杭州市余杭区2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 16页） 2015年浙江省杭州市余杭区高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=2， 4， 5，则 ） A B 1， 3， 5 C 1， 3， 6， 7 D 1， 3， 5， 7 2当 a 1 时，在同一坐标系中，函数 y=y=图象是（ ） A B C D 3下列函数中，是奇函数且在区间（ 0， 1）内单调 递减的函数是（ ） A y= y=x C y= y=把函数 y=图象向右平移 个长度单位，所得曲线的对应函数式（ ） A y=3x ） B y=3x+ ） C y=3x ） D y=3x+ ） 5若 （ 0），则 ）的值是（ ） A B C D 6函数 f（ x） =5|x|的值域是（ ） A（ ， 1 B 1， +） C（ 0， 1 D（ 0， +） 7函数 f（ x） = 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8已知函数 f（ x）是 R 上的增函数，对实数 a， b，若 a+b 0，则有（ ） A f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） B f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） C f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） D f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） 9若 0，则 a， b 满足的关系是（ ） 第 2页（共 16页） A 1 a b B 1 b a C 0 a b 1 D 0 b a 1 10函数 y=x ， 的值域是（ ） A ， B 2， 2 C 1， D 1， +1 11若 +） = ，则 为（ ） A 5 B 1 C 6 D 12已知 f（ x）为偶函数，当 x0 时， f（ x） =（ x 1） 2+1，则满足 ff（ a） + = 的实数 a 的个数为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 二填空题（本大题共 6小题，单空每小题 6分，多空每小题 6分，共 28分，将答案填在答题卷的相应位置） 13若函数 f（ x） =3x+ ），则 f（ x）的周期是 ； f（ ） = 14若 ，则 = ； 15已知某扇形的周长是 16，圆心角是 2 弧度，则该扇形的面积是 16若函数 f（ x） =35x+a 的一个零点在区间（ 2， 0）内，另一个零点在区间（ 1， 3）内，则实数 a 的取值范围是 17已知 f（ x） =4 区间 1， 3上是增函数，则 a 的取值范围是 18已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x+1） = ，当 x（ 0， 1时， f（ x） =2x，则 f（ 于 三解答题（本大题共 4小题，共 44分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 19函数 f（ x） =x+），（ A 0， 0， 0 ）图象的一段如图所示 （ 1）求此函数的解析式； （ 2）求函数 f（ x）在区间 上的最大值和最小值 第 3页（共 16页） 20已知函数 f（ x） = 为奇函数 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）试判断函数的单调性并加以证明； （ 3）对任意的 xR，不等式 f（ x） m 恒成立，求实数 m 的取值范围 21已知函数 f（ x） =2 x 1（ xR） （ 1）求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）若 f（ = ， ，求 值 22如图，正方形 边长为 1， P， Q 分别为 动点，且 周长为 2，设 AP=x， AQ=y （ 1）求 x， y 之间的函数关系式 y=f（ x）； （ 2）判断 大小是否为定值？并说明理由； （ 3）设 面积分别为 S，求 S 的最小值 第 4页（共 16页） 2015年浙江省杭州市余杭区高一（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=2， 4， 5，则 ） A B 1， 3， 5 C 1， 3， 6， 7 D 1， 3， 5， 7 【考点】 补集及其运算 【专题】 计算题；定义法；集合 【分析】 由全集 U 及 A，求出 A 的补集即可 【解答】 解： 集合 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7，集合 A=2， 4， 5， 1， 3， 6， 7， 故选： C 【点评】 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键 2当 a 1 时，在同一坐标系中，函数 y=y=图象是（ ） A B C D 【考点】 对数函数的图象与性质 【专题】 作图题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据底数与指数（对数）函数单调性即可判断 【解答】 解： a 1 时，函数 y=y=均为增函数， 故选： B 【点评】 本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对 数）函数单调性的关系是解答本题的关键 3下列函数中，是奇函数且在区间（ 0， 1）内单调递减的函数是（ ） A y= y=x C y= y=考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由奇函数的图象关于原点对称便可判断出 A 错误，可判断 y=x 和 y= 在（ 0， 1）内单调递增便可判断 B 错误，而根据奇函数和减函数的定义即可判断出 C 正确，根据 y= 错误 【解答】 解： A根据 y=图象知该函数不是奇函数， 该选项错误； 第 5页（共 16页） B y=x 和 在（ 0， 1）内都单调递增， 在（ 0， 1）内单调递增， 该选项错误； C y= 奇函数，且 x 增大时， y 减小， 该函数在（ 0， 1）内单调递减， 该选项正确； D由 y=图象知该函数在（ 01， 1）内单调递增， 该选项错误 故选 C 【点评】 考查奇函数图象的对称性，一次函数和反比例函数的单调性，奇函数和减函数的定义，清楚 y= y=图象 4把函数 y=图象向右平移 个长度单位，所得曲线的对应函数式（ ） A y=3x ） B y=3x+ ） C y=3x ） D y=3x+ ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据函数 y=x+）的图象变换规律即可求解 【解答】 解：把函数 y=长度单位，所得曲线的对应函数式为 y=（ x ） =3x ） 故选： A 【点评】 本题主要考查了函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 5若 （ 0），则 ）的值是（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由同角三角函数基本关系可得 入两角差的余弦公式计算可得 【解答】 解： 0 且 ， = ， ） = + = 故选： C 【点评】 本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题 6函数 f（ x） =5|x|的值域是（ ） A（ ， 1 B 1， +） C（ 0， 1 D（ 0， +） 第 6页（共 16页） 【考点】 指数函数的图象变换 【专题】 数形结合；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 在 x 上加绝对值的图象表明去掉绝对值后的原函数图象只保留 x 0 部分，然后关于 y 轴对称后得到的图象就是填绝对值的图象 【解答】 解： y=5其图象是过（ 0， 1），单调递增的， 而 y=5|x|的左侧图象是指数函数 y=5 具体图象如下： 故选： B 【点评】 本题主要考 查指数函数图象，和在 x 上填绝对值后的图象特点属于基础题 7函数 f（ x） = 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 简单线性规划 【专题】 数形结合；数形结合法；不等式 【分析】 作出分段函数的图象，数形结合可得 【解答】 解：作出分段函数 f（ x） = 的图象（如图）， 数形结合可得最大值为 4， 故选： D 第 7页（共 16页） 【点评】 本题考查函分段函数图象，准确作图是解决问题的关键，属中档题 8已知函数 f（ x）是 R 上的增函数，对实数 a， b，若 a+b 0，则有（ ） A f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） B f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） C f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） D f（ a） f（ b） f（ a） f（ b） 【考点】 函数单调性的性质 【专题】 证明题 【分析】 先利用不等式的性质将 a+b 0 转化为两实数的大小形式，再利用函数 f（ x）的单调性，比较函数值的大小，最后利用同向不等式相加性得正确不等式 【解答】 解： a+b 0， a b， b a 函数 f（ x）是 R 上的增函数 f（ a） f（ b）， f（ b） f（ a） f（ a） +f（ b） f（ a） +f（ b） 故选 A 【点评】 本题考查了不等式的基本性质，利用函数的单调性比较大小的方法，转化化归的思想方法 9若 0，则 a， b 满足的关系是（ ） A 1 a b B 1 b a C 0 a b 1 D 0 b a 1 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用对数函数的性质求解 【解答】 解： 0= 0 a 1， 0 b 1， 2 1，要使 0 0 b 1 0， a b，且 0 a 1， 0 b a 1 故选： D 【点评】 本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用 10函数 y=x ， 的值域是（ ） A ， B 2， 2 C 1， D 1， +1 【考点】 函数的值域 【专题】 计算题；函数思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质 【分析】 直接利用函数的单调性求得函数值域 【解答】 解： 函数 y= x ， 上为增函数， ， 第 8页（共 16页） 故选： D 【点评】 本题考查函数值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题 11若 +） = ，则 为（ ） A 5 B 1 C 6 D 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】 计算题 【分析】 由两角和差的正弦公式，解得 ， ，相除求得 的值 【解答】 解：由题意可得 ， ， 解得 ， ， =5， 故选 A 【点评】 本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，求出 ，是解题的关键 12已知 f（ x）为偶函数，当 x0 时， f（ x） =（ x 1） 2+1，则满足 ff（ a） + = 的实数 a 的个数为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质 【专题】 数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用 【分析】 利用换元法将函方程转化为 f（ t） = ，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：设 t=f（ a） + ， 则条件等价为 f（ t） = ， 若 x0，则 x0， 当 x0 时， f（ x） =（ x 1） 2+1， 当 x0 时， f（ x） =（ x 1） 2+1=（ x+1） 2+1， f（ x）为偶函数， f（ x） =（ x+1） 2+1=f（ x）， 即 f（ x） =（ x+1） 2+1， x0， 作出函数 f（ x）的图象如图： 当 x0 时，由（ x 1） 2+1= ，得（ x 1） 2= ，则 x=1+ 或 x=1 ， f（ x）为偶函数， 第 9页（共 16页） 当 x 0 时， f（ x） = 的解为 1 ， 1+ ； 综上所述， f（ t） = 得解为 + 或 ， 1 ， 1+ ； 由 t=f（ a） + 得， 若 + ，则 f（ a） + =1+ ，即 f（ a） = + 1，此时 a 无解， 若 ，则 f（ a） + =1 ，即 f（ a） = （ ， 0），此时 a 有 2 个解， 若 1 ，则 f（ a） + = 1 ，即 f（ a） = （ ， 0），此时 a 有 2 个解， 若 1+ ，则 f（ a） + = 1+ ，即 f（ a） = + （ ， 0），此时 a 有 2 个解， 故共有 2+2+2=6 个解 故选： C 【点评】 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合进行求解是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度 二填空题（本大题共 6小题，单空每小题 6分，多空每小题 6分，共 28分，将答案填在答题卷的相应位置） 13若函数 f（ x） =3x+ ），则 f（ x）的周期是 4 ； f（ ） = 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 利用三角函数的周期公式可求周期，利用特殊角的三角函数值即可计算得解 【解答】 解： f（ x） =3x+ ）， f（ x）的周期 T= =4， f（ ） =3+ ） =33 故答案为： 4， 第 10页（共 16页） 【点评】 本题主要考查了三角函数的周期公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题 14若 ，则 = 2 ； 【考点】 同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解： ，则 = =， = = ， 故答案为： 2； 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 15已知某扇形的周长是 16，圆心角是 2 弧度，则该扇形的面积是 16 【考点】 扇形面积公式 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积 【解答】 解：设扇形的半径为： R，所以 2R+2R=16，所以 R=4，扇形的弧长为： 8，半径为4， 扇形的面积为： S= 84=16 故答案为： 16 【点评 】 本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力 16若函数 f（ x） =35x+a 的一个零点在区间（ 2， 0）内，另一个零点在区间（ 1， 3）内，则实数 a 的取值范围是 （ 12， 0） 【考点】 二分法求方程的近似解 【专题】 计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据函数 f（ x） =35x+a 的一个零点在区间（ 2， 0）内，另一个零点在区间（ 1， 3）内，得到 ，解得即可 【解答】 解： f（ x） =35x+a 的一个零点在区间（ 2， 0）内，另一个零点在区间（ 1，3）内， ，即 第 11页（共 16页） 解得 12 a 0， 故 a 的取值范围为（ 12， 0）， 故答案为：（ 12， 0） 【点评】 本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键 17已知 f（ x） =4 区间 1， 3上是增函数，则 a 的取值范围是 4 a 0 【考点】 对数函数的图象与性质；复合函数的单调性 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 若 f（ x） =4 区间 1， 3上是增函数，则内函数 t=4 区间 1，3上是增函数，且恒为正，进而得到答案 【解答】 解： f（ x） =4 区间 1， 3上是增函数， 故内函数 t=4 区间 1， 3上是增函数，且恒为正， 故 ， 解得： 4 a 0， 故答案为： 4 a 0 【点评】 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键 18已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x+1） = ，当 x（ 0， 1时， f（ x） =2x，则 f（ 于 【考点】 函数的周期性；函数的值 【 专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 根据题意，算出 f（ x+2） =f（ x），得 f（ x）是最小正周期为 2 的周期函数从而算出 f（ =f（ 由 x（ 0， 1时 f（ x） =2x，结合 f（ x+1） f（ x） =1 算出 f（ = = ，即可得到所求的函数值 【解答】 解： f（ x+1） = ， f（ x+2） = = =f（ x），可得 f（ x）是最小正周期为 2 的周期函数 8 9 16， 2 1 3， 4） 因此 f（ =f（ 2） =f（ 第 12页（共 16页） f（ = = 而 f（ = = ， f（ =f（ = = 故答案为： 【点评】 本题给出函数满足的条件，求特殊自变量对应的函数值着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识，属于中档题 三解答题（本大题共 4小题，共 44分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 19函数 f（ x） =x+），（ A 0， 0， 0 ）图象的一段如图所示 （ 1）求此函数的解析式； （ 2）求函数 f（ x） 在区间 上的最大值和最小值 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【专题】 函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由图象可得 A 值，由周期公式可得 ，代点结合角的范围可得 ，可得解析式； （ 2）由 和三角函数的最值可得 【解答】 解：（ 1）由图象可得 A= ，由 = （ ） = 可得周期 T=， = =2， f（ x） = 2x+）， ， 又 0 ， ，故 ，可得 ， 此函数的解析式为： ； （ 2） ， ， 第 13页（共 16页） f（ x）在 即 x=0 时取得最大值 ， f（ x）在 即 时取得最小值 【点评】 本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题 20已知函数 f（ x） = 为奇函数 （ 1）求实数 a 的值； （ 2）试判断函数的单调性并加以证明； （ 3）对任意的 xR，不等式 f（ x） m 恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题 【专题】 证明题；综合题；函数思想；函数的性质及应用 【分析】 （ 1）解 f（ 0） =0 可得 a 值； （ 2）由单调性的定义可得； （ 3） 由（ 1）（ 2）可得函数 f（ x）为增函数，当 x 趋向于正无穷大时， f（ x）趋向于 1，可得 m1 【解答】 解：（ 1）由函数为奇函数可得 f（ 0） = =0，解得 a= 1； （ 2）由（ 1）可得 f（ x） = = =1 ， 可得函数在 R 上单调递增，下面证明： 任取实数 f（ f（ = = 0， 函数 f（ x） = R 上的增函数； （ 3） 函数 f（ x）为增函数，当 x 趋向于正无穷大时， f（ x）趋向于 1， 要使不等式 f（ x） m 恒成立，则需 m1 【点评】 本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题， 属中档题 21已知函数 f（ x） =2 x 1（ xR） （ 1）求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）若 f（ = ， ，求 值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 第 14页（共 16页） 【分析】 （ 1）由三角函数恒等变换的应用化简函数可得解析式 f（ x） =22x