高中数学 第四章 导数及其应用 4.4 生活中的优化问题举例课件 湘教版选修22.ppt

4 4生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 通过前面的学习 我们知道是求函数最大 小 值的有力工具 运用 可以解决一些生活中的 解决实际应用问题时 要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系 这需通过分析 联想 抽象和转化完成 函数的最值要由极值和端点的函数值确定 当定义域是开区间 函数在开区间上有惟一的极值 则它就是函数的最值 自学导引 1 2 优化问题 导数 导数 优化问题 数学建模 利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么 提示 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中自变量的定义区间 自主探究 有一长为16m的篱笆 要围成一个矩形场地 则此矩形场地的最大面积为 a 32m2b 18m2c 16m2d 14m2解析设矩形长为xm 则宽为 8 x m 矩形面积s x 8 x 0 x 8 令s 8 2x 0 得x 4m 此时smax 42 16 m2 当然也可用配方法或基本不等式法求最值 答案c 预习测评 1 以长为10的线段ab为直径作半圆 则它的内接矩形的面积的最大值为 a 10b 15c 25d 50解析法一 如图 设 nob 则矩形面积为s 5sin 2 5cos 25sin2 故smax 25 2 答案c 如右图所示 某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 其他三边需要砌新的墙壁 当砌壁所用的材料最省时 堆料场的长和宽分别为 3 答案32米 16米 用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3 4 那么容器容积最大时 高为 m 4 答案0 5 利用导数解决实际问题的一般方法 1 细致分析实际问题中各个量之间的关系 正确设定所求最值的变量y与自变量x 找出变量y与x的关系 即列出函数关系y f x 再根据实际问题确定函数y f x 的定义域 这样就把实际问题转化成了数学问题 2 求f x 解方程f x 0 求出定义域内所有的实数根 3 比较函数在各个根和端点处的函数值的大小 根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值 要点阐释 注意 求实际问题的最值时 一定要考虑问题的实际意义 不符合实际意义的理论值要舍去 在实际问题中 若在函数的定义域内 使f x 0成立的值只有一个 且函数在这一点处取得极大 小 值 则不与端点值比较 也可以知道这就是最大 或小 值 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去边长相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 典例剖析 题型一容积 或面积 最大问题 例1 答 当箱底边长为40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 点评在实际问题中 有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f x 0 如果函数在该点取得极大 小 值 极值就是函数的最大 小 值 做一个无盖的圆柱形水桶 若要使其体积是27 且用料最省 则圆柱的底面半径为 1 答案3 题型二时间 费用最省问题 点评利用导数的方法解决实际问题 要注意构造函数 但与解决一般的函数问题有区别 即注意利用导数所求出的函数最值点是否符合现实问题的要求 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为10km h时 燃料费是每小时6元 而其他与速度无关的费用是每小时96元 问此轮船以 km h的速度航行时 能使行驶每千米的费用总和最小 2 答案20 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 单位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 一星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解 1 设商品降价x元 则多卖的商品数为kx2 若记商品在一个星期的获利为f x 元 则依题意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知条件24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 题型三利润最大问题 例3 点评利润 收益 销售额 成本 在有关利润 收益 的问题中 注意应用此公式列函数式 所以每月生产200吨产品时利润达到最大 最大利润为315万元 点评关于利润最大问题 利润等于收入减去成本 而收入等于产量乘价格 由此可得出利润与产量的函数关系式 再用导数求最大利润 甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过c千米 时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度v 千米 时 的平方成正比 比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 时 的函数 并指出这个函数的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 误区警示