坐标系与参数方程PPT幻灯片课件

第一讲坐标系 1 一 直角坐标系 2 1 数轴 直线坐标系 2 平面直角坐标系 3 空间直角坐标系 任意点P 实数x 有序实数对 x y 有序实数组 x y z 建立坐标系目的是确定点的位置 创建坐标系的基本原则 1 任意一点都有确定的坐标与它对应 2 依据一个点的坐标就能确定此点的位置 求出此点在该坐标系中的坐标 直角坐标系 3 例1 选择适当的平面直角坐标系 表示边长为2的正六边形的顶点 4 例2 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路 但在A村北偏西300方向距A村500m处 发现一古代文物遗址W 经过初步勘察 文物管理部门将遗址W周围200m范围划为禁区 已知B地位于A村的正西方向1km处 试问 修建高速公路和计划需要修改吗 解决问题的关键 确定遗址W与高速公路BC的相对位置 O x y O y 5 例3 求证 三角形的外心 重心 垂心在一条直线上 A B C 6 7 8 答 再增设一个观测点C 利用B C 或A C 两处测得的爆炸声的时间差 可以求出另一个双曲线的方程 解这两个方程组成的方程组 就能确定爆炸点的准确位置 这是双曲线的一个重要应用 9 10 11 12 平面直角坐标系建系时 根据几何特点选择适当的直角坐标系 1 如果图形有对称中心 可以选对称中心为坐标原点 2 如果图形有对称轴 可以选择对称轴为坐标轴 3 使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上 总结 13 二 极坐标系 14 问题2 如何刻画这些点的位置 情境1 军舰巡逻在海面上 发现前方有一群水雷 如何确定它们的位置以便将它们引爆 情境2 请问到复旦中学怎么走 问题1 为了简便地表示上述问题中点的位置 应创建怎样的坐标系呢 问题情境 15 请分析这句话 他告诉了问路人什么 从这向南走200米 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想 就是极坐标的基本思想 情境2 请问到复旦中学怎么走 16 1 极坐标系的建立 在平面内取一个定点O 叫做极点 引一条射线OX 叫做极轴 再选定一个长度单位和计算角度的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 O 极坐标系 17 2 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M 用 表示线段OM的长度 用 表示以射线OX为始边 射线OM为终边所成的角 叫做点M的极径 叫做点M的极角 有序数对 就叫做M的极坐标 极点的极坐标为 0 可为任意值 思考 对比直角坐标系 比较异同 要素 2 平面内点的极坐标用 表示 极点 极轴 长度单位 计算角度的正方向 18 例1 如图 写出各点的极坐标 x A 4 0 E 4 5 1 19 小结 由极坐标描点的步骤 1 先按极角找到点所在射线 2 在此射线上按极径描点 思考 平面上一点的极坐标是否唯一 若不唯一 那有多少种表示方法 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 20 3 点的极坐标的表达式的研究 如图 OM的长度为4 请说出点M的极坐标的表达式 思考 这些极坐标之间有何异同 思考 这些极角有何关系 这些极角的始边相同 终边也相同 也就是说它们是终边相同的角 极径相同 不同的是极角 21 4 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1 给定 就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M 2 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对应 原因在于 极角有无数个 如果限定 0 0 2 那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了 22 思考 在本节开头关于修建高速公路的问题中能否在极坐标系中解题 23 在一般情况下 极径都是取正值 但在某些必要的情况下 也允许取负值 0 当 0时如何规定 对应的点的位置 当 0时 点M 的位置规定 M 点M 在角 终边的反向延长线上 且 OM 5 关于负极径 小结 从比较来看 负极径比正极径多了一个操作 将射线OP 反向延长 24 x F 小结 2k 2k 1 都是同一点的极坐标 1 25 思考 极坐标系中 点M的坐标为 10 则下列各坐标中 不是M点的坐标的是 A 10 B 10 C 10 D 10 D 26 例3 已知点Q 分别按下列条件求出点P的坐标 1 P是点Q关于极点O的对称点 2 P是点Q关于直线的对称点 3 P是点Q关于极轴的对称点 4 将OQ旋转900后得到OP 注意点M的极坐标具有多值性 27 3 一点的极坐标有否统一的表达式 1 建立一个极坐标系需要哪些要素 极点 极轴 长度单位 计算角度的正方向 2 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式 无数 因为极角有无数个 有 2k 总结 28 情境1 若点作平移变动时 则点的位置采用直角坐标系描述比较方便 情境2 若点作旋转变动时 则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1 极坐标系是怎样定义的 问题2 极坐标系与直角坐标系有何异同 问题3 平面内的一个点的直角坐标是 1 这个点如何用极坐标表示 极坐标与直角坐标的互化 29 在直角坐标系中 以原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 并且两种坐标系中取相同的长度单位 点M的直角坐标为 设点M的极坐标为 M的极坐标为 2 3 30 极坐标与直角坐标的互化关系式 设点M的直角坐标是 x y 极坐标是 x cosq y sinq 互化公式的三个前提条件 1 极点与直角坐标系的原点重合 2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 3 两种坐标系的单位长度相同 限定 0 0 2 31 练习1 已知下列点的极坐标 求它们的直角坐标 32 例2 把下列点的直角坐标化成极坐标 限定 0 0 2 练习2 已知点的直角坐标 求它们的极坐标 A 3 B 1 C 5 0 D 0 2 E 3 3 总结 点的直角坐标化成极坐标的步骤 极角是如何确定的 33 例3 已知两点A 2 3 B 3 2 求AB两点间的距离 o x A B 34 1 直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置 2 曲线的方程和方程的曲线 直角坐标系中 定义 3 求曲线方程的步骤 知识回顾 求曲线的极坐标方程 在直角坐标平面上 曲线可以用x y的二元方程f x y 0来表示 这种方程也称为曲线的直角坐标方程 同理 在极坐标平面上 曲线也可以用关于r q的二元方程f r q 0来表示 这种方程称为曲线的极坐标方程 35 定义 一般地 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f r q 0 反之 极坐标适合方程f r q 0的点在曲线上 那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程 这条曲线称为这个极坐标方程的曲线 例 以极点O为圆心 1为半径的圆上任意一点极径为1 反过来 极径为1的点都在这个圆上 因此 以极点为圆心 1为半径的圆的方程 又例 过极点O倾斜角为300的直线 思考 上述两例的方程是唯一的吗 你还能再写出一个 定义 36 由于点的极坐标表示不唯一 因此 在极坐标系中 曲线上的点的极坐标中只要有满足曲线方程的坐标 但不要求曲线上的点的任意一个极坐标都满足方程 由于点的极坐标表示不唯一 导致曲线的极坐标方程也不唯一 如 以极点O为圆心 1为半径的圆可以用方程r 1表示 也可以用方程r 1表示 说明 37 例1 求过点A 2 0 且垂直于极轴的直线的极坐标方程 解 如图 在直线l上任取一点P r q 连结OP 则OP r POA q 在Rt POA中 由于OPcosq OA 所以rcosq 2 所以rcosq 2为所求直线的极坐标方程 类似于曲线直角坐标方程的求法 可以求曲线的极坐标方程 变式训练1 已知点P的极坐标为 1 那么过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程 求极坐标方程 38 例2 求圆心在C r 0 半径为r的圆的极坐标方程 解 如图所示 则 OP OA cos POA 所以 所求圆的极坐标方程为r 2rcosq 设P r q 为圆上任意一点 由于OP AP 即r 2rcosq OA 2r POA q 39 变式训练2 求圆心在C r 2 半径为r的圆的极坐标方程 解 如图所示 由题意可知 所求圆的圆心在垂直于极轴且位于极轴上方的射线上 而圆周经过极点 设圆与垂直于极轴的射线的另一交点为A 则A点的极坐标为 r 2 设圆上任意一点为P 连结PA 则 OP POx 在Rt POA中 由于cos POA OP OA 所以 2rsin 为所求圆的极坐标方程 40 特别地 我们知道 在直角坐标系中 x k k为常数 表示一条平行于y轴的直线 y k k为常数 表示一条平行于x轴的直线 我们可以证明 具体从略 在极坐标系中 r k k为常数 表示圆心在极点 半径为k的圆 k k为常数 表示极角为k的一条直线 过极点 41 第一步建立适当的极坐标系 第二步在曲线上任取一点P r q 第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式 第四步用极坐标r q表示上述等式 并化简得极坐标方程 第五步证明所得的方程是曲线的极坐标程 求曲线极坐标方程的基本步骤 42 例3 互化下列方程 1 化在直角坐标方程x2 y2 8y 0为极坐标方程 2 化极坐标方程 6cos 3 为直角坐标方程 两种方程的互化 43 1 把下列极坐标方程化为直角坐标方程 1 rcosq 4 2 r 5 3 r 2rsinq 1 解 把代入上式 得它的直角坐标方程x 4 把r2 x2 y2代入上式 得它的直角坐标方程x2 y2 25 变式训练 2 解 两边同时平方 得r2 25 3 解 两边同时乘以r 得r2 2rrsinq 把r2 x2 y2 rsinq y代入上式 得它的直角坐标方程x2 y2 2ry即x2 y r 2 r2 44 2 把极坐标方程化为直角坐标方程 45 3 把直角坐标方程化为极坐标方程 46 1 在极坐标系中 我们可以用一个角度和一个距离来确定点的位置 2 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系 同一个点可以用极坐标表示 也可以用直角坐标表示 这样就需要掌握两种坐标在一定条件下的互化方法 总结 47 三 常见曲线的极坐标方程 48 思考1 在平面直角坐标系中 1 过点 3 0 且与x轴垂直的直线方程为 过点 3 3 且与x轴垂直的直线方程为 x 3 x 3 2 过点 a b 且垂直于x轴的直线方程为 x a 特点 所有点的横坐标都是一样 纵坐标可以取任意值 与直角坐标系里的情况一样 求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点 的坐标 与 之间的关系 然后列出方程f 0 再化简并讨论 思考2 怎样求曲线的极坐标方程 直线的极坐标方程 49 例1 求过极点 倾角为 4的射线的极坐标方程 解 如图 所求的射线上任一点的极角都是 4 其极径可以取任意的非负数 故所求直线的极坐标方程为 引申1 求过极点 倾角为5 4的射线的极坐标方程 引申2 求过极点 倾角为 4的直线的极坐标方程 50 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来 极坐标系里的直线表示起来很不方便 要用两条射线组合而成 原因在哪 为了弥补这个不足 可以考虑允许极径可以取全体实数 则上面的直线的极坐标方程可以表示为 或 原因在 0 51 例2 求过点A a 0 a 0 且垂直于极轴的直线l的极坐标方程 解 52 3 设点A的极坐标为 a 0 直线l过点A且与极轴所成的角为 求直线l的极坐标方程 解 如图 设点M 为直线l上异于A的点 连接OM 在 MOA中有 即 显然A点也满足上方程 53 练习 按下列条件写出直线的极坐标方程 54 例4 设点P的极坐标 0 0 直线l过点P且与极轴所成的角为 求直线l的极坐标方程 解 如图 设点M 为直线上除点P外的任意一点 连接OM 在 MOP中有 显然点P的坐标也是它的解 55 练习 56 x C a 0 O 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 探究 1 定义 如果曲线 上的点与方程f 0有如下关系 曲线 上任一点的坐标 所有坐标中至少有一个 符合方程f 0 方程f 0的所有解为坐标的点都在曲线 上 则曲线 的方程是f 0 圆的极坐标方程 57 例1 已知圆O的半径为r 建立怎样的坐标系 可以使圆的极坐标方程更简单 例2 若圆心的坐标为M 0 0 圆的半径为r 求圆的方程 O M P x 58 运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程 练习1 求下列圆的极坐标方程 圆心在极点 半径为2 圆心在 a 0 半径为a 圆心在 a 2 半径为a 圆心在 0 半径为r 2 2acos 2asin 2 2 0 cos 02 r2 0 59 辨析 圆心在不同位置时圆极坐标方程和特征 60 例4 以极坐标系中的点 1 1 为圆心 1为半径的圆的方程是 C 例3 极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是多少 61 例5 在圆心的极坐标为A 4 0 半径为4的圆中 求过极点O的弦的中点的轨迹 练习3 在极坐标系中 已知圆C的圆心C 3 6 半径r 3 求圆C的极坐标方程 若Q点在圆C上运动 P在QO的延长线上 且OQ OP 3 2 求动点P的轨迹方程 62 例6 椭圆上两点A B O为坐标原点 且 1 求证 为定值 2 若O到AB距离为d 求证 d为定值 3 求三角形AOB面积的取值范围 63 曲线极坐标方程总结 64 65 题型分析 66 解析 1 将x cos y sin 代入y2 4x 得 sin 2 4 cos 化简 得 sin2 4cos 2 将x cos y sin 代入y2 x2 2x 1 0 得 sin 2 cos 2 2 cos 1 0 化简 得 2 2