2020版高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质学案（含解析）新人教A版必修3.docx

3.1.3概率的基本性质学习目标1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的关系与运算.3.会用对立事件的特征求概率知识点一事件的关系与运算1事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系AB且BAAB2.关于事件的运算定义表示法图示并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)知识点二互斥与对立互斥事件和对立事件的定义互斥事件定义若AB为不可能事件，则称事件A与事件B互斥符号AB图示注意事项例如，在掷骰子试验中，记C1出现1点，C2出现2点，则C1与C2互斥对立事件定义若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件符号AB，且AB图示注意事项A的对立事件一般记作知识点三概率的基本性质概率的几个基本性质1概率的取值范围为0,12必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)特别地，若A与B为对立事件，则P(A)1P(B)P(AB)1，P(AB)0.1若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件()2若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件()3若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.()题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中，任取一张(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由解(1)是互斥事件，不是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件(2)既是互斥事件，又是对立事件理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件反思感悟(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件(2)考虑事件的结果间是否有交事件可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析跟踪训练1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个红球(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶B只有一次中靶C两次都中靶D两次都不中靶答案(1)D(2)D解析(1)根据互斥事件与对立事件的定义判断A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件(2)A，B，C中的事件均能与事件“至少有一次中靶”同时发生，故A，B，C错误，选D.题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件例如，事件C1出现1点，事件C2出现2点，事件C3出现3点，事件C4出现4点，事件C5出现5点，事件C6出现6点，事件D1出现的点数不大于1，事件D2出现的点数大于3，事件D3出现的点数小于5，事件E出现的点数小于7，事件F出现的点数为偶数，事件G出现的点数为奇数，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1D3，C2D3，C3D3，C4D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1D1.(2)因为事件D2出现的点数大于3出现4点或出现5点或出现6点，所以D2C4C5C6(或D2C4C5C6)同理可得，D3C1C2C3C4，EC1C2C3C4C5C6，FC2C4C6，GC1C3C5.反思感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算(2)利用Venn图借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有一个红球，两个白球，事件B3个球中有两个红球，一个白球，事件C3个球中至少有一个红球，事件D3个球中既有红球又有白球则：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故CAA.题型三用互斥、对立事件求概率例3某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率解设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(AB)P(A)P(B)0.10.20.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为10.10.9.反思感悟互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率是，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率解(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输).方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)1，故甲不输的概率为.用方程的思想求概率典例袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率解(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1.联立解得P(B)，P(C)，P(D)，故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，.(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件AD，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(AD)P(A)P(D)，故得到的不是红球或绿球的概率P1P(AD)1.素养评析(1)求概率可以考虑用对立事件、互斥事件的概率加法公式求解如果有多个待求量，可以列方程组求解(2)理解运算对策，选择运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养数学运算的具体体现1从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”答案C解析A中两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.2口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.42B0.28C0.3D0.7答案C解析摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是10.420.280.3，故选C.3在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)1，知ABCD是一个必然事件，故其事件的关系如图所示由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确4中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_答案解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.5由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0.10.150.30.310.10.04则至多2个人排队的概率为_答案0.55解析P0.10.150.30.55.1互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥2互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.一、选择题1袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个白球与都是白球B至少有一个白球与至少有一个红球C恰有一个红球与一个白球一个黑球D至少有一个红球与红、黑球各一个答案C解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可2从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中错误的是()AA与C互斥BB与C互斥C任何两个都互斥D任何两个都不互斥答案D解析由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥3若A，B是互斥事件，P(A)0.2，P(AB)0.5，则P(B)等于()A0.3B0.7C0.1D1答案A解析A，B是互斥事件，P(AB)P(A)P(B)0.5，P(A)0.2，P(B)0.50.20.3.故选A.4某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有()恰有一名男生和全是男生；至少有一名男生和至少有一名女生；至少有一名男生和全是男生；至少有一名男生和全是女生ABCD答案D解析是互斥事件恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；不是互斥事件；不是互斥事件；是互斥事件至少有一名男生与全是女生不可能同时发生5某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为()A.B.C.D.答案A解析“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为.6如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么()AAB是必然事件B.是必然事件C.与一定互斥D.与不可能互斥答案B解析用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，是必然事件，故选B.7下列四个命题：对立事件一定是互斥事件；若A，B为两个事件，则P(AB)P(A)P(B)；若事件A，B，C两两互斥，则P(A)P(B)P(C)1；事件A，B满足P(A)P(B)1，则A，B是对立事件其中错误命题的个数是()A0B1C2D3答案D解析对立事件首先是互斥事件，故正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加法公式，故不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确，比如在掷骰子试验中，设事件A正面为奇数，B正面为1,2,3，则P(A)P(B)1.而A，B不互斥，故不正确84位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.答案D解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为，4位同学都选周日的概率为，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P1，故选D.9掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A(表示事件B的对立事件)发生的概率为()A.B.C.D.答案C解析由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A)P(A)P().二、填空题10袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_答案解析由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为，故所求概率P1.11某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是_答案解析设a，b分别为甲、乙摸出球的编号由题意知，摸球试验共有36种不同的结果，满足ab的基本事件共有6种所以摸出编号不同的概率P1.12在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有_人答案120解析可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1.再由题意，知nn12，解得n120.三、解答题13国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak之间彼此互斥(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)P(A9)P(