2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 7 立体几何 立体几何 一 选择题 1 2013 年高考新课标 1 理 如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器高 8cm 将一个球放在容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm 如 果不计容器的厚度 则球的体积为 A B C D 3 500 3 cm 3 866 3 cm 3 1372 3 cm 3 2048 3 cm 答案 A 2 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 设是两条 m n 不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 则B 若 则 m n mn m n mn C 若 则D 若 则 mn m n m mn n 答案 D 3 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 若两个球的表面积之比为 则这两个1 4 球的体积之比为 A B C D 1 21 41 81 16 答案 C 4 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 已知正 四棱柱中 则与平面所成角的正弦值等于 1111 ABCDABC D 1 2AAAB CD 1 BDC A B C D 2 3 3 3 2 3 1 3 答案 A 5 2013 年高考新课标 1 理 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 168 88 16 16 8 16 答案 A 6 2013 年高考湖北卷 理 一个几何体的三视图如图所示 该几何体从上到下由四个简 单几何体组成 其体积分别记为 上面两个简单几何体均为旋转体 下面 1 V 2 V 3 V 4 V 两个简单几何体均为多面体 则有 A B C D 1243 VVVV 1324 VVVV 2134 VVVV 2314 VVVV 答案 C 7 2013 年高考湖南卷 理 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形 则该正方体的正视图的面积不可能等于 A B C D 12 2 1 2 2 1 2 答案 C 8 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 某四棱台的三 视图如图所示 则该四棱台的体积是 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5 5 题图题图 A B C D 4 14 3 16 36 答案 B 9 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 纯 WORD 版含答案 已知 nm 为异面直线 m平面 n平面 直线l满足 则 lm ln ll A 且 lB 且 l C 与 相交 且交线垂直于lD 与 相交 且交线平行于l 答案 D 10 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面垂直 体积为 9 4 底面是边长为 3 的正三角形 若P为底 面 111 ABC 的中心 则PA与平面ABC所成角的大小为 A 5 12 B 3 C 4 D 6 答案 B 11 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 含答案 某几何体的三视图 如题 5图所示 则该几何体的体积为 A 560 3 B 580 3 C 200D 240 答案 C 12 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 已知三棱柱 的 6 个顶点都在球的球面上 若 111 ABCABC O34ABAC ABAC 则球的半径为 1 12AA O A B C D 3 17 2 2 10 13 2 3 10 答案 C 13 2013 年高考江西卷 理 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上 且 正方体的六个面所在的平面与直线 CE EF 相交的平面个数分别记为 那AB CDA m n 么mn A 8B 9C 10D 11 答案 A 14 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学 理 纯 WORD 版含答案 一个四 面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面 体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到正视图可以为 A B C D 答案 A 15 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 在下列命题中 不是公理的是 A 平行于同一个平面的两个平面相互平行 B 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 C 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 D 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A 16 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 纯 WORD 版 在空间中 过点 作平面的垂线 垂足为 记 设是两个不同的平面 对空间任意一A B AfB 点 恒有 则 P 21 PffQPffQ 21 PQPQ A 平面与平面垂直B 平面与平面所成的 锐 二面角为 0 45 C 平面与平面平行D 平面与平面所成的 锐 二面角为 0 60 答案 A 17 2013 年高考四川卷 理 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的直观图可以是 答案 D 二 填空题 18 2013 年高考上海卷 理 在平面上 将两个半圆弧和xOy 22 1 1 1 xyx 两条直线 和围成的封闭图形记为 D 如图中阴 22 3 1 3 xyx 1y 1y 影部分 记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 过作的水平截面 所 0 1 yy 得截面面积为 试利用祖暅原理 一个平放的圆柱和一个长方体 得出 2 418y 的体积值为 答案 2 216 19 2013 年高考陕西卷 理 某几何体的三视图如图所示 则其体积为 3 11 2 1 答案 3 20 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 已知圆 和圆是球的大圆和小圆 其公共弦长等于球的半径 且圆与圆OKOO 3 2 OK O 所在的平面所成的一个二面角为 则球的表面积等于 K60 O 答案 16 21 2013 年高考北京卷 理 如图 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 E为BC的中点 点 P在线段D1E上 点P到直线CC1的距离的最小值为 1 D 1 B P A D 1 C C E B A 1 A 答案 2 5 5 22 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 如图 在三棱柱中 分别是的中点 设三ABCCBA 111 FED 1 AAACAB 棱锥的体积为 三棱柱的体积为 则ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21 V V A B C 1 A D E F 1 B 1 C 答案 1 24 23 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 纯 WORD 版 若某几何体的 三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积等于 2 cm 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 第 12 题图 答案 24 24 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 正方体 的棱长为 1 P 为 BC 的中点 Q 为线段上的动点 过点 A P Q 的 1111 ABCDABC D 1 CC 平面截该正方体所得的截面记为 S 则下列命题正确的是 写出所有正确 命题的编号 当时 S 为四边形 当时 S 为等腰梯形 当时 S 与 1 0 2 CQ 1 2 CQ 3 4 CQ 的交点 R 满足 当时 S 为六边形 当时 S 的面 11 C D 11 1 3 C R 3 1 4 CQ 1CQ 积为 6 2 答案 25 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 某几何体的三视图 如图所示 则该几何体的体积是 答案 1616 26 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 纯 WORD 版 已知某一多面 体内接于一个简单组合体 如果该组合体的正视图 测试图 俯视图均如图所示 且图中 的四边形是边长为 2 的正方形 则该球的表面积是 答案 12 27 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 在如图所示的正方体 中 异面直线与所成角的大小为 1111 ABCDABC D 1 AB 1 BC D1 C1 B1 A1 D C AB 答案 3 三 解答题 28 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 理 试题 WORD 版 如图 AB 是圆的直 径 PA 垂直圆所在的平面 C 是圆上的点 I 求证 PACPBC 平面平面 II 2 ABACPACPBA 若 1 1 求证 二面角的余弦值 答案 29 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 理 试题 含答案 如图 四棱锥 PABCD 中 PAABCD 底面 2 4 3 BCCDACACBACD F为PC的中点 AFPB 1 求PA的长 2 求二面角BAFD 的正弦值 答案 30 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 圆锥顶点 为 底面圆心为 其母线与底面所成的角为 22 5 和是底面圆上的两poABCDO 条平行的弦 轴与平面所成的角为 60 OPPCD 证明 平面与平面的交线平行于底面 求 PABPCDcosCOD 答案 解 PABP D CmABCDCDPCDABPCD 设面面直线且面面 ABm 直线ABCDmABCDAB面直线面 所以 ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C r PO OPFFCDr 5 22tan 60 由题知 则的中点为线段设底面半径为 5 22tan1 5 22tan2 45tan 2 cos 5 22tan60tan60tan 2 COD r OF PO OF 223 3 1 2 3 2 1cos 1 2 5 22tan1 2 cos2cos 22 CODCOD COD 212 17cos 212 17cos CODCOD所以 法二 31 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 在四面体 中 平面 是的中点 BCDA ADBCD22 2 BDADCDBCMADP 是的中点 点在线段上 且 BMQACQCAQ3 1 证明 平面 2 若二面角的大小为 求的大小 PQBCDDBMC 0 60BDC A B C D P Q M 第 20 题图 答案 解 证明 方法一 如图 6 取的中点 且是中点 所以MDFMAD 因为是中点 所以 又因为 且3AFFD PBM PFBD3AQQC 所以 所以面面 且面 所以3AFFD QFBD PQFBDCPQ BDC 面 PQBDC 方法二 如图 7 所示 取中点 且是中点 所以 取的三BDOPBM 1 2 POMDCD 等分点 使 且 所以 所以H3DHCH 3AQQC 11 42 QHADMD 且 所以面 POQHPQOH OHBCD PQBDC 如图 8 所示 由已知得到面面 过作于 所以ADB BDCCCGBD G 过作于 连接 所以就是的CGBMD GGHBM HCHCHG CBMD 二面角 由已知得到 设 所以 813BM BDC cos sin2 2cos 2 2cossin 2 2sin CDCGCB CDCGBC BDCDBD 在中 所以在RT BCG 2 sin2 2sin BG BCGBG BC 中 所以在中 RT BHG 2 2 12 2sin 33 2 2sin HG HG RT CHG 2 2 2cossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG tan3 0 90 6060BDC 32 2013 年上海市春季高考数学试卷 含答案 如图 在正三棱锥中 111 ABCABC 异面直线与所成角的大小为 求该三棱柱的体积 1 6AA 1 BC 1 AA 6 B1 A1 C1 AC B 答案 解 因为 1 CC 1 AA 所以为异面直线与 所成的角 即 1 BC C 1 BC 1 AA 1 BC C 6 在 Rt中 1 BC C 11 3 tan62 3 3 BCCCBC C 从而 2 3 3 3 4 ABC SBC 因此该三棱柱的体积为 1 3 3 618 3 ABC VSAA 33 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A 垂足为 点分别是棱的中点 SBAF FGE SCSA 求证 1 平面平面 2 EFGABCSABC A B C S G F E 答案 证明 1 F 分别是 SB 的中点 ABAS SBAF E F 分别是 SA SB 的中点 EF AB 又 EF平面 ABC AB平面 ABC EF 平面 ABC 同理 FG 平面 ABC 又 EFFG F EF FG平面 ABC 平面平面 EFGABC 2 平面平面 SABSBC 平面平面 BC SAB SBC AF平面 SAB AF SB AF 平面 SBC 又 BC平面 SBC AF BC 又 ABAF A AB AF平面 SAB BC 平面 SAB 又 SA平面BCAB SAB BC SA 34 2013 年高考上海卷 理 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 AD 1 A1A 1 证明直 线 BC1平行于平面 DA1C 并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离 D1 C1 B1 A1 D C B A 答案 因为 ABCD A1B1C1D1为长方体 故 1111 ABC D ABC D 故 ABC1D1为平行四边形 故 显然 B 不在平面 D1AC 上 于是直线 BC1平行于 11 BCAD 平面 DA1C 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h 考虑三棱锥 ABCD1的体积 以 ABC 为底面 可得 111 1 2 1 323 V 而中 故 1 ADC 11 5 2ACDCAD 1 3 2 AD C S 所以 即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为 1312 3233 Vhh 2 3 35 2013 年高考湖北卷 理 如图 是圆的直径 点是圆上异于的点 直ABOCO A B 线平面 分别是 的中点 PC ABCEFPAPC I 记平面与平面的交线为 试判断直线 与平面的位置关系 并加BEFABCllPAC 以证明 II 设 I 中的直线 与圆的另一个交点为 且点满足 记直线lODQ 1 2 DQCP 与平面所成的角为 异面直线与所成的角为 二面角PQABC PQEF 的大小为 求证 ElC sinsinsin 第 19 题图 答案 解 I EFAC AACABC 平面EFABC 平面 EFABC A平面 又 EFBEF 平面 EFl A lPAC A平面 II 连接 DF 用几何方法很快就可以得到求证 这一题用几何方法较快 向量的方法很 麻烦 特别是用向量不能方便的表示角的正弦 个人认为此题与新课程中对立体几何的 处理方向有很大的偏差 36 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 理 卷 纯 WORD 版 如图 1 在等腰 直角三角形中 分别是上的点 ABC90A 6BC D E AC AB2CDBE 为的中点 将沿折起 得到如图 2 所示的四棱锥 其中OBCADE DEABCDE 3A O 证明 平面 求二面角的平面角的余弦值 A O BCDEACDB C O B DE A C D O B E A 图 1图 2 答案 在图 1 中 易得 3 3 2 2 2OCACAD C D O x E A 向量法图向量法图 y z B C D O B E A H 连结 在中 由余弦定理可得 OD OEOCD 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知 2 2A D 所以 所以 222 A OODA D A OOD 理可证 又 所以平面 A OOE ODOEO A O BCDE 传统法 过作交的延长线于 连结 OOHCD CDHA H 因为平面 所以 A O BCDEA HCD 所以为二面角的平面角 A HO ACDB 结合图 1 可知 为中点 故 从而 HAC 3 2 2 OH 22 30 2 A HOHOA 所以 所以二面角的平面角的余弦值为 15 cos 5 OH A HO A H ACDB 15 5 向量法 以点为原点 建立空间直角坐标系如图所示 OOxyz 则 0 0 3 A 0 3 0C 1 2 0D 所以 0 3 3CA 1 2 3DA 设为平面的法向量 则 nx y z A CD 即 解得 令 得 0 0 n CA n DA 330 230 yz xyz 3 yx zx 1x 1 1 3n 由 知 为平面的一个法向量 0 0 3OA CDB 所以 即二面角的平面角的余弦 315 cos 535 n OA n OA n OA ACDB 值为 15 5 37 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 理 试题 含答案 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 侧棱A1A 底面ABCD AB DC AB AD AD CD 1 AA1 AB 2 E为棱AA1的中点 证明B1C1 CE 求二面角B1 CE C1的正弦值 设点M在线段C1E上 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 求线段 2 6 AM的长 答案 38 2013 年高考新课标 1 理 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB A A1 BA A1 60 证明 AB A1C 若平面 ABC 平面 AA1B1B AB CB 2 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 答案 取 AB 中点 E 连结 CE 1 AB 1 AE AB 1 AA 1 BAA 0 60 1 BAA 是正三角形 1 AE AB CA CB CE AB 1 CEAE E AB 面 1 CEA AB 1 AC 由 知 EC AB 1 EA AB 又 面 ABC 面 11 ABB A 面 ABC 面 11 ABB A AB EC 面 11 ABB A EC 1 EA EA EC 1 EA两两相互垂直 以 E 为坐标原点 EA 的方向为x轴正方向 EA 为单位 长度 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz 有题设知 A 1 0 0 1 A 0 3 0 C 0 0 3 B 1 0 0 则BC 1 0 3 1 BB 1 AA 1 0 3 1 AC 0 3 3 设n x y z是平面 11 CBBC的法向量 则 1 0 0 BC BB n n 即 30 30 xz xy 可取n 3 1 1 1 cos AC n 1 1 AC AC n n 10 5 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 39 2013 年高考陕西卷 理 如图 四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 O为底 面中心 A1O 平面ABCD 1 2ABAA 证明 A1C 平面BB1D1D 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小 O D1 B1 C1 D A C B A1 答案 解 又因为 在正BDOAABCDBDABCDOA 11 面且面 方形 AB CD 中 BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 故面且面所以 且 在正方形 AB CD 中 AO 1 1 11 OAOAART中 在 OECAOCEAEDB 1111111 为正方形 所以 则四边形的中点为设 所以由以上三点得且 面面又OOBDDDBBODDBBBD 111111 E E 证毕 DDBBCA 111 面 建立直角坐标系统 使用向量解题 以 O 为原点 以 OC 为 X 轴正方向 以 OB 为 Y 轴正方向 则 1 0 1 1 1 1 100 001 0 1 0 111 CABACB 由 知 平面BB1D1D的一个法向量 0 0 1 1 1 1 1 0 1 111 OCOBCAn 设平面OCB1的法向量为 则0 0 2122 OCnOBnn 1 1 0 向向向 2 n为解得其中一个 2 1 22 1 cos cos 21 21 11 nn nn nn O D1 B1 C1 D A C B A1 所以 平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 3 40 2013 年高考江西卷 理 如图 四棱锥中 PABCD PA ABCD EBD 平面为的中点GPD为的中点 连接并延长交于 3 1 2 DABDCB EAEBABPA CEADF 1 求证 ADCFG 平面 2 求平面与平面的夹角的余弦值 BCPDCP 答案 解 1 在中 因为是的中点 所以 ABD EBD1EAEBEDAB 故 23 BADABEAEB 因为 所以 DABDCB EABECB 从而有 FEDFEA 故 又因为所以 EFAD AFFD PGGD FGPA 又平面 PA ABCD 所以故平面 GFAD AD CFG 3 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系 则A 33 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 22 ABCD 4 故 3 0 0 2 P 1333 333 0 0 2222222 BCCPCD 设平面的法向量 则 BCP 111 1 ny z 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz 解得 即 1 1 3 3 2 3 y z 1 3 2 1 33 n 设平面的法向量 则 解得 DCP 222 1 nyz 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz 2 2 3 2 y z 即 从而平面与平面的夹角的余弦值为 2 1 3 2 n BCPDCP 12 12 4 2 3 cos 416 8 9 n n n n 41 2013 年高考四川卷 理 如图 在三棱柱中 侧棱底面 11 ABCABC 1 AA ABC 分别是线段的中点 是线段 1 2ABACAA 120BAC 1 D D 11 BC BCP 的中点 AD 在平面内 试作出过点与平面平行的直线 说明理由 并证明直线ABCP 1 ABCl 平面 l 11 ADD A 设 中的直线 交于点 交于点 求二面角的余弦lABMACN 1 AAMN 值 D1 D C B A1 B1 C1 A P 答案 解 如图 在平面内 过点做直线 因为 在平面外 ABCPlBCl 1 ABC 在平面内 由直线与平面平行的判定定理可知 平面 BC 1 ABCl 1 ABC 由已知 是的中点 所以 则直线 ABAC DBCBCAD lAD 因为平面 所以直线 又因为在平面内 且 1 AA ABC 1 AA l 1 AD AA 11 ADD A 与相交 所以直线平面 AD 1 AA 11 ADD A 解法一 连接 过作于 过作于 连接 1 APA 1 AEAP EE 1 EFAM FAF 由知 平面 所以平面平面 MN 1 AEA 1 AEA 1 AMN 所以平面 则 AE 1 AMN 1 AMAE 所以平面 则 1 AM AEF 1 AM AF 故为二面角的平面角 设为 AFE 1 AAMN 设 则由 有 1 1AA 1 2ABACAA 120BAC 60BAD 2 1ABAD 又为的中点 所以为的中点 且 PADMAB 1 1 2 APAM 在中 在中 1 Rt AAPA 1 5 2 AP 1 Rt A AMA 1 2AM 从而 1 1 1 5 AAAP AE AP 1 1 1 2 AAAM AF AM 所以 2 sin 5 AE AF 所以 2 2 215 cos1 sin1 55 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 解法二 设 如图 过作平行于 以为坐标原点 分别以 的 1 1AA 1 A 1 AE 11 BC 1 A 111 AE AD 1 AA 方向为轴 轴 轴的正方向 建立空间直角坐标系 点与点重合 xyzOxyzO 1 A 则 1 0 0 0A 0 0 1A 因为为的中点 所以分别为的中点 PAD M N AB AC 故 3 13 1 1 1 2222 MN 所以 1 3 1 1 22 AM 1 0 0 1A A 3 0 0NM 设平面的一个法向量为 则 1 AAM 1111 nx y z 即故有 11 11 nAM nA A 11 11 0 0 nAM nA A 111 111 3 1 10 22 0 0 10 x y z x y z 从而 111 1 31 0 22 0 xyz z 取 则 所以 1 1x 1 3y 1 1 3 0n 设平面的一个法向量为 则 1 AMN 2222 nxy z 即故有 21 2 nAM nNM 21 2 0 0 nAM nNM 222 222 3 1 10 22 3 0 00 xy z xy z 从而 222 2 31 0 22 30 xyz x 取 则 所以 2 2y 2 1z 2 0 2 1n 设二面角的平面角为 又为锐角 1 AAMN 则 12 12 1 3 00 2 1 15 cos 525 nn nn 故二面角的余弦值为 1 AAMN 15 5 42 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 数学 已校对纯 WORD 版含附加题 本小题满分 10 分 如图 在直三棱柱中 点是 111 ABCABC ACAB 2 ACAB4 1 AAD 的中点BC 1 求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1 2 求平面与所成二面角的正弦值 1 ADC 1 ABA 答案 本题主要考察异面直线 二面角 空间向量等基础知识以及基本运算 考察运用 空间向量解决问题的能力 解 1 以为为单位正交基底建立空间直角坐标系 1 AAACABxyzA 则 0 0 0 A 0 0 2 B 0 2 0 C 4 0 0 1 A 0 1 1 D 4 2 0 1 C 4 0 2 1 BA 4 1 1 1 BA 10 103 1820 18 cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线与所成角的余弦值为 BA1DC1 10 103 2 是平面的的一个法向量 0 2 0 AC 1 ABA 设平面的法向量为 1 ADC zyxm 0 1 1 AD 4 2 0 1 AC 由 1 ACmADm 取 得 平面的法向量为 042 0 zy yx 1 z2 2 xy 1 ADC 1 2 2 m 设平面与所成二面角为 1 ADC 1 ABA 得 3 2 32 4 coscos mAC mAC mAC 3 5 sin 平面与所成二面角的正弦值为 1 ADC 1 ABA 3 5 43 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学 理 WORD 版含答案 已校对 如图 四棱锥中 与都是等边PABCD 902 ABCBADBCADPAB PAD 三角形 I 证明 II 求二面角的大小 PBCD APDC 答案 44 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学 理 试题 含答案 如图所示 在三棱 锥 PABQ 中 PB 平面 ABQ BABPBQ D C E F 分别是 AQ BQ AP BP 的中点 2AQBD PD与 EQ交于点G PC与 FQ交于点H 连接GH 求证 AB GHA 求二面角D GHE 的余弦值 答案 解 证明 因为 D C E F 分别是 AQ BQ AP BP 的中点 所以EF AB DC AB 所以EF DC 又EF 平面PCD DC 平面PCD 所以EF 平面PCD 又EF 平面 EFQ 平面 EFQ 平面PCD GH 所以EF GH 又EF AB 所以AB GH 解法一 在 ABQ 中 2AQBD ADDQ 所以 90ABQ 即 ABBQ 因为PB 平面 ABQ 所以AB PB 又 BPBQB 所以AB 平面 PBQ 由 知AB GH 所以GH 平面 PBQ 又FH 平面 PBQ 所以GH FH 同理可得GH HC 所以 FHC 为二面角D GHE 的平面角 设 2BABQBP 连接PC 在 tR FBC中 由勾股定理得 2FC 在 tR PBC中 由勾股定理得 5PC 又H为 PBQ 的重心 所以 15 33 HCPC 同理 5 3 FH 在 FHC中 由余弦定理得 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 FHC 即二面角D GHE 的余弦值为 4 5 解法二 在 ABQ 中 2AQBD ADDQ 所以 90ABQ 又PB 平面 ABQ 所以 BA BQ BP 两两垂直 以B为坐标原点 分别以 BA BQ BP 所在直线为x轴 y 轴 z轴 建立如图所示的空 间直角坐标系 设 2BABQBP 则 1 0 1 E 0 0 1 F 0 2 0 Q 1 1 0 D 0 1 0 C 0 0 2 P 所以 1 2 1 EQ 0 2 1 FQ 1 1 2 DP 0 1 2 CP 设平面 EFQ 的一个法向量为 111 mx y z 由 0m EQ 0m FQ 得 111 11 20 20 xyz yz 取 1 1y 得 0 1 2 m 设平面PDC的一个法向量为 222 nxyz 由 0n DP 0n CP 得 222 22 20 20 xyz yz 取 2 1z 得 0 2 1 n 所以 4 cos 5 m n m n m n 因为二面角D GHE 为钝角 所以二面角D GHE 的余弦值为 4 5 45 2013 年高考湖南卷 理 如图 5 在直棱柱 1 111 ABCDABC DADBC 中 90 1BADACBD BC 1 3ADAA I 证明 II 求直线所成角的正弦值 1 ACB D 111 BCACD与平面 答案 解 ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD 111111 面且面是直棱柱 DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 面 面且又 证毕 的夹角与平面的夹角即直线与平面直线 111111 ACDADACDCBADBCCB 轴正半轴 为轴正半轴 为点 量解题 设原点在建立直角坐标系 用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA 0 3 0 1 0 1 0 0 3 0 3 0 0 3 00 0 1 则 设 3 0 3 0 3 1 30 0030 1 2 ADACyyyBDAC 的一个法向量平面则的法向量为设平面303 313 0 0 1 1 1 ADnACD ADn ACn nACD 7 21 37 33 cos sin003 313 1 ADnADnACD 的一个法向量平面 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以ACDBD 46 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 理 试题 纯 WORD 版 如图 在四棱柱 中 侧棱 1111 ABCDABC D 1 AAABCD 底面 ABDC 1 1AA 3ABk 4ADk 5BCk 6DCk 0 k 1 求证 11 CDADD A 平面 2 若直线与平面所成角的正弦值为 求的值 1 AA 1 ABC 6 7 k 3 现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新 1111 ABCDABC D 的棱柱 规定 若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同 则视为同一种拼接方案 问 共有几种不同的方案 在这些拼接成的新四棱柱中 记其中最小的表面积为 写出 f k 的