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专题三:推理与证明及数学归纳法与不等式选讲例1设数列满足:(1)证明:对恒成立;(2)令,判断与的大小,并说明理由。例2在数列中,设数列,的前项和为。(1)若对任意的正整数n恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:对任意的整数,;(3)是否存在实数M,使得对任何的,恒成立,如果存在求出最小的,如果不存在请说明理由。例3已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足:,求证:;(3)求证:例4.数列an满足。(1)用数学归纳法证明:;(2)已知不等式,其中无理数e=2.71828。例5.在单调递增数列中,不等式对任意都成立。(1)求的取值范围;(2)判断数列能否为等比数列?说明理由;(3)设,求证:对任意的,。例6.已知实数 曲线与直线的交点为(异于原点).在曲线上取一点 过点作平行于轴,交直线于过点作平行于轴,交曲线于 接着过点作平行于轴,交直线于过点作平行于轴,交曲线于如此下去,可得到点 设点坐标为。(1)试用表示 并证明;(2)证明: 且;(3)当时,求证:。例7.数列(1)求证:;(2)比较的大小,并加以证明。例8已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正,且满足。(1)证明;(2)试确定一个正整数N,使得当时,对任意b0,都有。例9.已知数列中,且当时,。()求数列的通项公式;()记,对一切正整数,若不等式恒成立,求的最小值。13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29例10.把正奇数列中的数按上小下大,左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表,设是位于这个三角形数表中从上往下数第行,从左向右数第个数。(1)若,求的值;(2)已知函数的反函数为,),若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为。求数列的前项的和;令的前项之积为,求证:。例11.()已知函数,其中为有理数,且. 求的最小值;()试用()的结果证明如下命题:设,为正有理数. 若,则;()请将()中的命题推广
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