北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学 人教版九年级上册（新）第24章 圆 综合练习题 教师版 含答案

015年度第一学期 初三数学 第 24 章 圆 综合 练习 题 一、 与圆有关的中档题 ：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等） 1. 如图， O 的直径， 弦， C ， E ， 2， 4 （ 1）求证： A B E A D B ，并求 长； （ 2）延长 F ，使 O ，连接 判断直线 O 的位置关系，并说明理由 . 1解： C ， A B C C . ， A B C D 又 B A E D A B ， A B E A D B B 2 2 4 2 1 2A B A D A E A E E D A E 23 （舍负） （ 2）直线 O 相切 连接 O 的直径， 90 在 中，由勾股定理，得 222 1 2 2 4 4 8 4 3B D A B A D 11 4 3 2 322B F B O B D 23， B F B O A B （或 B F B O A B O A ， 是等边三角形， F 60O B A O A B ， 30F B A F ） 90O A F 又 点 A 在圆上， 直线 O 相切 2. 已知： 如图，以等边三角形 边 直径的 O 与边 别交于点 D、 E，过点 D 作 足为 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若等边三角形 边长为 4，求 长； （ 3）求图中阴影部分的面积 1）证明：连接 是等边三角形 ， C=60 ， A=60 ， D， 是等边三角形 . 60 . 30 . 80 - 90 . O 的切线 . （ 2） 是等边三角形， D=1. 中， 30， 1. 322 （ 3）连接 （ 2）同理可知 E 为 点 ， 2 1 1 2 33)(21 D O 32360 2602 形 322 33 O E 形直角梯形 3、如图，已知 圆 O 的直径 直于弦 点 E ，连接 延长交 点 F ，且 D （ 1）请证明： E 是 中点； （ 2）若 8，求 长 3、（ 1）证明：连接 如图 D ， D 且 E， 过圆心 O D， D ， 是等边三角形 30F C D 在 中， 12C， 12O E O B 点 E 为 中点 （ 2）解：在 中 8， 1 42O C A B 又 E ， 2 3241622 2 4 3C D C E 4如图， O 的直径，点 C 在 O 上， 60， P 是 一点，过 P 作 垂线与 延长线交于点 Q，连结 点 C 作 交 点 D 1）求证： 等腰三角形； （ 2）如果 O 的值 4 （ 1）证明：由已知得 0， 0， Q=30， 0 . 0， Q， 等腰三角形 . （ 2）解：设 O 的半径为 1，则 ， ， 121 3 . 等腰三角形 等腰三角形 等， C= 3 . C+ 3 ， 3121 B 332 312 P 1312 31 ， 3 . 5 已知 :如图 , 半圆 O 的直径 ,A 是 长线上的一点， 延长线于点 C, 交半圆O 于点 E， 且 E 为 中点 . （ 1）求证： 半圆 O 的切线； （ 2）若 6 6 2A D A E， ，求 长 （ 1）连接 E 为 中点， F O B E C B E . B ， O E B O B E . O E B C B E . C=90 . C=90 . 即 又 半圆 O 的半径， 半圆 O 的切线 . （ 2）设 O 的半径为 x ， C ， 2 2 2( 6 ) ( 6 2 ) . 3x . 12A B A D O D O B . A O E A B C . C. 即 9312 4. 内接于 O，过点 A 的直线交 ，交 延长线于点 D ， 且 P 1）求证： C ； （ 2）如果 60， O 的半径为 1，且 P 为弧 中点，求 . （ 1）证明： 联结 P C. （ 2）由（ 1）知 C 0， 等边三角形 0， 点， 2 0， 0， 径， ， 2 ， 在 ，由勾股定理得 ， =3 7如图， 在 ， C=90 , 平分 线， O 是 一 点 , 以 半径 的 O 经过 点 D. （ 1）求证： O 切线； （ 2）若 , , 求 长 . 7.（ 1）证明 : 如图 1，连接 D, 分 C=90. O 的切线 . 图 1 （ 2）解法一 : 如图 2，过 D 作 E. C=90. 又 D, C, C=3. 在 ， 90,由勾股定 理，得 422 图 2 设 AC=x（ x0） , 则 AE=x. 在 ， C=90, D+, AB=x+4, 由勾股定理，得 82= (x+4) 2. 解得 x=6. 即 . 解法二 : 如图 3，延长 E，使得 B. D, D=5. 在 ， 0, 由勾股定理，得 422 5 分 图 3 t ， 0, D+, 由勾股定理 ， 得 . 即 82=() . 8 如图 ， O 的直径 ， O 的一条弦 ， 且 E， 连结 （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 长 . 8、 证明：（ 1） 连结 O 的直径， A= 2 又 C， 1= A 2即： 解：（ 2）由（ 1）问可知， A= 2， E 又 ， E=4 0 9 如图，已知 O 的直径，点 A 、 F 在 O 上， ，垂足为 D ， E ，且 （ 1）求证： ； （ 2）如果53 54求 长 9 解： （ 1）延长 O 交于点 G 直径 点 D， E， F （ 2）在 ， 3 设 x， x，则 x， x，在 ，由勾股定理得 x 在 ，由勾股定理得 5 ， 222 )54()8()4( x=1（负舍） x=8 10如图，已知直径与等边 的高相等的圆 O 分别与边 切于点 D、 E，边 圆心 O 与圆 O 相交于点 F、 G。 （ 1） 求证： C ； （ 2） 若 的边长为 a，求 的面积 . 10. (1) 是等边三角形 , 60B , 60A , 圆 O 的切线， D、 E 是切点， E. 60B D E , 60A ,有 (2)分别连结 点 H. 圆 O 的切线， D、 E 是切点， O 是圆心， 90A D O O E C ， E， C. A D O C E O ,有 C=12a . 圆 O 的直 径等于 的高 ,得半径 34 a, C+2a+ 34 a. , 6 0E H O C C , 30C O E ,38 a . 12 12 ( 34 a+12a) 38 a, 22336 4 3 2= 23 2 364 a . 11 如图，在 ， 90 ，以 直径的 O 交 点 P， Q 是 中点 （ 1）请你 判断直线 O 的位置关系，并说明理由 ； （ 2） 若 A 30， 3，求 O 半径的长 . 3题图 11、解：（ 1） 直线 O 相切 . 连结 O 的直径 ， 90 . 又 Q 是 中点， Q= 3 4. 90， 2+ 4=90 . 1 2， 1+ 3=90 . 即 0 . 直线 O 相切 . （ 2） A 30， 3， 在 ，可求 . 在 ，可求 4 33. 2 33. O 半径的长 为 2 33. 12如图，已知点 线 ，点 12B， 若点 P 是 O 上的一个动点 ,且 30 ,3时，求 面积的最大值 12、解 :连结 由 C 是 中 点 ,且 12B,可证得 0. 则 O=60. 可求得 C=2. 过点 O 作 E，且延长 圆于点 F 则 P(F)E 是 上的最大的高 . 在 , 0, 解得 3. 所以 23 . 故 11 2 ( 2 3 )22 C P E . 即 23. 13如图，等腰 ， C=13， 0，以 直径作 O 交 点 D，交 点 G，过点D 作 O 的切线交 点 E，交 延长线与点 F. （ 1）求证： （ 2）求 F 的值 . 证明 ： （ 1）联结 D C B B O 的切线， O 的半径 （ 2）联结 O 的直径 0 F= C 2 ， 22 12A D A C C D C=G 12013A D B ， 120169 F=12016914 （应用性问题）已知：如图，为了 测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有 30的直角三角尺按图示的方式测量 . (1)若 O 分别与 于点 B、 C，且 C,若 O 与 切 . 求证 : O 与 切； (2)在满足 (1)的情况下，当 、 分别为 三分之一点时， 且 ，求 弧长 . （ 1）证明：连结 根据题意 , 0 . 在 , C,A,C, 所以 所以 90 . 则 圆的切线 . (2)因 90 , 且 30 , 则 120 . 又 1 13A C A F, 60 , 故 3. 所以 长为 33. 二、 圆与相似 综合 3题图 已知：如图， O 的内接 ， 5， 15， 交 延长线于 D， E. （ 1）求 D 的度数； （ 2）求证： 2A C A D C E； （ 3） 求 15 （ 1）解： 如图 3， 连结 O 的内接 ， 5， 2 90 . C ， 45 . D = 45 . （ 2）证明： 45， D =45， D . C 2A C A D C E （ 3）解法一： 如图 4， 延长 延长 线于 F，连结 F= 90 . 15， 30 . 60， 30 . 12A. F 2B C B O O O F O F，即 . 解法二：作 M，设 O 的半径为 r，可得 32r， r， 30 ，3t a n 3 0 6M E O M r ， 233 r ， 33r ，所以 2A. 16 如图 ， O 的直径为 过半径 中点 G 作弦 ，在 上取一点 D ，分别作直线，交直线 点 . 求 和 的度数； 求证： ； 如图 ，若将垂足 G 改取为半径 任意一点，点 D 改取在 上，仍作直线 ，分别交直线 点 时是否仍有 成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。 B 1） （第 16 题） （ 2） 16解：（ 1） ， . 在 中， ， 03 C . 60 又 E 的度数的度数的度数的度数 , 12 0C D o F D M . （ 2）证明： 12 0C O o C O M , . 在 和 中， . M . 又 ， . （ 3） 结论仍 成立 . 证明如下： C D o F D M ， 又 的度数的度数的度数的度数 C O E ， C O o F D M . ， 在 和 中， . M . . 三、 圆与三角函数综合 17 已知 O 过点 D（ 4， 3），点 H 与点 D 关于 y 轴对称，过 H 作 O 的切线交 y 轴于点 A（如图 1）。 求 O 半径； 求 的值； 如图 2，设 O 与 y 轴正半轴交点 P，点 E、 F 是线段 的动点（与 P 点不重合），联结并延长 O 于点 B、 C，直线 y 轴于点 G，若 是以 底的等腰三角形，试探索 大小怎样变化？请说明理由。 O 4 , 3 ) 4 , 3 )图 1 图 2 17 (1)点 4,3D 在 O 上， O 的半径 5r 。 （ 2）如图 1，联结 Q，则 结 3s i n s i O O H Q 。 （ 3）如图 2，设点 D 关于 y 轴的对称点为 H，联结 Q，则 又 F， 分 H 。 联结 4 , 3 )4 ,3 )图 1 图 2 3s i n s i O O H Q 四、 圆与二次函数（或坐标系）综合 18、 如图 ， M 的圆心在 x 轴上，与坐标轴交于 A（ 0， 3 ）、 B（ 1， 0），抛物线 233y x b x c 经过 A、 B 两点 （ 1） 求抛物 线的函数解析式； （ 2） 设 抛物线的顶点为 P 试判断点 P 与 M 的位置关系，并说明理由； （ 3） 若 M 与 y 轴的另一交点为 D，则由线段 段 弧 成的封闭图形 面积是 多少？ 18 解：（ 1） 抛物线经过点 A、 B， 解得 32 233 2 2）由 33 323 3 2 3 34)1(33 2 顶点 P 的坐标为（ 1，334） 在 , 3 , (1)2 =3, . , ,即点 O 的坐标为（ 1， 0） 34 2. 顶点 P 在圆外； （）连结 点 y 轴 , S . 由线段 段 弧 成的封闭图形 面积 =扇形 面积 . 在 ,3, 0 . 封闭图形 面积 = 21 2 0 43 6 0 319 如图，在平面直角坐标系中， O 是原点， 以点 C（ 1， 1）为圆心， 2 为半径作圆，交 x 轴于 A， B 两点，开口向下的抛物线经过点 A， B，且其顶点 P 在 C 上 （ 1）求 大小； （ 2）写出 A， B 两点的坐标； （ 3）试确定此抛物线的解析式； （ 4）在该抛物线上是否存在一点 D，使线段 相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 19解： （ 1） 作 x 轴， H 为垂足 ，半径 ， 0 0 20 （ 2） ，半径 ， 3故 (1 3 0)A ， ， )031( ，B （ 3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点 P 的坐标为（ 1， 3） 设抛物线解析式为 2( 1) 3y a x ， 把点 )031( ，B 代入解析式， 解得 1a 所以 2 22y x x （ 4）假设存在点 D 使线段 相平分，则四边形 平行四边形 所以， D 且 D PC y 轴， 点 D 在 y 轴上 2 2，即 )20( ，D )20( ，D 满足 2 22y x x ， 点 D 在抛物线上 存在 )20( ，D 使线段 相平分 20（ 以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题 ） 如图，半径为 1 的 1O 与 x 轴交于 两点，圆心12 0)， ，二次函数 2y x b x c 的图象经过 两点，其顶点 为 F （ 1）求 的值及二次函数顶点 F 的坐标； （ 2）将二次函数 2y x b x c 的图象先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，设平移后图象的顶点为 C ，在经过点 B 和点 0, 3D 的直线 l 上是否存在一点 P ，使 的周长最小，若存在，求出点 5坐标；若不存在，请说明理由 . （ 1）由题意得， A (1 , 0) , B (3 , 0) . 则有 109 3 0 ， 解得 4, 二次函数的解析式为 22 4 3 2 1y x x x 顶点 F 的坐标为（ 2， 1） （ 2） 将 221 平移后的抛物线解析式为 2 ，其顶点为 C (0,0). 直线 l 经过点 B （ 3， 0）和点 D （ 0， - 3）， 直线 l 的解析式为 3 作点 A 关于直线 l 的对称点 A ，连接 、 ， 直线 l ，设垂足为 E ，则有 A E ， 由题意可知， 45 , 2， 45 ， 2A B 90 . 过点 A 作 垂线，垂足为 F ,四边形 为矩形 3F A O B 3, 2A 直线 的解析式为 23. 2 , 的解为 9 , 直线 与直线 l 的交点为点 96,55P 五、 以圆为背景的 探究 性问题 21 下图中 , 图 (1)是一个扇形 其作如下划分： 第一次划分： 如图 (2)所示，以 一半 长 为半径画弧交 点 点 作 平分线，交 点 C，交111， 得到扇形的总数为 6 个，分别为： 扇形 形形 形 形 形 第二次划分： 如图 (3)所示，在扇形 按上述划分方式继续划分， 即以 长为半径画弧交 点 点 作 平分线，交111，交22以得到扇形的总数为 11 个； 第三次划分： 如图 (4)所示，按上述划分方式继续划分； 依次划分下去 . (1) 根据题意 , 完成右边的表格； (2) 根据右边的表格 , 请你判断按上述划分方式 , 能否得到扇形的总数为 2008个 ? 为什么 ? (3) 若图 (1)中的扇形的圆心角 m，且扇形的半径 长为 R 我们把 图 (2)第一次划分的图形中，扇形11扇形11为第一次划分的最小扇形，其面积记为 图 (3)第二次划分的最小扇形面积记为， 把 第 n 次划分的最小扇形面积记为 求1值 . 21解：（ 1） 划分次数 扇形总个数 1 6 2 11 3 16 4 21 n 5n+1 （ 2）不能得到 2008 个扇形，因为满足 5n+1=2008 的正整数 n 不存在； （ 3）2211112 2 2 23 6 0 3 6 0 8n n n m 22圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作 （如图）； 圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”， 记作 1 ()2A O B A B C D（如图）请回答下列问题： （ 1）如图，猜测 A P B A B C D 与 、 有 怎 样 的 等 量 关 系 ,并说明理由； （ 2）如图，猜测 A P B A B C D