微分方程稳定性PPT课件

数学建模 微分方程专题 part1 微分方程 在研究实际问题时 我们常常不能直接得出变量之间的关系 但却能容易得出包含变量导数在内的关系式 这就是微分方程 在现实社会中 又有许多变量是离散变化的 如人口数 生产周期与商品价格等 而且离散的运算具有可操作性 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁 不管是微分方程还是差分方程模型 有时无法得到其解析解 必要时 可以利用计算机求其数值解 既使得到其解析解 尚有未知参数需要估计 这时可利用第二章参数估计方法 而在实际问题中 讨论问题的解的变化趋势很重要 因此 以下只对其平衡点的稳定性加以讨论 一维微分方程模型平衡点的稳定性 一阶微分方程模型平衡点的稳定性 易知x0也是方程 4 2 的平衡点 4 2 的通解为 关于x0是否稳定有以下结论 这个结论对于 4 1 也是成立的 一阶微分方程模型平衡点的稳定性 微分方程组的平衡点的稳定性 如果 则称平衡点P0是稳定的 微分方程组的平衡点的稳定性 下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则 设 则当p 0且q 0时 平衡点P0是稳定的 当p 0或q 0时 平衡点P0是不稳定的 微分方程组的平衡点的稳定性 稳定性模型 建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定 不求解微分方程 而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性 再生资源 渔业 林业等 与非再生资源 矿业等 再生资源应适度开发 在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益 问题及分析 在捕捞量稳定的条件下 如何控制捕捞使产量最大或效益最佳 如果使捕捞量等于自然增长量 渔场鱼量将保持不变 则捕捞量稳定 背景 实例 捕鱼业的持续收获 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 r 固有增长率 N 最大鱼量 h x Ex E 捕捞强度 x t 渔场鱼量 产量模型 稳定性判断 x0稳定 可得到稳定产量 x1稳定 渔场干枯 E 捕捞强度 r 固有增长率 产量模型 图解法 P的横坐标x0 平衡点 P的纵坐标h 产量 产量最大 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 产量模型 最大产量 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 稳定平衡点 求E使R E 最大 渔场鱼量 收入T ph x pEx 支出S cE 对于k阶差分方程 F n xn xn 1 xn k 0 4 6 若有xn x n 满足 F n x n x n 1 x n k 0 则称xn x n 是差分方程 4 6 的解 包含k个任意常数的解称为 4 6 的通解 x0 x1 xk 1为已知时称为 4 6 的初始条件 通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为 4 6 的特解 差分方程模型 若x0 x1 xk 1已知 则形如xn k g n xn xn 1 xn k 1 的差分方程的解可以在计算机上实现 若有常数a是差分方程 4 6 的解 即 F n a a a 0 则称a是差分方程 4 6 的平衡点 又对差分方程 4 6 的任意由初始条件确定的解xn x n 都有xn a n 则称这个平衡点a是稳定的 差分方程模型 一阶常系数线性差分方程xn 1 axn b 其中a b为常数 且a 1 0 的通解为xn C a n b a 1 易知b a 1 是其平衡点 由上式知 当且仅当 a 1时 b a 1 是稳定的平衡点 差分方程模型 二阶常系数线性差分方程xn 2 axn 1 bxn r 其中a b r为常数 当r 0时 它有一特解x 0 当r 0 且a b 1 0时 它有一特解x r a b 1 不管是哪种情形 x 是其平衡点 设其特征方程 2 a b 0的两个根分别为 1 2 差分方程模型 当 1 2是两个不同实根时 二阶常系数线性差分方程的通解为xn x C1 1 n C2 2 n 当 1 2 是两个相同实根时 二阶常系数线性差分方程的通解为xn x C1 C2n n 则 差分方程模型 当 1 2 cos isin 是一对共轭复根时 二阶常系数线性差分方程的通解为xn x n C1cosn C2sinn 易知 当且仅当特征方程的任一特征根 i 1时 平衡点x 是稳定的 差分方程模型 对于一阶非线性差分方程xn 1 f xn 其平衡点x 由代数方程x f x 解出 为分析平衡点x 的稳定性 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程 差分方程模型 问题 供大于求 现象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 市场经济中的蛛网模型 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 消费者的需求关系 生产者的供应关系 f与g的交点P0 x0 y0 平衡点 一旦xk x0 则yk y0 xk 1 xk 2 x0 yk 1 yk 2 y0 模型建立 设x1偏离x0 P0是稳定平衡点 P0是不稳定平衡点 蛛网模型 稳定性分析 x1 曲线斜率 稳定性分析 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方程模型 方程模型与蛛网模型的一致 稳定性分析 商品数量减少1单位 价格上涨幅度 价格上涨1单位 下时段 供应的增量 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度 小 有利于经济稳定 小 有利于经济稳定 xk 第k时段商品数量 yk 第k时段商品价格 结果解释 1 使 尽量小 如 0 以行政手段控制价格不变 2 使 尽量小 如 0 靠经济实力控制数量不变 结果解释 政府干预 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 模型的推广 方程通解 c1