03函数关系 王振堂 高等数学 教学课件

1 3函数关系 三 多值函数 二 函数关系 四 隐函数 一 关系 略 五 函数符号f x 的使用 二 函数关系 我们熟悉如下公式或方程 圆周长公式 L 2pr r 0 圆面积公式 S pr2 r 0 自由落体的速度公式 V gt t 0 直线方程 y ax b x 抛物线方程 y x a 2 b x 双曲线方程 xy 1 x 0 它们的共同点是至少有两个变量 当一个变量在给定的范围内取得一个定值后 可以通过公式或方程确定出另一个变量的值 引例 定义1 9设D是一个给定的数集 如果对于每一个数x D 变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与之相对应 则称变量y是变量x的函数 记作y f x x称作自变量 y称作因变量 D称作函数y f x 的定义域 函数的定义 函数y f x 中的 f 表示的是一个对应规则 即对每一个x D按规则f有一个确定的y值与之对应 对应规则也常用y j h g F等表示 此时函数就记作y x j x h x g x F x 等 例如 设f是这样一个对应规则 对任意x R 有y x2 1与之对应 所以y是x的函数 这个函数就记作y x2 1 f x x2 1 y f x 当x取值x0 D时 与x0对应的y的值称作函数y f x 在点x0的函数值 记作y0 f x0 等 当x取遍D的每一个数值 对应的函数值的全体 y y f x x D 称为函数y f x 的值域 记作Z或Z f 例如 取x0 2 则函数y x2 1的值为 y0 f 2 22 1 5 值域为Z f 1 定义1 9设D是一个给定的数集 如果对于每一个数x D 变量y按一定的对应规则总有一个确定的数值与之相对应 则称变量y是变量x的函数 记作y f x x称作自变量 y称作因变量 D称作函数y f x 的定义域 函数的定义 在平面直角坐标系中 取自变量在横轴上变化 因变量在纵轴上变化 则平面点集 x y y f x x D 称为函数y f x 的图形 函数的图形 函数y x2 1的图形 讨论 1 y arcsin 2 x2 是否是函数关系 2 x y是否是函数关系 定义域和对应规则是确定函数关系的两个要素 解 要使函数有意义 必须3x 2 0且lg 3x 2 0 因此 函数的定义域为 在抽象地研究用算式表达的函数时 函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 定义域的确定 解 要使函数有意义 必须 解之得 4 x 5 于是得函数的定义域为D 4 5 在抽象地研究用算式表达的函数时 函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 定义域的确定 应注意的问题 在函数中 常量一般用字母a b c d k l m n等表示 变量一般用字母x y z u v w s t等表示 有一些字母既可以表示常量也可以表示变量 如r a b q等 常量与变量用什么符号不是绝对的 但应尊重数学习惯 我们把对于非空集合D中的x值有多个y值与之对应的关系称为多值函数 讨论 设变量x与y满足x2 y2 25 x 5 5 问y是否是x的函数 答案 不是 因为对每个x 5 5 可以确定两个y的值 不符合函数的定义 三 多值函数 四 隐函数 有些函数 它的因变量是用自变量表达式表示出来的 称为显函数 显函数举例 有些函数它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程F x y 0表示的 称为隐函数 隐函数举例 xy 1 x2 y2 r2 Ax By C 0 例如 若f x x2 那么有f 2 22 4 f a a2 f x 1 x 1 2 x2 2x 1 f f x x2 2 x4 f x 表示将规则f施用于x 如果把f x 中括号内