四川省遂宁市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 17页） 2015年四川省遂宁市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1已知集合 A=0， 1， B= 1， 0， a+3，且 AB，则 a 等于（ ） A 1 B 0 C 2 D 3 2化简 + 所得的结果是（ ） A B C 0 D 3下列函数中，值域为（ 0， +）的是（ ） A B C D y=x2+x+1 4函数 y=x 2）的定义域是（ ） A （ ， +） B（ ， 2） C（ 0， 2） D（ 2， +） 5若点（ a， 9）在函数 y=3 值为（ ） A 0 B C 1 D 6函数 y=x 的图象大致为（ ） A B CD 7设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A 与 的长度必相等 B C 与 一定不相等 D + = 第 2页（共 17页） 8已知函数 f（ x） =x，则在下列区间中 f（ x）必有零点的是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 9为了得到 的图象，只需要将 （ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 10定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x0 时， f（ x） = ， 则关于 x 的函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的所有零点之和为（ ） A 1 2a B 2a 1 C 1 2 a D 2 a 1 二、填空题（本题共 5小题，每小题 5分，共 25分） 11已知 + ） = ， （ ， 0），则 12已知 函数 f（ x） =2x+2ax+b，且 f（ 1） = ， f（ 2） = ，则实数 a= 13 14已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ） = 15对于下列结论： 函数 y=（ xR）的图象可以由函数 y=a 0 且 a1）的图象平移得到； 函数 y=2y=图象关于 y 轴对称； 方程 2x+1） =2）的解集为 1， 3； 函数 y=1+x） 1 x）为奇函数 其 中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题 16已知集合 A=x|2x8， B=x|1 x 6， C=x|x a （ 1）求 A B； 第 3页（共 17页） （ 2）若 AC，求 a 的取值范围 17已知 （ 1）化简 f（ ） （ 2）若 是第三象限角，且 ，求 f（ ）的值 18函数 f（ x） =x+），其中 0， | （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）写出 f（ x）的最值及相应的 x 的取值构成的集合 19已知函数 y=f（ x），若存在 使得 f（ =称 函数 y=f（ x）的一个不动点，设二次函数 f（ x） = b+1） x+b 2 （ 1）当 a=2， b=1 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对于任意实数 b，函数 f（ x）恒有两具不同的不动点，求实数 a 的取值范围 20已知函数 f（ x） =b中 a， b 为常数且 a 0， a1）的图象经过点 A（ 1， 6）， B（ 3，24） （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若对于任意的 x（ ， 1，（ ） x+（ ） x m0 恒成立，求 m 的取值范围； （ 3）若 g（ x） = ，试用定义 法证明 g（ x）在区间 1， +）上单调递减 21设 a 为实数，函数 f（ x） =x a|+1， xR （ 1）讨论 f（ x）的奇偶性； （ 2）求 f（ x）的最小值 第 4页（共 17页） 2015年四川省遂宁市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小题，每题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1已知集合 A=0， 1， B= 1， 0， a+3，且 AB，则 a 等于（ ） A 1 B 0 C 2 D 3 【考点】 集合关系中的参数取值 问题 【专题】 计算题 【分析】 由题设条件 A=0， 1， B= 1， 0， a+3，且 AB，根据集合的包含关系知，应有 a+3=1，由此解出 a 的值选出正确选项 【解答】 解： 集合 A=0， 1， B= 1， 0， a+3，且 AB， a+3=1 a= 2 故选 C 【点评】 本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是由集合之间的关系得出参数所满足的方程或不等式，从而解同参数的取值范围，集合中参数的取值范围问题，是集合知识综合运用题，需要运用集合中的相关知识综合判断，正确转化，考查了推理判断能力及转化的 思想 2化简 + 所得的结果是（ ） A B C 0 D 【考点】 向量加减混合运算及其几何意义 【专题】 计算题 【分析】 利用向量加法的三角形法则，（ + ） = ，代入要求的式子化简 【解答】 解：化简 =（ + ） = = ， 故选 C 【点评】 本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义，及其应用 3下列函数中，值域为（ 0， +）的是（ ） A B C D y=x2+x+1 【考点】 函数的值域 【专题】 计算题 【分析】 ； y= 0； ； ，可判断 第 5页（共 17页） 【解答】 解： 可得函数的值域 0， +），故 A 不符 由 且 可得 y= 0，值域（ 0， +），故 B 合题意 ，值域（ ， 0） （ 0， +），故 C 不符 ，值域 ），故 D 不符 故选 B 【点评】 本题主要考查了函数值域的求解，要注意一些常见函数值域求解方法的总结积累 4函数 y=x 2）的定义域是（ ） A（ ， +） B（ ， 2） C（ 0， 2） D（ 2， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 要使函数有意义，则需 x 2 0，解出即可得到定义域，注意用集合或区间表示 【解答】 解：要使函数有意义，则需 x 2 0， 解得， x 2， 则定义域为（ 2， +） 故选 D 【点评】 本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于 0，考查运算能力，属于基础题 5若点（ a， 9）在函数 y=3 值为（ ） A 0 B C 1 D 【考点】 指数函数的图像与性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 先将点代入到解析式中，解出 a 的值，再根据特殊三角函数值进行解答 【解答】 解：将（ a， 9）代入到 y=3 3a=9， 解得 a=2 = 故选 D 【点评】 对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解 6函数 y=x 的图象大致为（ ） 第 6页（共 17页） A B CD 【考点】 函数的图象 【专题】 计算题 【分析】 利用 y=x x 为奇函数可排除 C， D，再利用 x 1 时， y=x x 0 再排除一个，即可得答案 【解答】 解：令 y=f（ x） =x x ， f（ x） = x+ =（ x ） = f（ x）， y=f（ x） =x x 为奇函数， 其图象关于原点成中心对称，故可排除 C， D； 又 x=1 时， y=1 1=0， 当 x 1 时，不妨令 x=8， y=8 8 =6 0，可排除 B， 故选 A 【点评】 本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性与单调性，考查识图能力，属于中档题 7设 是 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A 与 的长度必相等 B C 与 一定不相等 D + = 【考点】 相等向量与相反向量 【专题】 平面向量及应用 【分析】 根据相反向量的定义是大小相等，方 向相反的两个向量，对每一个选项进行分析即可 【解答】 解：当 是 的相反向量时， 与 的长度相等，即 | |=| |， A 正确； = ， ， B 正确； 当 = = 时，两向量相等， C 错误； 第 7页（共 17页） = ， + = ， D 正确 故选： C 【点评】 本题考查了相反向量的概念及其应用问题，是基础题目 8已知函数 f（ x） =x，则在下列区间中 f（ x）必有零点的是（ ） A（ 2， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性 质及应用 【分析】 构造函数 g（ x） =h（ x） =8x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间 【解答】 解： 函数 f（ x） =x， 令 g（ x） =h（ x） =8x， 画出图象判断交点 1 个数 g（ 0） =1， h（ 0） =0， g（ 1） =e 1， h（ 1） =9， g（ 0） h（ 0）， g（ 1） h（ 1）， 交点在（ 1， 0）内， 即函数 f（ x） =x，则在下列区间中 f（ x）必有零点的是（ 1， 0） 故选： B 第 8页（共 17页） 【点评】 本题考查了构造函数，运用图象的交 点问题求解有关的函数的零点，画出图象判断，利用特殊函数值判断即可 9为了得到 的图象，只需要将 （ ） A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 由于把函数 的图象向右平移 个单位，可得的图象，从而得出结论 【解答】 解： 函数 x+ ），函数 =x）， 故把函数 的图象向右平移 = 个单位，可得 y=（ x） + = 的图象， 故选： D 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，左加右减，属于中档题 10定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x0 时， f（ x） = ， 则关于 x 的函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的所有零点之和为（ ） A 1 2a B 2a 1 C 1 2 a D 2 a 1 【考点】 函数的零点 【专题】 数形结合；函数的性质及应用 【分析】 函数 F（ x） =f（ x） a（ 0 a 1）的零点转化为：在同一坐标系内 y=f（ x）， y= 作出两函数图象，考查交点个 数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数 f（ x）在 x0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案 【解答】 解： 当 x0 时， f（ x） = ； 即 x0， 1）时， f（ x） = （ x+1） （ 1， 0； 第 9页（共 17页） x1， 3时， f（ x） =x 2 1， 1； x（ 3， +）时， f（ x） =4 x（ ， 1）； 画出 x0 时 f（ x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出 x 0 时 f（ x）的图象，如图所示； 则直线 y=a，与 y=f（ x）的图象有 5 个交点，则方程 f（ x） a=0 共有五个实根， 最左边两根之和为 6，最右边两根之和为 6， x（ 1， 0）时， x（ 0， 1）， f（ x） = （ x+1）， 又 f（ x） = f（ x）， f（ x） = （ x+1） = （ 1 x） 1=1 x）， 中间的一个根满足 1 x） =a，即 1 x=2a， 解得 x=1 2a， 所有根的和为 1 2a 故选： A 【点评】 本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目 二、填空题（本题共 5小题，每小题 5分，共 25分） 11已知 + ） = ， （ ， 0），则 2 【考点】 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系 【专题】 计算题；三角函数的求值 【分析】 由 （ ， 0） + ） = ，利用诱导公式可求得 而可求得 【解答】 解： + ） =+ ） = ， ， 又 （ ， 0）， 第 10页（共 17页） ， = 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题 12已知函数 f（ x） =2x+2ax+b，且 f（ 1） = ， f（ 2） = ，则实数 a= 1 【考点】 函数的值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由已知得 ，由此能求出实数 a 的值 【解答】 解： f（ x） =2x+2ax+b，且 f（ 1） = ， f（ 2） = ， ，整理得 ， 解得 a= 1， b=0， 实数 a= 1 故答案为： 1 【点评】 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 13 0 【考点】 对数的运算性质 【 专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用对数的运算性质即可得出 【解答】 解：原式 = 故答案为： 0 【点评】 本题考查了对数的运算性质，属于基础题 14已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ） = 2 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 三角函数的求值 【分析】 利用分段函数求出 f（ ）的值，然后求解 即可 第 11页（共 17页） 【解答】 解：因为 ， 所以 f（ ） = = 1， 所以 =f（ 1） =2（ 1） 3= 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查函数值的求法，分段函数的 应用，考查计算能力 15对于下列结论： 函数 y=（ xR）的图象可以由函数 y=a 0 且 a1）的图象平移得到； 函数 y=2y=图象关于 y 轴对称； 方程 2x+1） =2）的解集为 1， 3； 函数 y=1+x） 1 x）为奇函数 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用图象的平移关系判断 利用对称的性质判断 解对数方 程可得 利用函数的奇偶性判断 【解答】 解： y= 的图象可由 y= 个单位得到， 正确； y=2x与 y=为反函数，所以的图象关于直线 y=x 对称， 错误； 由 2x+1） =2）得 ，即 ，解得 x=3所以 错误； 设 f（ x） =1+x） 1 x），定义域为（ 1， 1），关于原点对称， f（ x） =1 x） 1+x） = 1+x） 1 x） = f（ x） 所以 f（ x）是奇函数， 正确，故正确的结论是 故答案 为： 【点评】 本题考查函数的性质与应用正确理解概念是解决问题的关键 三、解答题 16已知集合 A=x|2x8， B=x|1 x 6， C=x|x a （ 1）求 A B； （ 2）若 AC，求 a 的取值范围 【考点】 交集及其运算 【专题】 集合 【分析】 （ 1）根据并集运算即可求 A B； （ 2）若 AC，根据集合关系即可求 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1） A=x|2x8， B=x|1 x 6， 第 12页（共 17页） A B=x|1 x8； （ 2） A=x|2x8， C=x|x a， 若 AC，则 a 8， 即 a 的取值范围是（ ， 8） 【点评】 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，比较基础 17已知 （ 1）化简 f（ ） （ 2）若 是第三象限角，且 ，求 f（ ）的值 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用诱导公式化简 f（ ）的结果为 （ 2）利用诱导公式求出 由同角三角函数的基本关系求出 而得到 f（ ）的值 【解答】 解：（ 1）= （ 2） ， ， 又 为第三象限角， ， 【点评】 本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简 f（ ）是解题的突破口 18函数 f（ x） =x+），其中 0， | （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）写出 f（ x）的最值及相应的 x 的取值构成的集合 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【专题】 三角函数的图像与性质 第 13页（共 17页） 【分析】 （ 1）利用图象的最低点确定 A 的值，利用周期确定 ，再根据图象过点（ ， 0），确定 的值，即可求函数 f（ x）的解析式； （ 2）由 2x+ =2k ， kZ， 2x+ =2 kZ，即可解得 f（ x）的最值及相应的 x 的取值构成的集合 【解答】 解：（ 1）由题意，函数的最小值为 1， A=1， T=4（ ） =， =2， f（ x） =2x+）， 图象过点（ ， 0）， 2 +） =0， | ， = f（ x） =2x+ ）； （ 2）当 2x+ =2k ， kZ，即有 xx|x=k ， kZ时， f（ x） ； 当 2x+ =2 kZ，即有 xx|x=， kZ时， f（ x） 1 【点评】 本题主要考查了由 y=x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题 19已知函数 y=f（ x），若存在 得 f（ =称 函数 y=f（ x）的一个不动点，设二次函数 f（ x） = b+1） x+b 2 （ 1）当 a=2， b=1 时，求函数 f（ x）的不动点； （ 2）若对于任意实数 b，函数 f（ x）恒有两具不同的不动点，求实数 a 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）当 a=2， b=1 时，解方程 f（ =可求函数 f（ x）的不动点； （ 2）根据函数 f（ x）恒有两具不同的不动点，转化为二次函数和判别式之间的关系，即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a=2， b=1 时， f（ x） =2x 1， 设 x 为其不动点， 即 2x 1=x， 则 2x2+x 1=0， 解得 ， 即 f（ x）的不动点为 （ 2）由 f（ x） =x 得 a x2+bx+b 2=0， 第 14页（共 17页） 关于 x 的方程有相异实根，则 4a（ b 2） 0， 即 4a 0， 又对所有的 bR， 4a 0 恒成立 故有（ 4a） 2 48a 0， 得 0 a 2 【点评】 本题主要考查二次函数的图象和性质，正确理解不动点的定义是解决本题的关键 20已知函数 f（ x） =b中 a， b 为常数且 a 0， a1）的图象经过点 A（ 1， 6）， B（ 3，24） （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）若对于任意的 x（ ， 1，（ ） x+（ ） x m0 恒成立，求 m 的取值范围； （ 3）若 g（ x） = ，试用定义法证明 g（ x）在区间 1， +）上单调递减 【考点】 指数函数综合题 【专题】 计算题；函数的性质及 应用 【分析】 （ 1）运用代入法，解方程组，即可得到 a， b，进而得到 f（ x）的解析式； （ 2）不等式化为 m（ ） x+（ ） x在 x1 恒成立，运用指数函数的单调性求得右边的最小值即可； （ 3）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤 【解答】 （ 1）解：由题意可得 ， 解得 a=2， b=3 即有 f（ x） =32x； （ 2）解：对于任意的 x（ ， 1，（ ） x+（ ） x m0 恒成立， 即为对于任意的 x（ ， 1，（ ） x+（ ） x m0 恒成立 即有 m（ ） x+（ ） x在 x1 恒成立， 由于 y=（ ） x+（ ） x在 x1 递减，即有 y + = ， 即 y 的最小值为 ， 则