东南大学误差处理与数据处理复习课..ppt

1 73 TheoryofError DataProcessing误差理论与数据处理 ReviewLesson 复习课 2 73 期末考试时间 2015年1月6日周三14 00 15 40 100分钟 地点 闭卷 请携带计算器 3 73 Thepurposesoferrorstudying研究误差的意义 Understandthepropertiesoferrorsandinvestigatethesourcesoferrors soastoreduceorremovethem 认识误差的性质 研究误差的来源 以减小和消除误差 Properlyhandlemeasuringanddataprocessing andcorrectlyanalyzetheresultsofmeasurement inordertoobtainoutcomesasclosetotruevaluesaspossible 正确处理测量和实验数据 合理分析所得结果 以便得到更接近于真值的数据 Correctlyarrangetheexperiments designorselectinstrumentsandapplymeasuringmethods thusconstructtheoptimalsystemtoobtainthebestresult 正确组织实验 合理设计或选择仪器和测量方法 以便在合理优化的系统下得到理想结果 4 73 Definitions AbsoluteError绝对误差 L L L0 C L L0 L RelativeError相对误差 FiducialError仪器引用误差 Correction修正值 修正值 真值 测得值 绝对误差 测得值 真值 5 73 Thesourcesoferror 误差来源 Thesourcesoferrorareeverywhere andalmosteverystepofthemeasuringprocedurebringsinerror 误差无处不在 几乎测量的每一个步骤都会导入误差 Majorsourcesoferror误差的主要来源 Device 设备 Environ ment 环境 Method 方法 People 人员 6 73 Classifications Classificationsoferrors误差分类 Error AbsoluteError RelativeError AbnormalError SystemError RandomError Intermsofexpression按表示方式分类 Intermsofproperty按性质分类 绝对误差 相对误差 系统误差 随机误差 粗大误差 7 73 Correctness Precision Accuracy Highcorrectness高准确度Lowprecision低精密度 Lowcorrectness低准确度Highprecision高精密度 Lowcorrectness低准确度Lowprecision低精密度 Highcorrectness高准确度Highprecision高精密度 Correctness SystemError Precision RandomError Accuracy System RamdomError 8 73 SignificantDigit Foranyapproximatenumber theleftmostnon zerodigitiscalledthefirstsignificantdigit Fromthefirstsignificantdigittothelastdigit alldigits zeroornon zero arecalledsignificantdigits 对于任何近似数 从左边起的第一个非零的数字称为第一位有效数字 从第一位有效数字起到最末一位数字为止的所有数字 不论零或者非零 都是有效数字 SignificantDigit有效数字 9 73 SignificantDigit 35 6Vs0 0356 0 0027 0 00270 2400 2 4x103or2 40 x103or2 400 x103 Standardexpression ax10n 1 a 10 L 20 53 0 01 2 053 0 001 x101 L 20 531 0 01 Forimportantmeasurements L 15 214 0 042 10 73 Examplesofrounding offoperation数字舍入运算示例 Originaldata 3 141592 717294 510503 215506 3785017 6914995 43460 Roundedoffdata 3 1422 7174 5103 2166 3797 6915 435 11 73 Rulesofdatacomputation数据运算规则 Forsummationandsubtraction thecomputingdatawiththefewestnumberofdecimaldigitsshouldbethereference andotherdatamaykeepanextradecimaldigit butthefinalresultshouldhavethefewestnumberofdecimaldigitsasthereference 在加减运算时 各运算数据以小数位数最少的数据位数为准 其余各数据可多保留一位小数 但最后结果应保留最少的小数位数 Formultiplicationanddivision thecomputingdatawiththefewestnumberofsignificantdigitsshouldbethereference andotherdatamaykeepanextrasignificantdigit butthefinalresultshouldhavethefewestnumberofsignificantdigitsasthereference 在乘除运算时 各运算数据以有效位数最少的数据为准 其余各数据可以多保留一位有效位数 但最后的结果应象参考数据一样保留最少的有效位数 Forcomputationofsquareandsquareroot thecomputingnumbersaretreatedthesamewayasinmultiplicationanddivision 在平方和开方运算时 按照乘除运算处理 12 73 NormalDistribution正态分布 Expectation期望值 Variance方差 Averageerror平均误差 Probableerror或然误差 13 73 Thefigureshowsnormaldistributioncurveandrelatedparameters 正态分布密度曲线和相应的各种参数如图所示 istheXvalueofinflexionpointA istheXvalueofpointB thegravitycenteroftherighthalfofthecurve lineparalleltoY axisatx evenlysplitstheareaoftherighthalfofthecurve 是曲线拐点A的横坐标 是B点的横坐标 也就是右半部曲线下方面积的重心 在x 处与Y轴平行的直线等分曲线右半部分下方面积 NormalDistribution正态分布 14 73 PropertiesofNormalDistribution正态分布的特性 ThedistributionissymmetrictoY axis i e forerrorw thesameabsolutevalue positiveerrorandnegativeerrorappearw sameprobability分布曲线关于Y 轴对称 就是说 绝对值相等的正负误差出现的概率相同 对称性 Errorw smallerabsolutevalueappearsw higherprobability绝对值小的误差出现的概率大 单峰性 Undercertaincondition theabsolutevalueofrandomerrorsareboundedwithinacertainrange在一定的条件下 随机误差的绝对值不会查过一定界限 有界性 Theaverageofrandomerrorsgoesto0asthenumberofmeasurementincreases随着测量次数增加 随机误差的平均值趋于0 抵偿性 15 73 letbetheresultsofnmeasurements thenthearithmeticmeanisgivenasfollows 设为n次测量所得的值 则算术平均值按如下计算 ArithmeticMean算数平均值 Whenmeasuringthesameobjectwithequalprecision theresultsaredifferentduetorandomerrors andthearithmeticmeanshouldbeusedasthefinalmeasurementresult 对某一量进行多次等精度测量 由于随机误差的存在 测量结果各不相同 应以全部测量值的算术平均值作为最后测量结果 thesignificanceofarithmeticmean算术平均值的意义 16 73 ResidualError残余误差 17 73 单次测量的标准差 Standarddeviationofasinglemeasurement单次测量的标准差 Bessel sformula 贝塞尔公式 Peter sformula 别捷尔斯公式 18 73 StandardDeviationofArithmeticMean算数平均值的标准差 Foraseriesofmultipleindependentmeasurements arithmeticmeanisusedastheresultofthemeasurement 对于一系列重复的独立测量 我们把算数平均值作为测量结果 19 73 Normaldistribution 20 73 Extremeerrors Theerrorofarithmeticmean Whenthenumberofmeasurementsislarge thearithmeticmeanisalsonormallydistributed sosimilarlywehave Ifthenumberofmeasurementsnissmall weneedtouse StudentDistribution alsocalledtdistribution tocalculatetheextremeerrorofarithmeticmean istheconfidencecoefficientofStudentDistribution anditisdecidedbytheconfidenceprobabilityandfreedom Theextremeerrorsofarithmeticmean算术平均值的极限误差 21 73 Measurementswithunequalprecision不等精度测量 Weightedaverageiscalculatedasfollows 加权平均值由下式计算 Theweightforeachresultcanbegivenasfollows 各结果的权重可由下式给出 22 73 Measurementswithunequalprecision不等精度测量 23 73 Thereforecanbetreatedastheresidualerrorsofequalprecisionmeasurementsthatallhavethesamestandarddeviationof Measurementswithunequalprecision不等精度测量 24 73 DetectionofSystemErrors系统误差的发现 Residualerrortestmethod forlinearsystemerror 残余误差校核法 发现线性系统误差 K n 2ifniseven K n 1 2ifnisodd Differentformulamethod不同公式比较法 If wesuspectthereissystemerror 25 73 1 3 method Detectionofabnormalerrors粗大误差的判别 2 tmethod remove 26 73 SystemErroroffunction函数的系统误差 Mathematicmodelofindirectmeasurement Thetotaldifferentialequationoffunctionyisgivenasfollows Forlinearfunction 27 73 RandomErroroffunction函数的随机误差 If let then Correlationcoefficient 28 73 Synthesisofsystemandrandomerrors 系统误差与随机误差的合成 ai biandciaretheerrortransfercoefficientsforknownsystemerrors unknownsystemerrorsandrandomerrorsrespectively andRisthesumofcovarianceofallerrors 29 73 Reviewoflastlesson前课复习 1 Synthesisintermsofextremeerror通过极限误差合成 nisthenumberofrepeatedmeasurements IfNormalandindependent Ifknownsystemerroriscorrected 30 73 2 Synthesisintermsofstandarddeviation通过标准差合成 Ifmeasurementisrepeatedntimes wehave 31 73 Section5Assignmentoferrors误差的分配 Giventheallowableoverallerror sometimeweneedtoreasonablyassigneachindividualerror Becausefixederrorcanberemovedbycorrection onlyrandomerrorsandunknownsystemerrorsareconsidered Whenassigningerrors theunknownsystemerrorsaretreatedjustlikerandomerrors Assumeallerrorsarerandomerrorsandindependenttoeachother thenwehave arecalledpartialerrorsofthefunction orlocalerrors 局部误差 Nowthequestionbecomes given howtoassignorcorrespondingsatisfying 32 73 Assignmentoferrors误差分配 Whenassigningerrors wehavethefollowingsteps Assignerrorsaccordingtoequalcontributionrule 按等作用原则分配误差Wemakeeachpartialerrorcontributeequallytotheoverallerror i e Intermsofextremeerror wehave 33 73 Minorerrors微小误差 Accordingtotherulesofcomputationofsignificantdigits formeasurementofnormalprecision theerrorhas1significantdigit Inthiscircumstance ifthefollowingconditionissatisfiedafterapartialerrorisremoved Thenweconsiderithasnoeffectonthecomputationofthefinalerror Solvetheinequalitywehave Formeasurementwithhigherprecision 2significantdigitsareusedfortheerror andasaresultwehave 34 73 Rulestoacceptorignoreminorerrors Conclusion Forrandomerrorandunknownsystemerror thecriteriaforignoringminorerroristhatthestandarddeviationoftheignorederrorshouldbelessorequalto1 3 1 10oftheoverallstandarddeviationofthefinalresult 对于随机误差和未定系统误差 微小误差舍去准则是被舍去的误差必须必须小于或等于测量结果总标准差的1 3至1 10 Rulesofminorerrorareimportantforcomputingoverallerrorandchoosinginstrumentwithhigherprecision Whencomputingorassigningerrors identifiedminorerrorscanbeignoredforsimplicity Whenchoosinghigherprecisionstandardinstrument itserrorshouldbebetween1 10and3 10oftheerrorofthelowerprecisioninstrumentwhichistobeexamined 微小误差取舍准则在总误差计算和选择高一级仪器上都有重要意义 计算或分配误差时 若发现微小误差可予以忽略 选择高一级精度的仪器时 其误差应为被检器具允许总误差的1 10 3 10 35 73 Uncertaintyofmeasurement测量不确定度 Becauseoftheexistenceoferror thetruevalueofsubjectisalmostimpossibletoobtain由于误差的存在 被测量的真值几乎不可能确定 Theuncertaintyofmeasurementdescribestheunsurenessoftheresult itistheestimateofthetruevaluewithincertainrange anditisaparameteroftheresultshowinghowdispersedisthevalueofthemeasurement测量的不确定度描述结果的不肯定性 是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计 是测量结果的一个参数 用以表示被测量值的分散性 Acompletemeasurementresultincludestheestimateofthemeasurementandparameterofdispersity一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分 Measurementresult Measurementestimate Uncertainty 36 73 Section1 PrincipleofLeastSquareMethod第一节 最小二乘法原理 Quantitiestobemeasured 待测量 Unabletobemeasureddirectly 无法直接测量 问题 如何根据和测量方程解得待测量的估计值 Quantitiesthatcanbemeasureddirectly 可直接测量的量 Question Howtosolvetheestimatevaluesofaccordingtothemeasurementequationsand 37 73 测量值已经出现 有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大 要使P最大 应有 最小 由于结果只是接近真值的估计值 因此上述条件应表示为 最小 PrincipleofLeastSquareMethod 38 73 LeastSquarePrincipleofequalprecisionmeasurement等精度测量的最小二乘原理 最小 最小 最小二乘原理 其他分布也适用 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和 或加权残余误差平方和 最小 PrincipleofLeastSquareMethod LeastSquarePrincipleofunequalprecisionmeasurement不等精度测量的最小二乘原理 39 73 令 则残差方程的矩阵 Matrix 表达式为 等精度测量最小二乘原理的矩阵形式 PrincipleofLeastSquareMethod 不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式 40 73 NormalEquations SystemofAlgebraicEquationswithsuresolutions whicharetransformedfromtheerrorequationsaccordingtotheLeastSquarePrinciple 正规方程 误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组 一 等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程 Section2 NormalEquations正规方程 展开矩阵方程组得到 41 73 Section2 NormalEquations正规方程 即 展开第一个偏微分方程得到 同理 展开第r个偏微分方程得到 即 偏导数为零 即 42 73 Section2 NormalEquations正规方程 这样把所有t个方程全部展开得到正规方程组 写成矩阵形式即为 正规方程的矩阵形式 继续推导 正规方程的另一个矩阵形式 43 73 从正规方程的矩阵形式 等精度情况下待测量 的无偏估计 NormalEquations正规方程 44 73 不等精度的正规方程 NormalEquations正规方程 将代入上式 得 不等精度情况下待测量 的无偏估计 45 73 最小二乘原理与算术平均值原理的关系 为确定一个被测量X的估计值x 对它进行n次直接测量 得n个数据相应的权分别为 则测量的误差方程为 NormalEquations正规方程 按照最小二乘原理可求得 结论 最小二乘原理与算术平均值原理是一致的 算术平均值原理是最小二乘原理的特例 46 73 目的 给出估计量的精度 一 测量数据精度估计 A 等精度测量数据的精度估计 第三节精度估计PrecisionEstimation 测量数据的标准差的估计量为 47 73 B 不等精度测量数据的精度估计 精度估计PrecisionEstimation 48 73 二 最小二乘估计量的精度估计 A 等精度测量最小二乘估计量的精度估计 精度估计PrecisionEstimation 设 则相应的最小二乘估计值的标准差为 49 73 B 不等精度测量最小二乘估计量的精度估计 同理经推导可得 其中各不定乘数由求得 精度估计PrecisionEstimation 50 73 一 函数与相关 Function Correlation 函数关系 可以用明确的函数关系式精确地表示出来 函数关系是特殊的相关关系 相关关系 这些变量之间既存在着密切的关系 又不能由一个 或几个 自变量的数值精确地求出另一个因变量的数值 而是要通过试验和调查研究 才能确定它们之间的关系 Section1 BasicConceptofRegressionAnalysis第一节 回归分析的基本概念 51 73 二 回归分析的主要内容 1 由数据确定变量之间的数学表达式 回归方程 RegressionEquation 或经验公式 EmpiricalFormula 2 对回归方程的可信度 Reliability 进行统计检验 StatisticalTest 3 因素分析 FactorAnalysis 从对共同影响一个变量的许多变量 因素 中 找出哪些是重要因素 哪些是次要因素 Basicconceptofregressionanalysis 52 73 一元线性回归 确定两个变量之间的线性关系 即直线拟合 FittingStraightLine 问题 一 回归方程的确定 例 确定某段导线的电阻与温度之间的关系 Section2 UnitaryLinearRegression ULR 53 73 设得到的回归方程 残差方程为 对照第五章最小二乘法的矩阵形式 令 UnitaryLinearRegression 根据最小二乘原理可求得回归系数和 54 73 则误差方程的矩阵形式为 对照 设测得值的精度相等 则有 将测得值分别代入上式 可计算得 UnitaryLinearRegression 参考 参考 55 73 其中 UnitaryLinearRegression 56 73 UnitaryLinearRegression 二 回归方程的稳定性 stability 回归方程的稳定性是指回归值的波动大小 波动愈小 回归方程的稳定愈好 的波动大小用来表示 6 21 由 6 21 式可见 回归值的波动大小与四个因素有关 不仅与残余标准差有关 而且还取决于回归分析中试验次数N和试验点的分离程度 以及自变量的取值位置 越小 N越大 试验点的分离度越大 以及的取值越接近中心点 回归值的精度越高 反之则回归值精度越低 57 73 问题 这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律回归直线的预报精度如何 方差分析法 分解N个观测值与其算术平均值之差的平方和 从量值上区别多个影响因素 用F检验法对所求回归方程进行显著性检验 解决办法 UnitaryLinearRegression 二 回归方程的方差分析 VarianceAnalysis 及显著性检验 SignificanceLevelTest 58 73 一 回归方程的方差分析 1 引起变差的原因 A 自变量 independentvariable x取值的不同 B 其它因素 包括试验误差 的影响 2 方差分析 总的离差平方和 SumofDeviationSquares 即N个观测值之间的变差 可以证明 UnitaryLinearRegression 59 73 S U Q 其中 U 回归平方和 regressionsumofsquares 反映总变差中由于x和y的线性关系而引起y变化的部分 Q 残余平方和 residualsumofsquares 反映所有观测点到回归直线的残余误差 即其它因素对y变差的影响 UnitaryLinearRegression 60 73 二 回归方程显著性检验 F检验法 基本思路 方程是否显著取决于U和Q的大小 U越大Q越小说明y与x的线性关系愈密切 计算统计量F 对一元线性回归 应为 查F分布表 根据已知的自由度1和N 2找到确定对应的显著性水平 UnitaryLinearRegression 61 73 三 残余方差与残余标准差 残余方差 排除了x对y的线性影响后 衡量y随机波动的特征量 残余标准差 含义 越小 回归直线的精度越高 UnitaryLinearRegression 62 73 三 重复试验情况