高中数学竞赛00试题教师版——数列

高中数学竞赛（00-06） 数列1. （ 00 全国） 给定正数p,q,a,b,c，其中 p q，若 p,a,q 是等比数列， p,b,c,q 是等差数列， 则一元二次方程bx2 2ax+c=0(a)(a) 无实根(b) 有两个相等实根(c)有两个同号相异实根(d) 有两个异号实根2. （ 03 全国） 删去正整数数列1，2， 3，中的所有完全平方数，得到一个新数列， 这个新数列的第2003 项是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（）a 2046b 2047c 2048d 2049解：注意到 452 2025，462 2116， 2026a2026 a，2115aa而 4519812115 452070且在从第1981 项到第 2070 项之间的 90 项中没有完全平方数又 1981 222003， a2003 a1981+22 2026 22 2048故选 (c) 3 （ 04 天津） 已知数列 2004 ， 2005 ， 1，2004 ，2005 ，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2004 项之和s2004 等于（ a ） 2005（ b ） 2004（c） 1（ d） 0（ d）4（ 2006 年江苏） 已知数列an的通项公式an2n24n，则an的最大项是（）5a a1b a2c a3d a45. （ 2006 吉林预赛） 对于一个有n 项的数列 p=(p 1， p2， pn )，p 的“蔡查罗和 ”定义为s1、s2、sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+pk(1 k ，n若)数列 (p1，p2，p2006)的 “蔡查罗和 ”为 2007，那么数列 (1， p1， p2， p2006)的“蔡查罗和 ”为（）a. 2007b. 2008c. 2006d. 10046. (集训试题 )已知数列 an 满足 3an+1+an=4(n 1，) 且 a1=9，其前 n 项之和为sn 。则满足不等式 |sn-n-6|1的最小整数n 是 ()a 5b 6c 7d 81257（ 2006 年浙江省预赛）设f (n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 f(123)12223214 。记f1 ( n)f (n) ， f k1 ( n)f ( f k (n) ， k1,2,3,，则 f 2006 ( 2006) ()(a) 20(b)4(c)42(d) 145.9. (2005 全国 )记集合 t 0,1,2,3,4,5,6, m a1a277 2a3a4737 4| ait, i1,2,3,4, 将 m中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005 个数是（）a556323477775562b23477771104c234777711103d23477779（ 00 全国） 等比数列a+log 23,a+log 43,a+log 83 的公比是 .310（ 04 全国） 已知数列a0 , a1 ,a2 ,., an ,.,满足关系式(3an 1)(6an )18,且a03 ，n1则i o ai的值是 。解：设 bn1 , n an0,1, 2,., 则(31bn 1)(61 )18,bn即 3bn 16bn10.1111bn 12bn, bn 12(bn)故数列bn 是公比为2 的等比数列，33330bn12n (b1 )2n (11 )12 n 1b1 (2 n 11) .n33a0333n1nn1i 112(2n 11)1n 2bi(21)(n1)2n3 。i o aii 0i 0 3321311（ 05 全国） 将关于 x 的多项式f ( x)1xx 2x3x19x20 表为关于y 的多项式g ( y)a 0a1 ya y 2a19y19a 20y 20 ,其中yx4.则a 0a1a 2025 211.6解： 由题设知，f ( x)和式中的各项构成首项为1，公比为x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：f ( x)(x) 211x 211 . 令 xy4, 得g( y)( y4)211,x1x1y5取 y1,有 a 0a1a2a20g (1)5 211.612（ 05 天津） 在数列 an 中，已知a1 2，an+an+1 1(n n+)若 sn 为数列 an 的前 n 项和，那么， s2 003 2s2 004 s2 005 的值是 解： 3 当 n 为偶数时， a1 a2 1， a3 a4 1，an 1 an1，则sn n ， s20042 1002；当 n 为奇数时， a a1，a a 1，a a 1，则 s a n1 n3 ，2345n 1nn122 s2003 1003， s2005 1004； s2 003 2s2 004s2 005313（ 2006 年江苏） 等比数列an的首项为a12020 ，公比1q设 fn表示这个2数列的前 n 项的积，则当n时， fn 有最大值14.(2005 年浙江 ) 已知数列xn ，满足 (n1) xn 1xnn, 且 x12 ， 则x2005 =。15（ 2005 四川） 设 r , s, t为整数，集合 a | a2 r2 s2 t ,0tsr 中的数由小到大组成数列 an ： 7,11,13,14,，则 a36。1116. 数列an的各项为正数 , 其前 n 项和sn 满足 sn(an2) , 则 an = an17.（ 00 全国） 设 sn=1+2+3+n,nn，求 f(n)=(nsn32)sn的最大值 .( 答案： 50)118.（ 05 全国） 数列 an满足： a01,an 17an45a 236n, nn.2证明：（ 1）对任意 n数。n , an 为正整数；(2)对任意 nn , an an 11 为完全平方证 ：（ 1 ） 由 题 设 得 a125, 且 an 2严 格 单 调 递 增 . 将 条 件 式 变 形 得22an 17an45an36, 两边平方整理得an 17 an an 1an90ann27 a1an2a90n 1 -得(an 1an 1 )( an 1an 17an )0,an 1an ,an 1an 17an0an 17 anab 1.由式及 a 01, a15 可知，对任意nn , an 为正整数 .1分0（ 2）将两边配方，得(an 1a ) 29( an an 11),an an 11( an1an ) 2 . 3n由 an 1an9an(an 1an ) ( anan 1 )mod3 aa(1)naa0（ mod3 ）an 1an 为正整数。式成立 .n 1n103an an 11 是完全平方数 .分2019.（ 06 天津） 已知数列 an 满足 a1p ， a2p1 ， an 22 an 1ann20 ，其中 p 是给定的实数，n 是正整数，试求n 的值，使得an 的值最小【 解 】 令 bnan 1an ， n1,2,。 由 题 设an 2n 12 an 1annn 120 ， 有bn 1bnn20， 且 b115分 。于 是(bi 1i 1bi )(i20) ， 即i 1bnb112(n1)2n( n1) bn(n1)( n240)1 （）10分又 a1p ， a 2p1，则 a 32 a2a1120p17a1a2 当 an 的值最小时，应有n3 ， anan1 ，且anan 1 即 bnan 1an0 ， bn 1anan 10 15 分由（）式，得(n1)(n(n2)( n40)41)2由于 n23 ，且 nn * ， 解得nn40，当 n4040时，20（.a40 的值最小20分2006 陕西赛区预赛） 已知 sin(2)3sin,设 tanx, tany ,记yf (x) 。(