高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版

第一章 1 3导数在研究函数中的应用 1 3 1函数的单调性与导数 1 理解导数与函数的单调性的关系 2 掌握利用导数判断函数单调性的方法 3 能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 问题导学 题型探究 达标检测 学习目标 知识点一函数的单调性与导函数正负的关系 问题导学新知探究点点落实 答案 思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10的图象及h t 9 8t 6 5的图象 思考运动员从起跳到最高点 从最高点到入水的运动状态有什么区别 答从起跳到最高点 h随t的增加而增加 h t 是增函数 h t 0 从最高点到入水 h t 是减函数 h t 0 答案 思考2观察图中函数f x 填写下表 0 0 锐 钝 上升 下降 递增 递减 一般地 设函数y f x 在区间 a b 上 1 如果f x 0 则f x 在该区间上 2 如果f x 0 则f x 在该区间上 单调递增 单调递减 知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 答案 思考观察右图 填写下表 注 表的最右一列填 平缓 或 陡峭 函数值变化一栏中填快或慢 慢 快 快 慢 平缓 陡峭 陡峭 小 大 大 小 答案 返回 一般地 设函数y f x 在区间 a b 上 陡峭 平缓 快 慢 类型一导数与单调性的关系 解析答案 题型探究重点难点个个击破 例1已知函数y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的图象可能是图中的 反思与感悟 解析由函数y f x 的图象的增减变化趋势判断函数y f x 的正 负情况如下表 由表可知函数y f x 的图象 当x 1 b 时 在x轴下方 当x b a 时 在x轴上方 当x a 1 时 在x轴下方 故选C 答案C 反思与感悟 1 利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多 只需判断导数在该区间内的正负即可 2 通过图象研究函数的单调性的方法 1 观察原函数的图象重在找出 上升 下降 产生变化的点 分析函数值的变化趋势 2 观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点 分析导数的正负 反思与感悟 跟踪训练1已知y f x 的图象如图所示 则y f x 的图象最有可能是如图所示的 解析答案 解析本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势 由f x 0 f x 0 的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势 由已知可得x的范围和f x 的正 负 f x 的增减变化情况如下表所示 由表可知f x 在 0 内递增 在 0 2 内递减 在 2 内递增 故满足条件的只有C 故选C 答案C 类型二利用导数研究函数的单调性 解析答案 例2讨论函数f x ax2 x a 1 lnx a 0 的单调性 反思与感悟 解函数f x 的定义域为 0 由f x 0 得x 1 由f x 0得0 x 1 f x 在点 0 1 内为减函数 在 1 内为增函数 反思与感悟 解析答案 由f x 0 得x 1 由f x 0 得0 x 1 f x 在 0 1 内为减函数 在 1 内为增函数 综上所述 a 0时 f x 在 0 1 内为减函数 在 1 内为增函数 反思与感悟 1 本题易忽略a 0的情况而致错 同时 求函数的单调性一定要注意函数的定义域 2 利用导数研究函数单调性的方法 第一步 求定义域 对函数求导 第二步 解导数等于0时的方程 第三步 导数大于0的区间与定义域求交集为增区间 小于0的区间与定义域求交集为减区间 即 正增负减 反思与感悟 跟踪训练2设函数f x ex ax 2 求f x 的单调区间 解析答案 解f x 的定义域为 f x ex a 若a 0 则f x 0 所以f x 在 上单调递增 若a 0 则当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 例3 1 若函数f x kx lnx在区间 1 单调递增 则k的取值范围是 类型三已知函数的单调性求参数的范围 解析答案 1 解析答案 解函数求导得f x x2 ax a 1 x 1 x a 1 令f x 0得x 1或x a 1 因为函数在区间 1 4 内为减函数 所以当x 1 4 时 f x 0 又因为函数在区间 6 上为增函数 所以当x 6 时 f x 0 所以4 a 1 6 所以5 a 7 即实数a的取值范围为 5 7 反思与感悟 1 利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 1 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题 即f x 0 或f x 0 恒成立 利用分离参数或函数性质求解参数范围 然后检验参数取 时是否满足题意 2 先令f x 0 或f x 0 求出参数的取值范围后 再验证参数取 时f x 是否满足题意 2 恒成立问题的重要思路 1 m f x 恒成立 m f x max 2 m f x 恒成立 m f x min 反思与感悟 跟踪训练3 1 若函数f x kx lnx在区间 1 上不单调 则k的取值范围是 当k 0时 f x 0 f x 在 0 上单调递减 故不合题意 k的取值范围是 0 1 0 1 解析答案 解析答案 返回 返回 由函数f x 在 2 内单调递减知f x 0在 2 内恒成立 1 设函数f x 的图象如图所示 则导函数f x 的图象可能为 解析答案 1 2 3 4 达标检测 1 2 3 4 答案C 解析由f x 的图象可知 函数f x 的单调递增区间为 1 4 单调递减区间为 1 和 4 因此 x 1 4 时 f x 0 x 1 或x 4 时 f x 0 结合选项知选C 解析答案 1 2 3 4 2 已知f x 是f x 的导函数 f x 的图象如图所示 则f x 的图象只可能是 1 2 3 4 答案D 3 函数f x 3 x lnx的单调递增区间是 C 1 2 3 4 解析答案 解析f x lnx 1 令f x 0 4 已知f x x3 ax2 x 1在R上是单调函数 则实数a的取值范围是 1 2 3 4 解析答案 解析f x 3x2 2ax 1 由题意知在R上f x 0恒成立 则 2a 2 4 3 1 0 1 求函数f x 的单