南宁市马山县2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 11 页） 2015年广西南宁市马山县高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数 z=i（ i+1）（ i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 2命题 “对任意 x R，都有 0”的否定为（ ） A对任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 3 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A若 0，则 z 是实数 B若 0，则 z 是虚数 C若 z 是虚数，则 0 D若 z 是纯虚数，则 0 5已知椭圆 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一个焦点的距离（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 6若 f（ x） = f（ x）在 x=1 处的导数为（ ） A 2x B 2 C 3 D 4 7已知双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0），则该双曲线的离心率等于（ ） A B C D 8曲线 y=2x+4 在点（ 1， 3）处的切线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 9设抛物线 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 10若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A y= 2x B C D 11已知函数 y=2x3+6x 24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， +） C（ 2， +） D（ ， 3） 第 2 页（共 11 页） 12已知 椭圆 C： 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且 ，若 面积为 9，则 b 的值为（ ） A 3 B 2 C 4 D 9 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .） 13已知复数 z=1+2i（ i 是虚数单位），则 |z|= 14曲线 y=（ 1， 1）处的切线方程是 15已知 顶点 B、 C 在椭圆 + 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 上，则 周长是 16已知椭圆 ，过左焦点 斜角为 的直线交椭圆于 A、 B 两点求弦 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17计算： （ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2； （ 2） 18设 双曲线 的两个焦点，点 P 在双曲线右支上，且满足 0，求 面积为 S 19已知直线 x+y 1=0 与椭圆 x2+相交于两个不同点，求实数 b 的取值范围 20设 x= 2 与 x=4 是函数 f（ x） =x3+两个极值点 （ 1）求常数 a、 b； （ 2）判断 x= 2， x=4 是函数 f（ x）的极大值点还是极小值点，并说明理由 21已知某厂生产 x 件产品的总成本为 f（ x） =25000+200x+ （元） （ 1）要使生产 x 件产品的平均成本最低，应生 产多少件产品？ （ 2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 22已知椭圆 +，椭圆 长轴为短轴，且与 相同的离心率 （ 1）求椭圆 方程； （ 2）设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 ， =2 ，求直线 方程 第 3 页（共 11 页） 2015年广西南宁市马山县高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1复数 z=i（ i+1）（ i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 【考点】 复数的基本概念 【分析】 由 z=i（ i+1） =i2+i= 1+i，能求出复数 z=i（ i+1）（ i 为虚数单位）的共轭复数 【解答】 解： z=i（ i+1） =i2+i= 1+i， 复数 z=i（ i+1）（ i 为虚数单位）的共轭复数是 1 i 故选 A 2命题 “对任意 x R，都有 0”的否定为（ ） A对任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 【考点】 命题的否定；全称命题 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题 “对任意 x R，都有 0”的否定为存在 R，使得 0 故选 D 3 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不 充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断 【解答】 解：若（ 2x 1） x=0 则 x=0 或 x= 即（ 2x 1） x=0 推不出 x=0 反之，若 x=0，则（ 2x 1） x=0，即 x=0 推出（ 2x 1） x=0 所以 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的 必要不充分条件 故选 B 4设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A 若 0，则 z 是实数 B若 0，则 z 是虚数 C若 z 是虚数，则 0 D若 z 是纯虚数，则 0 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 设出复数 z，求出 用 a， b 的值，判断四个选项的正误即可 【解答】 解：设 z=a+a， b R， z2= 对于 A， 0，则 b=0，所以 z 是实数，真命题； 第 4 页（共 11 页） 对于 B， 0，则 a=0，且 b 0， z 是虚数；所以 B 为真命题； 对于 C， z 是虚数，则 b 0，所以 0 是假命题 对于 D， z 是纯虚数，则 a=0， b 0，所以 0 是真命 题； 故选 C 5已知椭圆 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3，则 P 到另一个焦点的距离（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 先根据条件求出 a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离 d 的等式即可得到结论 【解答】 解：设所求距离为 d，由题得： a=5 根据椭圆的定义得： 2a=3+dd=2a 3=7 故选 D 6若 f（ x） = f（ x）在 x=1 处的导数为（ ） A 2x B 2 C 3 D 4 【考点】 导数的运算 【分析】 求函数的导数，令 x=1 即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） =2x， 则 f（ 1） =2， 故选： B 7已知双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0），则该双曲线的离心率等于（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0），可得 a=2，进而可求双曲线的离心率 【解答】 解： 双曲线 =1 的右焦点为（ 3， 0）， =9 a=2 c=3 故选 C 第 5 页（共 11 页） 8曲线 y=2x+4 在点（ 1， 3）处的切线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 【考点】 导数的几何意义 【分析】 欲求在点（ 1， 3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知 k=y|x=1，再结合正切函数的值求出角 的值即可 【解答】 解： y/=32，切线的斜率 k=3 12 2=1故倾斜角为 45 故选 B 9设抛物线 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 【考点】 抛物线的定义 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点 P 到 y 轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案 【解答】 解：抛物线 x 的准线为 x= 2， 点 P 到 y 轴的距离是 4， 到准线的距离是 4+2=6， 根据抛物线的定义可知点 P 到该抛物线焦点的距离是 6 故选 B 10若双曲线 的离心率为 ，则其渐 近线方程为（ ） A y= 2x B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 通过双曲线的离心率，推出 a、 b 关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程 【解答】 解：由双曲线的离心率 ，可知 c= a， 又 a2+b2=以 b= a， 所以双曲线的渐近线方程为： y= = x 故选 B 11已知函数 y=2x3+6x 24 在 x=2 处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， +） C（ 2， +） D（ ， 3） 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 先求出函数的导数，再根据极值求出参数 a 的值，然后 在函数的定义域内解不等式x） 0 的区间即可 【解答】 解： y=f（ x） =66 在 x=2 处有极值 f（ 2） =60+4a=0，解得 a= 15 令 f（ x） =630x+36 0 解得 x 2 或 x 3 故选 B 第 6 页（共 11 页） 12已知 椭圆 C： 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点，且 ，若 面积为 9，则 b 的值 为（ ） A 3 B 2 C 4 D 9 【考点】 椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 由椭圆的定义知 + =2a，依题意， + =4对 式两端平方后与 联立可得 ，再由 面积为 9，即可求得 【解答】 解： + =2a， + +2 =4 又 ， + = =4 得： 2 =4（ =4 = 面积为 9， = =， b 0， b=3 故选 A 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .） 13已知复数 z=1+2i（ i 是虚数单位），则 |z|= 【考点】 复数求模 【分析】 直接利用复数的模的求法公式，求解即可 【解答】 解：复数 z=1+2i（ i 是虚数单位），则 |z|= = 故答案为： 14曲线 y=（ 1， 1）处的切线方程是 2x y 1=0 【考点】 利用导数研究曲线上某 点切线方程 【分析】 求出导函数，令 x=1 求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程 【解答】 解： y=2x 当 x=1 得 f（ 1） =2 第 7 页（共 11 页） 所以切线方程为 y 1=2（ x 1） 即 2x y 1=0 故答案为 2x y 1=0 15已知 顶点 B、 C 在椭圆 + 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 上，则 周长是 8 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设另一个焦点为 F，根据椭圆的定义可知 |2a， |2a 最后把这四段线段相加求得 周长 【解答】 解：椭圆 + 中 a=2 设另一个焦点为 F，则根据椭圆的定义可知： |2a=4， |2a=4 三角形的周长为： |8 故答案为： 8 16已知椭圆 ，过左焦点 斜角为 的直线交椭圆于 A、 B 两点求弦 2 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 求出椭圆的左焦点 2 ， 0），根据点斜率式方程设 y= （ x+2 ），与椭圆方程消去 y 得 42 +15=0，利用根与系数的关系算出 A、 B 的横坐标满足 | ，最后根据弦长公式即可算出弦 长 【解答】 解： 椭圆方程为 ， 焦点分别为 2 ， 0）， 2 ， 0）， 直线 左焦点 斜角为 直线 方程为 y= （ x+2 ）， 将 程与椭圆方程消去 y，得 42 +15=0 设 A（ B（ 可得 x1+ 3 ， | = 因此， | | =2 故答案为： 2 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17计算： 第 8 页（共 11 页） （ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2； （ 2） 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算法则计算即可 【解答】 解：（ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2 =1 +4i+41（ 1） +1+4i+（ 4） = 1+4i （ 2） = = = = = = = 1 4i 18设 双曲线 的两个焦点，点 P 在双曲线右支上，且满足 0，求 面积为 S 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理以及三角形的面积公式进行求解即可 【解答】 解： 点 P 在双曲线右支上，且满足 0， 2 得 |2 面积 S= |1 19已知直线 x+y 1=0 与椭圆 x2+相交于两个不同点，求实数 b 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 直线 x+y 1=0 与椭圆 x2+，联立，利用直线与椭圆相交于不同的两点，可得 ，又方程 x2+表示椭圆，即可 求实数 b 的取值范围 【解答】 解：由直线 x+y 1=0 与椭圆 x2+，联立得（ 4b+4） 8y+1=0 因为直线与椭圆相交于不同的两点， 第 9 页（共 11 页） 所以 ，解得 b 3，且 b 1 又方程 x2+表示椭圆，所以 b 0，且 b 1 综上，实数 b 的取值范围是 b|0 b 3 且 b 1 20设 x= 2 与 x=4 是函数 f（ x） =x3+两个极值点 （ 1）求常数 a、 b； （ 2）判断 x= 2， x=4 是函数 f（ x）的极大值点还是极小值点，并说明理由 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）先对函数 f（ x）进行求导，根据 f（ 2） =0， f（ 4） =0 可求出 a， b 的值 （ 2）将 a， b 的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数的政府之间的关系可判断函数的单调性，进而确定是极大值还是极小值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =3ax+b 由极值点的必要条件可知 x= 2 和 x=4 是方程 f（ x） =0 的两根，则 a= 3， b= 24 （ 2） f（ x） =3（ x+2）（ x 4），得 当 x 2 时， f（ x） 0； 当 2 x 4 时， f（ x） 0 x= 2 是 f（ x）的极大值点 当 x 4 时， f（ x） 0，则 x=4 是 f（ x）的极小值点 21已知某厂生产 x 件产品的总成本为 f（ x） =25000+200x+ （元） （ 1）要使生产 x 件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？ （ 2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）先根据题意设生产 x 件产品的平均成本为 y 元，再结合平均成本的含义得出函数 y 的表达式，最后利用导数求出此函数的最小值即可； （ 2）先写出利润函数的解析式，再利用导数求出此函数的极值，从而得出函数的最大值，即可解决问题：要使利润最大，应生产多少件产品 【解答】 解：（ 1）设生产 x 件产品的平均成本为 y 元，则令 y=0，得