea 若 则在上恒成立 在上递增 在上没有最0a 0 x g xea 1 xg 1 g x 1 小值 0a 当时 由于在递增 时 递增 lnxa 0g x x g xea 1 lnxa 0g x xg 时 递减 从而为的可疑极小点 由题 lnxa 0g x xglnxa xgln1a ae 综上的取值范围为 aae 2 由题在上恒成立 在上恒成立 0 x g xea 1 x ea 1 1 a e 由得 令 则 ln0 0 f xxaxx ln 0 x ax x ln 0 x h xx x