河北省清河县高三数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件.ppt

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 1 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 1 完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m1 m2 mn 2 完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 都有涉及的不同方法的种数 它们的区别在于 分类加法计数原理与分类有关 各种方法 用其中任何一种方法都可以完成这件事 分步乘法计数原理与分有关 各个步骤 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 m1 m2 mn 完成一件事 相互独立 步 相互依存 1 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会 则不同的选法为 a 6种b 5种c 3种d 2种解析 有3 2 5种 答案 b 2 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 a 10种b 20种c 25种d 32种解析 有2 2 2 2 2 32种 答案 d 3 从6个人中选4个人分别到巴黎 伦敦 悉尼 莫斯科四个城市游览 要求每个城市至少有一人游览 每人只游览一个城市 且这6个人中 甲 乙两人不去巴黎游览 则不同的选择方案共有 a 300种b 240种c 144种d 96种解析 能去巴黎的有4个人 能去剩下三个城市的依次有5个 4个 3个人 所以不同的选择方案有4 5 4 3 240 种 答案 b 答案 8 热点之一分类加法计数原理分类加法计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律 从思想方法的角度看 运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干 类别 先分类解决 各个击破 再将其整合 得出原问题的答案 运用该原理解决问题的突破口是明确什么是 完成一件事 例1 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的数共有多少个 思路探究 该问题与计数有关 可考虑选用两个基本原理来计算 完成这件事 只要两位数的个位 十位确定了即可 因此可考虑按十位上的数字情况进行分类 课堂记录 根据题意 按十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理 符合题意的两位数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 即时训练集合p x 1 q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且p q 把满足上述条件的一对有序整数对 x y 作为一个点的坐标 则这样的点的个数是 a 9b 14c 15d 21解析 p q x y或x 2 当x 2时 y 1 2 y有7种选法 当x y时 y 1 2 y也有7种选法 共有满足条件的点7 7 14个 答案 b 热点之二分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤 缺一不可 即需要依次完成所有的步骤 才能完成这件事 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法 计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理 例2 已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b 表示平面上的点 a b m 问 1 p可表示平面上多少个不同的点 2 p可表示平面上多少个第二象限的点 3 p可表示多少个不在直线y x上的点 思路探究 本例实质是分步乘法计数原理在解决解析几何问题中的应用 这里应该注意两点 一是集合m中的每个元素可作为同一点的横 纵坐标 二是第 3 问用逆向求解的间接法 课堂记录 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理 得到平面上的点数是6 6 36 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a 0 所以有3种确定方法 第二步确定b 由于b 0 所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理 得到第二象限点的个数是3 2 6 3 点p a b 在直线y x上的充要条件是a b 因此a和b必须在集合m中取同一元素 共有6种取法 即在直线y x上的点有6个 由 1 得不在直线y x上的点共有36 6 30 个 即时训练已知集合m 3 2 1 0 1 2 若a b c m 则 1 y ax2 bx c可以表示多少个不同的二次函数 2 y ax2 bx c可以表示多少个图象开口向上的二次函数 解 1 a的取值有5种情况 b的取值有6种情况 c的取值有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示5 6 6 180个不同的二次函数 2 y ax2 bx c的开口向上时 a的取值有2种情况 b c的取值均有6种情况 因此y ax2 bx c可以表示2 6 6 72个图象开口向上的二次函数 热点之三两个原理的综合应用用两个计数原理解决计数问题时 最重要的就是在开始计算之前要仔细分析 首先我们可以考虑问题是否应当分类 分类能否使问题的复杂程度大大降低 然后在每一类中考虑是否应当分步 我们把问题分解成几类互不重复的情况 每一类都使用分步乘法计数原理来计数 然后再用分类加法计数原理将各类情况组合在一起 例3 将红 黄 绿 黑4种不同的颜色分别涂入下图中的五个区域内 要求相邻的两个区域的颜色都不相同 则有多少种不同的涂色方法 思路探究 五个区域 四种颜色 所以至少有两个区域涂的是同一种颜色 结合图形 可以先选出涂同一种颜色的区域 再进行涂色 课堂记录 给出区域标记号a b c d e 如右图所示 则a区域有4种不同的涂色方法 b区域有3种 c区域有2种 d区域有2种 但e区域的涂色依赖于b与d涂的颜色 如果b与d颜色相同有2种涂色方法 不相同 则只有一种 因此应先分类后分步 1 当b与d同色时 有4 3 2 1 2 48 种 2 当b与d不同色时 有4 3 2 1 1 24 种 故共有48 24 72种不同的涂色方法 思维拓展 像这类给区域涂色的问题 我们应该给区域依次标上相应的序号 以便分析问题 在给各区域涂色时 要注意不同的涂色顺序 其解题就有繁简之分 如本例若按a b e d c顺序涂色时 在最后给区域c涂色时 就应考虑a与e b与d是否同色这两种情况 因此在分析解决这类问题时 应按不同的涂色顺序多多尝试 看哪一种最简单 本例易错的是未考虑b与d是否同色 即时训练用n种不同的颜色为两块广告牌着色如下图甲 乙所示 要求在 四个区域中相邻 有公共边界 的区域不用同一种颜色 1 若n 6 为甲着色时共有多少种不同的方法 2 若为乙着色时共有120种不同的方法 求n的值 解 完成着色这件事 共分为四个步骤 可以依次考虑为 这四个区域着色时各自的方法数 再利用分步乘法计数原理确定出总的着色总数 因此有 1 为 区域着色时有6种方法 为 区域着色时有5种方法 为 区域着色时有4种方法 为 区域着色时有4种方法 依据分步乘法计数原理不同的着色数为6 5 4 4 480 种 2 由题意知 为 区域着色时有n种方法 为 区域着色时有n 1种方法 为 区域着色时有n 2种方法 为 区域着色时有n 3种方法 由分步乘法计数原理可得不同的着色数为n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 120 n2 3n n2 3n 2 120 0 即 n2 3n 2 2 n2 3n 120 0 解得n2 3n 10 0或n2 3n 12 0 舍去 n 5 1 对计数原理的考查多以实际问题为背景 考查计数原理在实际问题中的应用 2 考查多以选择 填空题形式出现 考查难度不大 3 由于分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数类问题的基础 所以多与其他知识结合在一起考查 难度可能有所提高 例4 2010 全国 某校开设a类选修课3门 b类选修课4门 一位同学从中共选3门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 a 30种b 35种c 42种d 48种 解析 分两类 选a类选修课2门 b类选修课1门 有c32 c41 12 种 选a类选修课1门 b类选修课2门 有c31 c42 3 6 18 种 共有12 18 30 种 答案 a 1 2010 全国 将标号为1 2 3 4 5 6的6张卡片放入3个不同的信封中 若每个信封放2张 其中标号为1 2的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 a 12种b 18种c 36种d 54种 解析 将标号为1 2的卡片放入一个信封 有c31 3 种 将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中 有c42 6 种 共有c31 c42 3 6 18 种 答案 b 2 2010 重庆 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班 每天安排1人 每人值班1天 若7位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在10月1日 丁不排在10月7日 则不同的安排方案共有 a 504种b 960种c 1008种d 1108种 解析 当丙在10月7日值班时共a22a55 240种排法 当丙不在10月7日值班时 若甲 乙有1人在10月7日值班时 共c21c41a44 192种排法 若甲 乙不在10月7日值班时 共有c31 c21a44 c31a22a44 576种 综上知 共240 192 576 1008种排法 答案 c 3 2010 湖北高考 现安排甲 乙 丙 丁 戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动 每人从事翻译 导游 礼仪 司机四项工作之一