【文档】《一元二次方程的根与系数的关系》备课素材（数学人教九上）.DOC

第二十一章 一元二次方程212解一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入“十一黄金周”刚刚过去，相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点，下面，老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德克莱德曼的致爱丽丝中欣赏：法国文化埃菲尔铁塔，时装秀，红酒文化，巴黎圣母院文化是相通的，科学更是这样在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家，让我们一起走进历史，了解伟人代数学之父韦达说明与建议 说明：教师借助刚刚过去的“十一黄金周”为话题，让学生一边聆听理查德克莱德曼的钢琴曲，一边欣赏法国文化图文，阅读了解历史中的代数学之父韦达建议：文化与科学密不可分，通过学生欣赏图片，聆听钢琴曲，让同学们融入轻松、愉快、高雅的氛围之中，笔锋一转，带领学生了解法国16世纪的伟大数学家韦达，从而导入新课，自然过渡归纳导入解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？(1)2x25x120；(2)x22x10；(3)x22x10.方程x1x2x1x2x1x22x25x120_4_6_x22x10_1_1_2_1_x22x10_1_1_2_1_说明与建议 说明：复习巩固利用公式法求一元二次方程的根，为进一步明确一元二次方程根与系数之间的联系埋下伏笔建议：因为利用公式法解一元二次方程学生已经掌握，可以将本班学生分三个小组进行计算，从而节约时间素材二教材母题挖掘教材母题第16页例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x26x150；(2)3x27x90；(3)5x14x2.【模型建立】对于一个一元二次方程ax2bxc0(a0)，若b24ac0，则x1x2，x1x2，一元二次方程“根与系数的关系”应用非常广泛，常结合完全平方公式进行变形应用，灵活运用一元二次方程“根与系数的关系”往往给解题带来方便【变式变形】1昆明中考 已知x1，x2是一元二次方程x24x10的两个实数根，则x1x2等于(C)A4B1C1D42若4x2kx60的一根为3，则另一根为_3若x1，x2为方程x22x10的两根，则x1x2x1x2_3_4德州中考 方程x22kxk22k10的两个实数根x1，x2满足xx4，则k的值为_1_5已知关于x的方程x2kxk2n0有两个不相等的实数根x1，x2，且(2x1x2)28(2x1x2)150.(1)求证：n0；当k2=-1时，b2-4ac=-15（-1）2+120时，一元二次方程有两个不相等的实数解；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数解；当0时，a（x+h）2+kk；当a0时，a（x+h）2+kk.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程降次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.参考答案1.A 【解析】根据题意知，-（k-1）=251，k-1=10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9 2. 3 【解析】据题意得，m2=9，m=33.【证明】2x2+4x5=2（x22x）5=2（x22x+1）5+2=2（x1）23.（x1）20，2（x1）20，2（x1）230.无论x为何实数，代数式2x2+4x-5的值恒小于零4.A 【解析】=（2c）24（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（cab）.根据三角形三边关系，得cab0，a+b+c00该方程没有实数根5.A 【解析】当kx2+3x+2=0为一元一次方程时，必有实数根，此时k=0；当kx2+3x+2=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则.解得且k0.综上所述.6.A 【解析】一元二次方程ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根，b24ac0，又abc0，即bac，代入b24ac0得（ac）24ac0，化简得（ac）20，所以ac7.13【解析】由题意得x2+y2-5=8.解得x2+y2=13或者x2+y2=3（舍去）.8.【解】当x+20，即x2时，x2+2（x+2）4=0，x2+2x=0.解得x1=0，x2=2；当x+20，即x-2时，x22（x+2）4=0，x22x8=0.解得x1=4（不合题设，舍去），x2=2（不合题设，舍去）综上所述，原方程的解是x=0或x=29. 3 3发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）11.8【解析】x1x23，x22+4x23=0，2x1(x22+5x23)+a =2转化为2x1(x22+4x23+ x2)+a =2.2x1x2+a =2.2(3)+a2.解得a8.12.【解】（1）根据题意，得=（2a）24a（a6）=24a0a0又a60，a6由根与系数关系得：x1x2=，x1x2=.由x1x1x2=4x2 得x1x2 4=x1x2.4 =，解得a=24经检验a=24是方程4 =的解（2）原式=x1x2 x1x2 1=1=为负整数，6a为1或2，3，6.解得a=7或8，9，1213.【解】（1）2 1 6（3）由n2+3n-2=0可知n0,1+=0. 1=0.又2m2-3m-1=0,且mn1，即mm、是方程2x2-3x-1=0的两根m+= ,m=,m2+ =(m+ )2-2m=( )2-2()= . 素材六数学素养提升韦达定理韦达定理是指一元n次方程中根和系数之间的关系，中学课本里一般特指一元二次方程的根与系数的关系。法国数学家韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的这种关系，因此人们把这个关系称为韦达定理。早在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及。公元前480年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法，可惜的是，并没有提出通用的求解方法。公元628年，印度数学家婆罗摩笈多出版了婆罗摩修正体系，给出了一元二次方程 x2+px+q=0的一个求根公式。公元820年，阿拉伯数学家花拉子米出版了代数学。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法。他把方程的未知数叫做“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在。同样可惜，他未认识到虚根这个概念。16世纪，意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。与此同时，法国数学家韦达在研究二次方程时注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。虽然，由于时代的局限性，韦达当时没能从理论上证明，但他的数学思想和数学著作都大大充实了数学宝库。历史是有趣的，虽然韦达在16世纪就得出了这个定理，但是要证明这个定理却需要依靠代数基本定理，而代数基本定理却在1799年才被高斯第一次实质性地论证。1615年，韦达发表了关于方程论的著作论方程的整数与修正。书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。韦达，1540年生于法国普瓦图，在欧洲被尊称为“现代数学之父”。他致力于数学研究，第一次有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂。除推出一元方程在复数范围内恒有解外，他还给出了根与系数的关系。他最早系统地引入了代数符号，推