2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案解析

1 全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答 2016 年 6 月 5 日上午 8 : 3 0 1 1 : 0 0 一、填空题（每小题 7 分，共 56 分） 1 、若 22016l o g 6 5y x a x 的值域为 R ，那么 a 的取值范围是 答案：16 16a 解：由值域 ， 2 6 5 1x ， 2 6 4 0x a x 2 4 6 4 0a ， 16 16a . 2 、四面体 ， 是一个正三角形， 2D， D ， D ，则 D 到面 距离为 答案： 233 解：如图，据题意得， 22 22A B A D B D ， 于是 22B C C A A B ， 22 2C D A C A D ， 因 2 2 2B C B D C D，得 D ，从而以 D 为顶点的三面 角是三直三面角， 四面体体积 1433B C D S ，而 23 234 B ， 若设 D 到面 距离为 h ，则 1 2 333h S h ，由 2 3 433h ， 得到 233h 3 、若对于所有的正数 ,有 x y a x y ，则实数 a 的最小值是 答案： 2 解：由 22 1y x y ，得 2y x y， 2 O D C当 时取等 号 4 、已知 P 是正方形 切圆上的一点，记 ,A P C B P D ，则22t a n t a n 答案： 8 解：如图建立直角坐标系，设圆方程为 2 2 2x y r， 则正方形顶点坐标 为 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A r r B r r C r r D r r ， 若点 P 的坐标为 ( c o s , s P r r，于是直线 , , ,P A P B P C P 1 s i n 1 s i n,1 c o s 1 c o P ， 1 s i 1 s i n,1 1 c o P ， 所以 222t a n 4 ( c o s s i n )1 P C P P ， 2t a n 4 ( c o s s i n )1 P D P P ， 由此立得 22t a n t a n 8 解 2：取特例， P 在坐标轴上，则 ， 这时， 2t a n c o t 2 t a ， 2 2 2 2t a n t a n 2 2 8 5 、等差数列 2 , 5, 8, , 2 0 1 5与 4 , 9 ,1 4 , , 2 0 1 4的公共项（具有相同数值的项）的个数是 答案： 134 解：将两个数列中的各项都加 1 ，则问题等价于求等差数列 3, 6 , 9 , , 2 0 1 6与等差数列5 ,1 0 ,1 5 , , 2 0 1 5的公共项个数；前者是 1, 2 , 3 , , 2 0 1 6M 中的全体能被 3 整除的数，后者是 M 中的全体能被 5 整除的数，故公共项是 M 中的全体能被 15 整除的数，这种数有 2016 13415个 3 9876543216 、设 x 为锐角，则函数 y x x 的最大值是 答案： 439 解：由 22 s in c o sy x x ， 得 2 4 2 2 2 24 s i n c o s 2 ( 1 c o s ) ( 1 c o s ) 2 c o sy x x x x x 3 32 2 2( 1 c o s ) ( 1 c o s ) 2 c o s 2 1 6223 3 2 7x x x ， 所以 439y当 2 1时取得等号 7 、若将前九个正整数 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9分别填写于一张 33 方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是 解答：（答案有多种） 8 、把从 1 到 n ( 1)n 这 n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数 n 的最小值是 答案： 15 例如，排出的一个数列为 ( 8 , 1 , 1 5 , 1 0 , 6 , 3 , 1 3 , 1 2 , 4 , 5 , 1 1 , 1 4 , 2 , 7 , 9 ) 解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作 记这 n 个连续正整数的集合为 1, 2 , ,，由于 1n ， 则 M 中必有 2 ，而 2 7 9 ，所以 7n ，当 7n 时，从 1 到 7 这 7 个数可以搭配成满足条件的三个数段： (1 , 3 , 6 ) , ( 2 , 7 ) , ( 4 , 5 )，但它们不能连接成一个 7 项的数列，故应增加后续的数，增加 8可使得第一段扩充成 (8,1,3,6) ，增加 9 可使得第二段扩充成 (2,7,9) ，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即 10n ，而之前的数若与 8,9,10 邻接，只有 4 9 , 9 7 1 6 , 10 6 16 ，这三段扩充为 (8,1, 3, 6,10) ， (2,7,9) ， (4,5) ，仍旧不能连接，应当借助新的平方数 25 ， 从 1 到 10这 10 个数能搭配成和为 25 的最小数是 15 ，则 15n ，而当 1, 2 , ,1 5M 时，可排出上面的情形： ( 8 , 1 , 1 5 , 1 0 , 6 , 3 , 1 3 , 1 2 , 4 , 5 , 1 1 , 1 4 , 2 , 7 , 9 ) 二、解答题（共 64 分） 9 、（ 14 分）如图， 椭圆 221的一条直径， 过椭圆长轴的左顶点 A 作 平行线，交椭圆于 另一点 N ，交椭圆短轴所在直线于 M ， 证明： A M A N C O C D 证 1：椭圆方程为 c o s , s i nx a y b， 点 , , 0 ) , ( c o s , s i n )A a N a b ，则直线 程为c o ss a ， 3 代入椭圆方程得到 2 2 2 2 2 2( c o s s i n ) 2 c o s 0b a t a b t ， 22 2 2 22 c o sc o s s i t ， ()c o s 2， 6 因此 222 2 2 22c o s s i A N ， 9 又据 则点 ,( c o s , s i n )C O D O D，( c o s , s i n )D O D O D， 12 因为 , 2222 2 2 2c o s s i ，而， 5 2222 2 2 222 c o s s i C D C O ， 因此 A M A N C O C D 14 证 2： 易知 斜率 k 存在，不妨令 :CD y ，与椭圆方程联系， 解得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,a b k a b a b k a a k b a k b a k b a k 、 3 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 4 1,k a b k a C Db a k b a k , 2 2 22 2 221 k a C Db a k 6 程 为： , 0 ,y k x a M k a . 将 程与椭圆方程联立，得 2 2 2 2 3 2 2 2 2 220b a k x a k x k a a b 3 2 2 3 22 2 2 2 2 22 ,A N Na k a b a kx x xb a k b a k 9 2 22 2 22 ,1Nk a M a kb a k 12 22 3 2 2 2 4 2 222 2 2 2 2 22 2 24 2 1a b a k k a b a b ab a k b a kb a k ， 2 2 22 2 221a b A N C O C Db a k 14 10 、（ 15 分）如图， D 是 的旁心，点 A 关于直线 对称点为 E 证明： (1) 、 ,点共线； (2) 、 , , ,A B D 6 1、延长 M ，延长 N ,连 D 为旁心， 平分 ， 2 又 关于 称， 平分 D C N A C M , B C D M C E B C N A C E , B 、 C 、 E 三点共线。 5 2、过 C 作 /E 交 I ，则 C 7 I 为 心。连 则 分 , 10 90, B 、 D 、 C 、 I 四点共圆， 12 C B D C I D E A D , A 、 B 、 D 、 E 四点共圆。 15 11、（ 15 分） 设 ,正数，满足： 1xy yz ，证明： 22( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) (x y z x y y z x z x y 21 - z ) 证：据条件，即要证 22( 1 ) ( 1 ) ( 2x+y+1 也即 2 2 2 2 2 2 2 2) ( )y z x y y z x z 2x+y+z) 1-(x 3 将此式各项齐次化，因为2 2 2 2 2 2 21 ( ) 2 ( )x y y z x z x y y z x z x y z x y z 6 2 2 2 2 2 2( ) ( )x y z x y z x y y z x z 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )x y z y x z z x y x y z x y z 代入 ， 只要证 ()x y z 7 2 2 2 2 2 2 3 3 32 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y y z x z x y z y x z z x y x y z x y z 即3 3 3 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0x y z y x z z x y x y y z x z 12 也即 2 2 2( ) ( ) ( ) 0x y x y y z y z x z x z 。 此为显然，故命题得证 15 证 2：由题设得： 1 , 1 , 1y x z z x x y z y z z x y x y ， 三式相乘，故原不等式等价于证明： 2 2 21 1 1 1 1 1z x y z x y x y z 3 上式两边展开并化简得： 2 2 2x y z x y y z z x 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y z x y z x y z 6 配方得： 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y x z y z x y y z z x 2222 2 2x y z y z x z x y 9 即 2222 2 21 1 1 0z x y x y z y z x 12 2 2 20 , , 1 , 1 0 , 1 0 , 1 0 ,x y z x y z 显然成立 . 15 12 、（ 20 分） 设集合 1, 2 , , 2 0 1 6A ，对于 A 的任一个 1008 元子集 X ，若存在,x y X ，满足 ,x y x y ，则称 X 为“好集”，求最大的正整数 a ，（ ），使得任一个含 a 的 1008元子集皆为“好集” 解：因任何正整数 n 可以表为 2 形式，其中 N ， t 为正奇数，于是集合 A 可划分为以下 1008个子集： 2 ( 2 1 ) , , 1 2 0 1 6jA m m j N m ， 1, 2 , ,1 0 0 8j 4 8 对于集合 A 的任一个 1008 元子集 X ，只要集 X 中含有某一个, ( )x y x y ，因 122 ( 2 1 ) , 2 ( 2 1 )j y j ， 12，则 时 X 为好集； 以下证明正整数 a 的最大值为 671 ： 8 若 671a 时，对于 A 的任一个 1008元子集 X ，如果 X 中含有某个 X 便是好集；如果 008个集合，每个集合中恰有一个元素在 X 中，那么1007 中， 但 1007 2013A 为单元素集，于是 2013X ，而 2013a ， ( 2 0 1 3 6 7 1 3 3 )a ，这说明 X 仍是好集， 因此 671a 合于要求 12 下面说明当 672a 时，存在含 a 的集 X 不是好集；分两种情况： (1) 、若 1009a ，取 1008元集 0 1 0 0 9 , 1 0 1 0 , , 2 0 1 6X ，则 0， 因0不同元素 ，均有 x y ，故0种 a 不合要求 15 (2) 、若 6 7 2 1 0 0 8a ，记 1 6 7 2 0 , 1 , , 3 3 6X j j ， 20 2 ( 6 7 2 ) 0 , 1 , , 3 3 6X X j j ，令 12X X X ，则 1008X ，