2003-2010中考数学压轴题.doc

2003年2010年压轴题1. (2003年14分） 如图，已知圆心A（0，3），A与x轴相切，B的圆心在x轴的正半轴上，且B与A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N。 （1）若，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式。 （2）若A的位置大小不变，B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使B与A始终外切，过M作B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究： 四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明。 经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由。1 解：（1）在中， 在中， 点（2分） 又 点（4分） 设MP的解析式为 经过M、N两点 得 解之，得 的解析式为（6分） 设过M、N、B的抛物线解析式为 且点，可得 抛物线的解析式为 即（8分） （2）四边形OMCB是矩形。（9分） 证明：在A不动、B运动变化过程中， 恒有 ，而，（10分） 由切线长定理知MCMP， 四边形MOBC是平行四边形。（11分） 又，四边形MOBC是矩形。（12分） 存在。由上证明可知 因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称 这样得到满足条件的三角形有两个，和（14分）2（2004年14分）10-112-1-24-3235-23xy（第28题）已知次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P.（1） 求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2） 设D为线段OC上的一点，满足DPC=BAC，求点D的坐标；（3） 在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2（1）解：二次函数的图象过点A（-3，6），B（-1，0）得 解得这个二次函数的解析式为：（4分）由解析式可求P（1，-2），C（3，0）（5分）画出二次函数的图象（6分）11-1-24-323056EM-1-223ACxTyBDMFSGHP（第28题） （2）解法一：易证：ACB=PCD=45又已知：DPC=BACDPCBAC（8分）易求 （10分） 解法二：过A作AEx轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x轴于F.亦可证AEBPFD.（8分）.易求：AE=6，EB=2，PF=2 （10分）（3）存在.（1）过M作MHAC，MGPC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于TSCT是等腰直角三角形，M是SCT的内切圆圆心，MG=MH=OM（11分）又且OM+MC=OC（12分）（2）在x轴的负半轴上，存在一点M同理OM+OC=MC，得 M（14分）即在x轴上存在满足条件的两个点. 说明：只写出M、M的坐标，没有过程的，不得分.3（2005年14分)如图，在平面直角坐标系xOy，半径为1的O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y=x2+如+c经过点C且与直线AC只有一个公共点 (1)求直线AC的解析式 (2)求抛物线y=x2+bx+c的解析式 (3)点P为(2)中抛物线上的点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点P，使PQBADB?若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由 3解：（1）故直线AC的解析式为 y=-x-1(2)抛物线过C(0，-1)点x2+(b+1)x=0直线AC与抛物线只有一个公共点C，方程x2+(b+1)x=O有两个相等实数根，即=O b1=b2=-1抛物线解析式为y=x2-x-1(3)假设存在符合条件的点P设P点坐标为(a，a2-a-1)，则Q(a，0)ADB为等腰RtPOBADB则PQB为等腰Rt，又PQQBPQ=QB 即|a2-a-1|=|a-1|a1=0 a2=2 a3= a4=- 存在符合条件的点P，共有四个，分别为P1(O，-1)、P2(2，1)、P3( ，1- )、P4(- ，1+ )4（2006年14分）如图所示，在平面直角坐标系中有点，点，以为直径的半圆交轴正半轴于点（1）求点的坐标；（2）求过，三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点，使四边形为直角梯形，求直线的解析式；（第27题）（4）设点是抛物线上任意一点，过点作轴，交轴于点若在线段上有且只有一点，使为直角，求点的坐标4（1）解：如图，连结，依相交弦定理的推论可得，解得（第27题）点的坐标为（2分）（2）解法一：设抛物线解析式是（3分）把，三点坐标代入上式得解之得抛物线解析式是（6分）解法二：设抛物线解析式为（3分）把点的坐标代入上式得抛物线解析式是（6分）（3）解法一：如图，过点作，交抛物线于点，则四边形为直角梯形设点的坐标是，代入抛物线解析式整理得，解之得，点的坐标为（7分）设过点，点的解析式是把点，点的坐标代入上式得解之得（9分）直线的解析式是（10分）解法二：如图，过点作，交抛物线于点，则四边形为直角梯形由（2）知抛物线的对称轴是，点的坐标为（7分）（下同解法一）（4）解：依题意可知，以为直径的半圆与线段相切于点（第27题）设点的坐标为当点在第一或第三象限时，把点的坐标代入抛物线的解析式得，解之得点的坐标是或（12分）当点在第二或第四象限时，把点的坐标代入抛物线的解析式得，解之得点的坐标是或综上，满足条件的点的坐标是，（14分）5（2007年14分)关于x的二次函数yx2(k24)x2k2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在轴上方(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，得到矩形ABCD设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由(第26题图)A1A2B1B2C1D1C2D2xy5解：(1)根据题意得：k240k2当k2时，2k220当k2时，2k260又抛物线与y轴的交点在x轴上方k2抛物线的解析式为：yx22函数的草图如图所示：(2)令x220，得x当0x时，A1D12x，A1B1x22l2(A1B1A1D1)2x24x4当x时，A2D22xA2B2(x22)x22l2(A2B2A2D2)2x24x4l关于x的函数关系式是：(3)解法：当0x时，令A1B1A1D1得x22x20解得x1(舍)，或x1将x1代入l2x24x4得l88当x时，A2B2A2D2得x22x20解得x1(舍)，或x1将x1代入l2x24x4得l88综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x1时，正方形的周长为88；当x1时，正方形的周长为88解法：当0x时，同“解法”可得x1正方形的周长l4A1D18x88当x时，同“解法”可得x1正方形的周长l4A2D28x88综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x1时，正方形的周长为88；当x1时，正方形的周长为88解法：点A在y轴右侧的抛物线上当x0时，且点A的坐标为(x，x22)令ABAD，则2xx222x 或x222x 由解得x1(舍)，或x1由解得x1(舍)，或x1又l8x当x1时，l88；当x1时，l88综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x1时，正方形的周长为88；当x1时，正方形的周长为886（2008年14分）如图，已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）（1）求直线的解析式（2）设PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式（3）试探究：当t为何值时，PCQ为等腰三角形？6解：（1）由题意，知1分设直线的解析式为，则2分解，得3分的解析式为4分（2）解法一：如图，过作于，则5分由题意，知7分8分解法二：如图，过作轴于，则5分由题意，知7分8分（3）要想使为等腰三角形，需满足，或，或当时（如图），得解，得10分当时（如图），过作轴于，则，即解，得12分当时（如图），过作于，则，解，得14分综上所述，当，或，或时，为等腰三角形（注：其他解法参照评分）7（2009年14分）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合 （1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；ADBEOCFxyy（G）（第26题）（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围7（1）解：由得点坐标为由得点坐标为（2分）由解得点的坐标为（3分）（4分） （2）解：点在上且 点坐标为（5分）又点在上且点坐标为（6分）（7分） （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）过作于，则ADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM即即（10分）当时，如图2，矩形与重叠部分为梯形由知， ， ，即 ，即（12分）当时，如图3所示，矩形与重叠部分为，由知，即（14分）解法二：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）在上 ，在上， 又 即（10分）当时，如图2，矩形与重叠部分为梯形由知，在上，即（12分）当时，如图3，矩形与重叠部分为，由知，即（14分）8.（2010年14分）在直角梯形中，分别以边所在直线为轴、轴建立如图1所示的平面直角坐标系. （1）求点的坐标； （2）已知分别为线段上的点，直线交轴于点求直线的解析式； （3）点是（2）中直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.8.解：（1）作轴于点则四边形为矩形，（1分）在中，（2分）点的坐标为（3分）（2）作轴于点则（4分）又点的坐标为（5分）又点的坐标为设直线的解析式为则解得直线的解析式为（7分）（3）答：存在（8分）如图1，当时，四边形为菱形.作轴于点，则轴，又当时，解得点的坐标为在中，点的坐标为点的坐标为（10分）如图2，当时，四边形为菱形.延长交轴于点则轴.点在直线上，设点坐标为在中，解得（舍去），点的坐标为点的坐标为（12分）如图3，当时，四边形为菱形.连接交于点则与互相垂直平分，点的坐标为（14分）综上所述，轴上方的点有三个，分别为（其它解法可参照给分）.（2009年山西太原）29（本小题满分12分）图（1）ABCDEFMN问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值方法指导：为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2类比归纳在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 （用含的式子表示）联系拓广图（2）NABCDEFM 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 （用含的式子表示）（2009年山西太原29题解析）解：方法一：如图（1-1），连接N图（1-1）ABCDEFM 由题设，得四边形和四