2016年天津市十二区县高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年天津市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4， 5集合 A=1， 2， 3， 5， B=2， 4，则（ B 为（ ） A 0， 2， 4B 2， 3， 5C 1， 2， 4D 0， 2， 3， 5 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为（ ） A 0B 3C 6D 12 3如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ ） A y=x+1 的图象上 B y=2x 的图象上 C y=2 y=2x 1 的图象上 4下列说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为 “若 ，则 x1” B若 a， bR，则 “”是 “a0”的充分不必要条件 C命题 “， 0”的否定是 “xR， x2+x+1 0” D若 “p 且 q”为假，则 p， q 全是假命题 5已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的离心率 ，点 P 是抛物线 x 上的一动点， P 到双曲线 C 的上焦点 0， x）的距离与到直线 x= 1 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（ ） A =1B C =1D =1 6在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 面积为 S，且 6S=（ a+b）2 于（ ） 第 2 页（共 22 页） A B C D 7如图， O 于点 T， O 于 A， B 两点，且与直径 于点 D， ， ，则 ） A 6B 8C 10D 14 8已知 f（ x）为偶函数，当 x0 时， f（ x） =m（ |x 2|+|x 4|），（ m 0），若函数 y=ff（ x） 4m 恰有 4 个零点，则实数 m 的取值范围（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9 i 是虚数单位，复数 = 10在 的二项展开式中， 系数为 11已知曲线 y=x 1 与直线 x=1， x=3， x 轴围成的封闭区域为 A，直线 x=1， x=3， y=0， y=1围成的封闭区域为 B，在区域 B 内任取一点 P，该点 P 落在区域 A 的概率为 12一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为 3 的正方形，则该机器零件的体积为 13直线 l： （ t 为参数），圆 C： =2 + ）（极轴与 x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆 C 上至少有三个点到直线 l 的距离恰为 ，则实数 a 的取值范围为 14如图，在直角梯形 ， ， C=1， P 是线段 一动点，Q 是线段 一动点， ， ，若集合 M= ，N= 则 MN= 第 3 页（共 22 页） 三、解答题：本大题 6小题，共 80分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 ， xR （ ）求 f（ x）最小正周期； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 16某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题， A 类题有 4 个不同的小题， B 类题有 6 个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答 （ ）求该考生至少抽取到 2 道 B 类题的概率； （ ）设所抽取的四道题中 B 类题的个数为 X，求随机变量 X 的分布列与期望 17如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 C=4， a， 0， O 为 中点 （ ） 求证： （ ） 求二面角 F B 的余弦值； （ ） 若直线 平面 成的角的正弦值为 ，求实数 a 的值 18设椭圆 E 的方程为 ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（ a， 0），点 B 的坐标为（ 0， b），点 M 在线段 ，满足 |2|直线 斜率为 （ ）求椭圆 E 的离心率 e； （ ） 圆 C：（ x+2） 2+（ y 1） 2= 的一条直径，若椭圆 E 经过 P， Q 两点 ，求椭圆E 的方程 19己知非单调数列 公比为 q 的等比数列，且 ， 6 （ I）求 通项公式； （ ）若对任意正整数 n， |m 1|3实数 m 的取值范围； 第 4 页（共 22 页） （ ）设数列 1的前 n 项和分别为 明：对任意的正整数 n，都有 22 20已知函数 f（ x） =， g（ x） =ax+b （ 1）若函数 h（ x） =f（ x） g（ x）在（ 0， +）上单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 2）若直线 g（ x） =ax+b 是函数 f（ x） =图象的切线，求 a+b 的最小值； （ 3）当 b=0 时，若 f（ x）与 g（ x）的图象有两个交点 A（ B（ 求证：2 （取 e 为 为 第 5 页（共 22 页） 2016 年天津 市十二区县重点高中高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4， 5集合 A=1， 2， 3， 5， B=2， 4，则（ B 为（ ） A 0， 2， 4B 2， 3， 5C 1， 2， 4D 0， 2， 3， 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由全集 U 及 A，求出 A 的补集，找出 A 补集与 B 的并集即可 【解答】 解： 全集 U=0， 1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 2， 3， 5， 0， 4， B=2， 4， （ B=0， 2， 4 故选 A 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+2y 的最大值为（ ） A 0B 3C 6D 12 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，化目标函数 z=x+2y 为 y= x+ z，从而求得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， 第 6 页（共 22 页） ， 化目标函数 z=x+2y 为 y= x+ z， 结合图象可得， 过点 A（ 0， 3）时有最大值为 z=0+6=6， 故选： C 3如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ ） A y=x+1 的图象上 B y=2x 的图象上 C y=2 y=2x 1 的图象上 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图中的运算规律确定 出所求函数解析式即可 【解答】 解：根据题意得：程序框图输出的所有点都在函数 y=2x 1 的图象上， 第 7 页（共 22 页） 故选： D 4下列说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为 “若 ，则 x1” B若 a， bR，则 “”是 “a0”的充分不必要条件 C命题 “， 0”的否定是 “xR， x2+x+1 0” D若 “p 且 q”为假，则 p， q 全是假命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A否命题是即否定条件又否定结论； B根据充分条件和必要条件的概念判 定即可； C存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论； D且命题的概念判断即可 【解答】 A命题 “若 ，则 x=1”的否命题为 “若 ，则 x1”，故错误； B若 a， bR，则 “”可推出 a0 且 b0，但由 a0 推不出 ，故是充分不必要条件，故正确； C命题 “， 0”的否定是 “xR， x2+x+10”，故错误； D若 “p 且 q”为假，则 p， q 不全是真命题，故错误 故选 B 5已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的离心率 ，点 P 是抛物线 x 上的一动点， P 到双曲线 C 的上焦点 0， x）的距离与到直线 x= 1 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（ ） A =1B C =1D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 确定抛物线的焦点坐标和准线方程，双曲线的离心率，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线 C 的上焦点 0， c）的距离与到直线 x= 1 的距离之和的最小值为 ，可得，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论 【解答】 解：抛物线 x 的焦点 F（ 1， 0），准线的方程为 x= 1， 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的 e= = ， 由 P 到双曲线 C 的上焦点 0， c）的距离与 到直线 x= 1 的距离之和的最小值为 ， 由抛物线的定义可得 P 到准线的距离即为 P 到焦点的距离为 | 可得 |最小值为 ， 当 P， F， 点共线，可得最小值 | = ， 即有 c= ， 由 c2=a2+ 解得 a=2， b=1， 第 8 页（共 22 页） 即有双曲线的方程为 故选： B 6在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 面积为 S，且 6S=（ a+b）2 于（ ） A B C D 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 首先由三角形面积公式得到 S ab由余弦定理，结合 6S=（ a+b） 2 出 32，然后通过（ 322=4，求出结果即可 【解答】 解： ， S ab余弦定理： c2=a2+2 6S=（ a+b） 2 3 a+b） 2（ a2+2 整理得 32， （ 322=4 =4，化简可得 512 C（ 0， 180）， ， 故选： C 7如图， O 于点 T， O 于 A， B 两点，且与直径 于点 D， ， ，则 ） A 6B 8C 10D 14 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 圆中的性质相交弦定理、切 割线定理应用 【解答】 解：由相交弦定理得： D=T，即 46=3得 设 PB=x， PT=y 因为 切线，所以 在 ， 4=（ 6+x） 2 由切割线定理知， B y2=x（ x+10） 联立 得， x=14 故选： D 第 9 页（共 22 页） 8已知 f（ x）为偶函数，当 x0 时， f（ x） =m（ |x 2|+|x 4|），（ m 0），若函数 y=ff（ x） 4m 恰有 4 个零点，则实数 m 的取值范围（ ） A B C D 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质 【分析】 利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可 【解答】 解：设 f（ x） =t，（ t 0） 则由 y=ff（ x） 4m=0 得 ff（ x） =4m， 即 f（ t） =4m， 则 m（ |t 2|+|t 4|） =4m， 则 |t 2|+|t 4|=4， 得 t=5，或 t=1， 若 t=1，则 f（ x） =m（ |x 2|+|x 4|） =1，即 |x 2|+|x 4|= ， 若 t=5，则 f（ x） =m（ |x 2|+|x 4|） =5，即 |x 2|+|x 4|= ， 设 g（ x） =|x 2|+|x 4|，（ x0）， 函数 f（ x）是偶函数， 要使函数 y=ff（ x） 4m 恰有 4 个零点， 则等价为当 x0 时，函数 y=ff（ x） 4m 恰有 2 个零点， 作出 g（ x）在 0， +）上的图象如图： ，即 ，即 m ， ，即 ，即 0 m ， 综上实数 m 的取值范围 是 ， 故选： B 第 10 页（共 22 页） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 9 i 是虚数单位，复数 = 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 将复数分母实数化，分子、分母同乘以（ 1+i），化 简即可 【解答】 解： = = = ； 故答案为： 10在 的二项展开式中， 系数为 90 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 写出二项展开式的通项，再由 x 的指数等于 2 求得 r，则答案可求 【解答】 解：由 ，得 = ， 第 11 页（共 22 页） 由 ，得 r=2 系数为 故答案为： 90 11已知曲线 y=x 1 与直线 x=1， x=3， x 轴围成的封闭区域为 A，直线 x=1， x=3， y=0， y=1围成的封闭区域为 B，在区域 B 内任取一点 P，该点 P 落在区域 A 的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 根据积分的应用，求出区域的面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可 【解答】 解：作出曲线对应的平面区域， 则区域 B 是边长分别为 1， 2 的矩形，则面积 ， 区域 A 的面积 dx= 则对应的概率 P= = ， 故答案为： 12一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为 3 的正方形，则该机器零件的体积为 【考点】 由三视图求面 积、体积 第 12 页（共 22 页） 【分析】 根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是半球的一半、下面是正方体， 且球的半径是 ，正方体的棱长是 3， 几何体的体积 V= = 故答案为： 13直线 l： （ t 为参数），圆 C： =2 + ）（极轴与 x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆 C 上至少有三个点到直线 l 的距离恰为 ，则实数 a 的取值范围为 ， 2 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 求出直线 l 与圆 C 的普通方程得出圆 C 的半径，利用点到直线的距离公式列出不等式解出 a 的范围 【解答】 解：直线 l 的普通方程为 2x+a=0 =2 + ）， 2=22 圆 C 的直角坐标方程为： x2+x 2y，即（ x 1） 2+（ y+1） 2=2 圆 C 的圆心为 C（ 1， 1），圆 C 的半径 r= 圆 C 上至少有三个点到直线 l 的距离恰为 ， 圆心 C 到直线 l 的距离 0d 即 0 解得 故答案为： ， 2 14 如图，在直角梯形 ， ， C=1， P 是线段 一动点，Q 是线段 一动点， ， ，若集合 M= ，N= 则 MN= ， 2 第 13 页（共 22 页） 【考点】 平面向量 数量积的运算 【分析】 用 表示 ，根据 的范围求出 的范围，即 M 的范围，根据基本不等式求出 N 的范围，得出 MN 【解答】 解： ， 01 = = = （ ） = = = =（ ） （ ） = + =2 M= =0， 2 a b， ， a b 0， = = 2 = N=x|x= ， a b， = ， +） MN= ， 2 故答案为： 三、解答题：本大题 6小题，共 80分解答应写出必要的文字说明 ，证明过程或演算步骤 15已知函数 ， xR （ ）求 f（ x）最小正周期； （ ）求 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 由三角函数公式化简可得 f（ x） = （ 1）由周期公式可得； （ 2）由 x 的范围和三角函数的最值可得 第 14 页（共 22 页） 【解答】 解：由三角函数公式化简可得 f（ x） =x ） = = = （ 1）函数 f（ x）的最小正周期 ； （ 2） 函数 f（ x）在 单调递增，在 单调递减， ， 16某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题， A 类题有 4 个不同的小题， B 类题有 6 个不同的小题，某考生从中任抽取四道题解答 （ ）求该考生至少抽取到 2 道 B 类题的概率； （ ）设所抽取的四道题中 B 类题的个数为 X，求随机变量 X 的分布列与期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）设事件 A： ”该考生至少取到 2 道 B 类题 ”，利用对立事件概 率计算公式能求出该考生至少抽取到 2 道 B 类题的概率 （ 2）随机变量 X 的取值分别为 0， 1， 2， 3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列与期望 【解答】 解：（ ）设事件 A： ”该考生至少取到 2 道 B 类题 ”， P（ A） = （ 2）随机变量 X 的取值分别为 0， 1， 2， 3， 4， ， ， ， ， ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 随机变量 X 的期望为： 第 15 页（共 22 页） 17如图，在四棱锥 A ， 等边三角形，平面 平面 C=4， a， 0， O 为 中点 （ ） 求证： （ ） 求二面角 F B 的余弦值； （ ） 若直线 平面 成的角的正弦值为 ，求实数 a 的值 【考点】 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之 间的位置关系；二面角的平面角及求法 【分析】 （ I）由等边三角形性质得出 用面面垂直的性质得出 平面 （ O 为原点建立空间直角坐标系，则 =（ 0， 0， 1）为平面 一个法向量，求出平面 法向量 ，则 与二面角的余弦值相等或相反 （ | |= ，列方程解出 a 【解答】 证明：（ ） 等边三角形， O 为 中点， 又 平面 平面 面 面 F， 面 平面 面 （ ）取 中点 D，连接 以 O 为原点，分别以 坐标轴建立空间直角坐标系， 则 O（ 0， 0， 0）， E（ a， 0， 0）， F（ a， 0， 0）， ， ， ， =（ a， a， 0）， 设平面 一个法向量 ，则 ， ，令 y=1，得 =（ ， 1， 1） 平面 一个法向量为 ， = 1， | |= ， | |=1， 第 16 页（共 22 页） ， 由二面角 F B 为钝二面角， 二面角 F B 的余弦值为 （ ） ， =4 ， | |= ， | |= ， ， = ， 612a+16=10， 解得 a=1 18设椭圆 E 的方程为 ，点 O 为坐标原点 ，点 A 的坐标为（ a， 0），点 B 的坐标为（ 0， b），点 M 在线段 ，满足 |2|直线 斜率为 （ ）求椭圆 E 的离心率 e； （ ） 圆 C：（ x+2） 2+（ y 1） 2= 的一条直径，若椭圆 E 经过 P， Q 两点，求椭圆E 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）运用分点坐标公式可得 M 的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到； （ 法一、设出 方程，代入椭圆 方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程； 解法二、设 P（ Q（ 代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得斜率，求得 方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程 【解答】 解：（ I） A（ a， 0） B（ 0， b）点 M 在线段 ，满足 |2|第 17 页（共 22 页） M ， ， ， 椭圆 E 的离心率 e 为 ； （ 法一：由（ I）知，椭圆 E 的方程为 1）， 依题意，圆心 C（ 2， 1）是线段 中点，且 易知， 与 x 轴垂直，设其直线方程为 y=k（ x+2） +1， 代入（ 1）得（ 1+4k（ 2k+1） x+4（ 2k+1） 2 4， 设 P（ Q（ ， 则 ， ， 由 x1+ 4，得 ，解得 从而 于是 ， 由 ，得 ， 24=6，解得 故椭圆 E 的方程为 解法二：由（ I）知，椭圆 E 的方程为 1）， 依题意点 P、 Q 关于圆 C（ 2， 1）对称且 ， 设 P（ Q（ 则 ， 两式相减得 4（ +8（ =0， 易知 与 x 轴垂直，则 x1， 斜率为 ， 设其直线方程为 ， 代入（ 1）得 x+8 2 x1+ 4 第 18 页（共 22 页） 于是 ， 由 ，得 ， 24=6 解得 故椭圆 E 的方程为 19己知非单调数列 公比为 q 的等比数列，且 ， 6 （ I）求 通项公式； （ ）若对任意正整数 n， |m 1|3实数 m 的取值范围； （ ）设数列 1的前 n 项和分别为 明：对任意的正整数 n，都有 22 【考点】 数列递推式 ；数列的求和 【分析】 （ ）由 6合数列是非单调数列求出等比数列的公比，可得等比数列的通项公式； （ ）由 ，得 ，分 n 为奇偶数求出 最大值，代入 |m 1|3得 m2 或 m0； （ ） 放缩得到 ，代入 +（ +（ 1）可得 223，即 22 【解答】 （ ）解： 数列 公比为 q 的等比数列，且 ， 6 ，解得 q= ， 数列是非单调数列， q= ， 则 ； （ ）解：由 ，得 ， 当 n 为奇数时， ； 当 n 为偶数时， ，且 减函数， 第 19 页（共 22 页） ，则 |m 1|3，解得 m2 或 m0； （ ）证明： = = = ， +（ +（ 1） = 223，即 22 20已知函数 f（ x） =， g（ x） =ax+b （ 1）若函数 h（ x） =f（