湖南省益阳市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 1已知全集 U= 1， 0， 1， A=0， 1，则 ） A 1 B 1， 0， 1 C 1， 0 D 1， 1 2若直线的斜率为 ，则直线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 3下列函数在（ 0， +）上是减函数的是（ ） A y=|x| B y= C y= y=2x 4设 a= ，则 a， b 的大小关系是（ ） A a b B a b C a=b D不能确定 5下列命题正确的是（ ） A如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 B如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线 C如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面 D如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线 6如图，在正方体 ） A B C D 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 4 B 5 C 6 D 8 8在空间直角坐标系中，已知三点 A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 1）， C（ 0， 1， 1），则三角形 （ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 9设函数 与 g（ x） =3 x 的图象的交点为（ ，则 在的区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 10设 f（ x） = ， 则 ff （ 1） =（ ） A B 1 C 2 D 4 11方程 x2+4y+（ a2+a） =0 表示一个圆，则 a 的取值范围是（ ） A 4， +） B（ 4， +） C（ ， 4 D（ ， 4） 12已知函数 f（ x） =ln|x 2| |x 2|，则它的图象大致是（ ） A B CD 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 13以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 所得圆柱的体积为 14已知 2x+2 x=3，则 4x+4 x= 15已知直线 l： 2x y+1=0 与圆（ x 2） 2+y2= r 等于 16牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 y（小时）与储藏温度 x（ ）的关系为指数型函数 y=牛奶在 10 的环境中保鲜时间约为 64 小时，在 5 的环境中保鲜时间约为 80小时，那么在 0 时保鲜时间约为 小时 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分 明过程或演 算步骤 17已知集合 A=x|2x8， B=x|1 x 6， C=x|x a （ 1）求 A B； （ 2）若 AC，求 a 的取值范围 18已知平面直角坐标系中，三点 A（ 1， 1）， B（ 5， 2）， C（ 4， m），满足 （ 1）求实数 m 的值； （ 2）求过点 C 且与 行的直线的方程 19已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f（ x） =2x（ 1 x） （ 1）在如图所给直角坐标系中画出函数 f（ x）的草图，并直接写出函数 f（ x）的零点； （ 2）求出函数 f（ x）的解析 式 20如图，正方形 正方形 一条公共边 平面 平面 M 是 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： （ 3）求三棱锥 M 体积 21已知直线 l： x y+a=0（ a 0）和圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=19 相交于两点 A、 B，且 |2 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）设 O 为坐标原点，求证： 22已知函数 f（ x） =1+x） （ 1）若函数 g（ x） =f（ + g（ x）是偶函数，求 a 的值； （ 2）若 h（ x） =f（ x） f （ x） +2m 1在区间 e 1， 1上有最小值 4，求 m 的值 2015年湖南省益阳市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 1已知全集 U= 1， 0， 1， A=0， 1，则 ） A 1 B 1， 0， 1 C 1， 0 D 1， 1 【考点】 补集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 由题意，直接根据补集的定义求出 可选出正确选项 【解答】 解：因为 U= 1， 0， 1， A=0， 1， 所以 1 故选： A 【点评】 本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键 2若直线的斜率为 ，则直线的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 【考点】 直线的倾斜角 【专题】 直线与圆 【分析】 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出 【解答】 解：设直线的倾斜角为 则 ， =60 故选： C 【点评】 本题考查了直线的倾斜角与斜 率的关系，属于基础题 3下列函数在（ 0， +）上是减函数的是（ ） A y=|x| B y= C y= y=2x 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据一次函数、反比例函数、指数函数和 y=单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A x 0 时， y=|x|=x 为增函数， 该选项错误； B. 在（ 0， +）上是减函数， 该选项正确； C y=0， +）上是增函数， 该选项错误； D指数函数 y=20， +）上是增函数， 该选项错误 故选： B 【点评】 考查一次函数、反比例函数及指数函数的单调性，清楚函数 y= 4设 a= ，则 a， b 的大小关系是（ ） A a b B a b C a=b D不能确定 【考点】 根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用指数函数的单调性求解 【解答】 解： a= ， 0 ， ， a b 故选： B 【点评】 本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数 函数的性质的合理运用 5下列命题正确的是（ ） A如果一条直线平行一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 B如果一条直线平行一个平面，那么这条直线平行这个平面内的所有直线 C如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直这个平面 D如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直这个平面内的所有直线 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离 【分析】 在 A 中，这条直线有可能包含于这个平面；在 B 中，这条直线和这个平面内的所 有直线平行或异面；在 C 中，当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面；在 D 中，由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线 【解答】 解：在 A 中，如果一条直线平行一个平面内的一条直线， 那么这条直线平行于这个平面或包含于这个平面，故 A 错误； 在 B 中，如果一条直线平行一个平面， 那么这条直线和这个平面内的所有直线平行或异面，故 B 错误； 在 C 中，如果一条直线垂直一个平面内的无数条直线， 当这无数条直线没有交点时，那么这条直线不一定垂直这个平面，故 C 错误； 在 D 中，如果一条直线垂直一 个平面， 那么由直线与平面垂直的性质定理得这条直线垂直这个平面内的所有直线，故 D 正确 故选： D 【点评】 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 6如图，在正方体 ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间角 【分析】 由 成角，由此能求出 成角的余弦值 【解答 】 解： 设正方体 棱长为 a， ， ， = = 故选： B 【点评】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 4 B 5 C 6 D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题；空间位置关系与距离；立体几何 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，代入柱体体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱， 其底面面积 S= （ 1+2） 2=3， 高 h=2， 故体积 V=， 故选： C 【点评】 本 题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键 8在空间直角坐标系中，已知三点 A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 1）， C（ 0， 1， 1），则 三角形 （ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角 三角形 D等边三角形 【考点】 空间两点间的距离公式 【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用 【分析】 由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状 【解答】 解： 三点 A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 1）， C（ 0， 1， 1）， | = ， | = ， | =1， 三角形 直角三角形 故选： A 【点评】 本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两点间距离公式的合理运用 9设函数 与 g（ x） =3 x 的图象的交点为（ ，则 在的区间为（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数的图象 【专题】 计算题；数形结合；构造法；函数的性质及应用 【分析】 令 f（ x） g（ x） = +x 3，从而可判断 f（ 2） g（ 2） = 1 0， f（ 3） g（ 3） = 0，从而解得 【解答】 解：令 f（ x） g（ x） = +x 3， f（ 2） g（ 2） = 1 0， f（ 3） g（ 3） = 0， 故（ f（ 2） g（ 2）（ f（ 3） g（ 3） 0， 故 在的区间为（ 2， 3）， 故选： C 【点评】 本题考查了函数的零点的判定定理的应用及数形结合的思想应用 10设 f（ x） = ，则 ff （ 1） =（ ） A B 1 C 2 D 4 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用分段函数的性质求解 【解答】 解： f（ x） = ， f（ 1） = 1+2=1， ff （ 1） =f（ 1） = 故选： A 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用 11方程 x2+4y+（ a2+a） =0 表示一个圆，则 a 的取值范围是（ ） A 4， +） B（ 4， +） C（ ， 4 D（ ， 4） 【考点】 二元二次方程表示圆的条件 【专题】 计算题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 根据二元二次方程表示圆的条件进行求解即可 【解答】 解：方程 x2+4y+（ a2+a） =0 表示一个圆， 则 46 4（ a2+a） 0， 解得 a 4， 故选： D 【点评】 本题主要考查圆的一般方程的应用，根据二元二次方程表示圆的条件是解决本题的 关键 12已知函数 f（ x） =ln|x 2| |x 2|，则它的图象大致是（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【专题】 计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由题意可判断函数 f（ x）的图象关于直线 x=2 对称，且在（ 2， 3）上是增函数，在（ 3， +）上是减函数，从而解得 【解答】 解： f（ x+4） =ln|x+2| |x+2|= x 2| | x 2|=f（ x）， f（ x+4） =f（ x）， 函数 f（ x）的图象关于直线 x=2 对称， 故排除 C、 D； 又 当 x 2 时， f（ x） =x 2）（ x 2）， f（ x） = 1= ， f（ x）在（ 2， 3）上是增函数，在（ 3， +）上是减函数， 故选： A 【点评】 本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想应用 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 13以边长为 2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的体积为 8 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】 数形结合；数形结合法；立体几何 【分析】 圆柱的底面半径和高均为 2，代入体积公式计算即可 【解答】 解：圆柱的底面半径和高均为 2， 圆柱的体积 V=222=8 故答案为： 8 【点评】 本题考查了圆柱的定义与结构特征，属于基础题 14已知 2x+2 x=3，则 4x+4 x= 7 【考点】 有理数指数幂的化简求值 【专题】 计算题 【分析】 直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案 【解答】 解： 2x+2 x=3， 4x+4 x=（ 2x+2 x） 2 2=32 2=7 故答案为： 7 【点评】 本题考查 了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用 ， 是基础题 15已知直线 l： 2x y+1=0 与圆（ x 2） 2+y2= r 等于 【考点】 直线与圆的位置关系 【专题】 计算题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 根据圆心到直线的距离等于半径，可得 =r，由此求得 r 的值 【解答】 解：根据圆心（ 2， 0）到直线 l： 2x y+1=0 的距离等于半径，可得 =r，求得 r= ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题 16牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间 y（小时 ）与储藏温度 x（ ）的关系为指数型函数 y=牛奶在 10 的环境中保鲜时间约为 64 小时，在 5 的环境中保鲜时间约为 80小时，那么在 0 时保鲜时间约为 100 小时 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由已知条件列出方程组求出 a， k，由此能求出结果 【解答】 解： 保鲜时间 y（小时） 与储藏温度 x（ ）的关系为指数型 函数 y= 牛奶在 10 的环境中保鲜时间约为 64 小时， 在 5 的环境中保鲜时间约为 80 小时， ，解得 ， k=100， 在 0 时保 鲜时间 y=k=100 小时 故答案为： 100 【点评】 本题考查牛奶保鲜时间的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70分 明过程或演算步骤 17已知集合 A=x|2x8， B=x|1 x 6， C=x|x a （ 1）求 A B； （ 2）若 AC，求 a 的取值范围 【考点】 交集及其运算 【专题】 集合 【分析】 （ 1）根据并集运算即可求 A B； （ 2）若 AC，根据集合关系即可求 a 的取值范围 【解 答】 解：（ 1） A=x|2x8， B=x|1 x 6， A B=x|1 x8； （ 2） A=x|2x8， C=x|x a， 若 AC，则 a 8， 即 a 的取值范围是（ ， 8） 【点评】 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，比较基础 18已知平面直角坐标系中，三点 A（ 1， 1）， B（ 5， 2）， C（ 4， m），满足 （ 1）求实数 m 的值； （ 2）求过点 C 且与 行的直线的方程 【考点】 待定系数法求直线方程 【专题】 转化思想；直线与圆 【分析】 （ 1）由 得 1，解得 m 即可 （ 2）由（ 1）可知： C ，利用平行直线的斜率之间的关系可得斜率，再利用点斜式即可得出 【解答】 解：（ 1） = ， =2 m， （ 2 m） = 1，解得 m= （ 2）由（ 1）可知： C ， 要求的直线方程为： y = （ x 4），化为 9x 12y+4=0 【点评】 本题考查了考查了相互平行与相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f（ x） =2x（ 1 x） （ 1）在如图所给直角坐标系中画出函数 f（ x）的草图，并直接写出函数 f（ x）的零点； （ 2）求出函数 f（ x）的解析式 【考点】 函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象 【专题】 转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据函数奇偶性的性质以及函数零点的定义进行求解即可 （ 2）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可 【解答】 解：（ 1）当 x0 时，由 f（ x） =2x（ 1 x） =0 得 x=0 或 x=1， f（ x）是定义在 R 上的奇函数 ， 当 x 0 时，函数的零点为 1， 即函数 f（ x）的零点为 0， 1， 1 （ 2）若 x 0，则 x 0， x0 时， f（ x） =2x（ 1 x） 当 x 0 时， f（ x） = 2x（ 1+x） f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x） = 2x（ 1+x） = f（ x）， 即 f（ x） =2x（ 1+x）， x 0 即 f（ x） = 【点评】 本题主要考查函数零点的求解以及函数解析式的求解决，利用函数奇偶性的定义和性质进行转化是解决本题的关键 20如图，正方形 正方形 一条公共边 平面 平面 M 是 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： （ 3）求三棱锥 M 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【专 题】 综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何 【分析】 （ 1）连接 O，连接 明 用线面平行的判定证明： 面 （ 2）证明 平面 可证明： （ 3）利用等体积法求三棱锥 M 体积 【解答】 （ 1）证明：连接 O，连接 正方形， C， M 是 中点， 面 面 平面 （ 2）证明： 平面 平面 平面 E=B， 平面 面 （ 3）解：由（ 2）知道， 平面 M 是 中点， S =1， 平面 D = 【点评】 本题考查线面平行、垂直的判定，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21已知直线 l： x y+a=0（ a 0）和圆 C：（ x 3） 2+（ y 2） 2=19 相交于两点 A、 B，且 |2 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）设 O 为坐标原点，求证： 【考点】 直线与圆的位置关系 【专题】 综合题；方程思想；综合法；直线与圆 【分析】 （ 1）由题意，圆心到直线的距离 d=