九年级-圆周角圆心角-讲

中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义圆周角与圆心角一、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角1圆心角所对的弧叫做1的弧 n的圆心角所对的弧就是n的弧二、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等如图所示，OEAB于E，OFCD于F，若下列四个等式：AOB=COD；AB=CD；OEOF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若成立，成立；若成立，成立；若成立，成立；若成立，成立特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧三. 圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等四、重要结论：圆的内接四边形对角互补典型例题讲解例1、判断题：（1）相等的圆心角所对的弧相等 （ ）； （2）等弦对等弧（ ）；（3）等弧对等弦（ ）； （4）长度相等的两条弧是等弧（ ）；（5）平分弦的直径垂直于弦（ ）。AOBC例2、如右图，O中，AOB=100，则AB弧的度数为_，ACB弧的度数为_。例3、如图，O中，AB弧的度数等于100，那么ACB的度数是多少？由此你得到什么结论？试证明你的结论。例4、O中，弦AB所对的圆心角有_个，所对的圆周角有_个，因此能不能说“一条弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍”？为什么？练习：1、80的弧所对的圆心角等于_，所对的圆周角等于_。2、下列命题中是真命题的是（ ）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B）60的圆周角所对的弧的度数是30AOCBAOBC（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 （D）120的弧所对的圆周角是603、如图，在O中，BAC=32，则BOC=_。第3题图第4题图4、如图，O中，ACB = 130，则AOB=_。ABCOD5、如图，在O中，A = 40，则BOC = _，BDC=_。例5、已知O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数例6、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？练习：在O中，弦AB把O分为度数比为的两条弧，则所对的圆心角的度数为（）A30B45C60D90例7、如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角ACB、ADB的度数？例8、一条弧所对的圆周角为80，它所对的圆心角是_度，它所含的圆周角是_度CBDO A练习：如图，在O的内接四边形ABCD中，BCD130，则BOD的度数是_2.一条弧所对的圆周角为80，它所对的圆心角是_ _度，它所含的圆周角是_ _度例9、如图，已知O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD和BD的长课堂练习：1.同弧所对的圆心角的度数是它所对圆周角度数的_倍2.下图所示的角中，圆周角是（）3.如右图，已知圆心角AOB=120，则圆周角ACB的度数是（）ABCDA60 B100 C120 D804.如图，AB是O的直径，C30则ABD等于（）A30 B40 C50 D605.如图，四边形ABCD内接于O，若BOD140，则BCD等于（）A140 B110 C70 D206 若圆的一条弦把圆分成度数的比为13的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A45 B90 C135 D2707.如图，在O中，弦BC/半径OA，AC与OB相交于M，C=20，则AMB的度数为（）A30 B60 C50 D40经典题型：1、 一条弦把圆周角分成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，求这条弦所对的圆周角的度数。2、已知：在O中，CD过圆心O，且CDAB。垂足为D，过C点作一弦CF交O于F点，交AB于E点，求证：BC2=CFCE3、如图A、B、C三点都在O上，AD是ABC的高，O的半径R=4cm，AD=6cm，试说明ABAC的值是一个常数。4、已知：如图所示，是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：AOBDCGF1E5、如图，ABC是等边三角形，O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DFAC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求BF的长.AOBEDCGF6、如图，O是锐角的外接圆，H是两条高的交点，于G，求证：.（补充证明：三角形的外心，重心，垂心在一条直线上-欧拉线）.OHABCG7、如图，已知O是的外接圆，D为劣弧BC的中点，H为劣弧AB的中点，连结CH交AB于E，连接AD交CH于G，延长CH到点M，使MH=HG，延长DA到点K，使AK=AG，CA的延长线MK于点F，求证：（1）；（2）ME=MF8、如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点为P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长9、已知：如图，E是的内心，的平分线交BC于点F，且与的外接圆相交于点D。（1）求证：；（2）若AD=8cm,DF:FA=1:3,求DE的长。EBCDAF10、如图1所示，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E。（1）试说明ODE的形状；（2）如图2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。 11、已知：如图，内接于，