辽宁省大连市开发区2016届九年级上第一次月考数学试卷含答案解析

2015年辽宁省大连市开发区九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1一元二次方程（ x 4） 2=2x 3 化为一般式是（ ） A 10x+13=0 B 10x+19=0 C 6x+13=0 D 6x+19=0 2已知 1 是关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+x+1=0 的一个根，则 m 的值是（ ） A 1 B 1 C 0 D无法确定 3方程 x（ x+3） =x+3 的解为（ ） A ， 3 B ， 3 C ， D ， 4用配方法解一元二次方程 6x 7=0，则方程变形为（ ） A 2=43 C 2=16 5将抛物线 y=向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线是（ ） A y=（ x+1） 2 2 B y=（ x 1） 2+2 C y=（ x 1） 2 2 D y=（ x+1） 2+2 6若二次函数 y=bx+2（ a， b 为常数）的图象如下，则 a 的值为（ ） A 2 B C 1 D 7抛物线 y=6x+5 的顶点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8如图，抛物线 y= 4x+c（ c 0）与 x 轴交于点 A 和点 B（ n， 0），点 A 在点 B 的左侧，则 长是（ ） A 4 2n B 4+2n C 8 2n D 8+2n 二、填空题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分） 9已知关于 x 的一元二次方程 x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 10已知一元二次方程 x2+=0 的一个根为 3，则 p= 11已知三角形的两边长分别是 4 和 7，第三边是方程 16x+55=0 的根，则第三边长是 12要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为 13抛物线 y=25x+1 与 x 轴的公共点的个数是 14二次函数 y=2x 的图象上有 A（ B（ 点，若 1 大小关系是 15如图，抛物线 y=bx+c（ a 0）的对称轴是直线 x=1，且经过点 P（ 3， 0），则 ab+c 的值为 16如图，已知直线 y= x+3 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、 B， P 是抛物线 y= x+5 上的一个动点，其横坐标为 a，过点 y= x+3于点 Q，则当 a 的值是 三、解答题（本题共 4小题，其中 17、 18、 19题各 9分， 20题 12分，共 39 分） 17解方程： 24x 5=0（用公式法） 18一个直角三角形的两条直角边的和是 14积为 24两条直角边的长 19某工厂在两年内机床年产量由 400 台提高到 900 台，求机床产量的年平均增长率 20一个二次函数的图象经过（ 2， 5），（ 2， 3），（ 4， 5）三点 （ 1）求这个二次函数的解析式； （ 2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （ 3）写出这个二次函数图象的与坐标轴的交点坐标 四、解答题（本题共 6小题，其中 21、 22题各 9分， 23 题 10分，共 28分） 21如图，直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 都经过点 A（ 1， 0）， B（ 3， 2） （ 1）求 m 的值和抛物线的解析式； （ 2）求不等式 x2+bx+c x+m 的解集（直接写出答案） 22商场某种新商品每件进价是 120 元，在试销期间发现，当每件商品售价为 130 元时，每天可销售 70 件，当每件商品售价高于 130 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件据此规律，请回答： （ 1）当每件商品售价定为 170 元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？ （ 2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到 1600 元？（提示：盈利 =售价进价） 23如图，抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点，与 x 轴交于另一点 B（ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 称的点的坐标24某企业加工一台大型机械设备润滑用油 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现润滑用油量每减少 1 千克，用油量的重复利用率增加 这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克，问技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 25如图，抛物线 y= x2+2 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（ 1， 0）（ 1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （ 2）判断 形状，证明你的结论； （ 3）点 M（ m， 0）是 x 轴上的一个动点，当 D 的值最小时，求 m 的值 26如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，矩形 顶点 A（ ， 0）， C（ 0，1）， 0，将 折得 （ 1）求点 P 的坐标； （ 2）若抛物线 y= x2+bx+c 经过 P、 A 两点，试判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由； （ 3）设（ 2）中的抛物线与矩形 0边 于点 D，与 x 交于另一点 E，点 M 在 N 在 y 轴上运动，若以点 E、 M、 D、 N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、 N 的坐标 2015年辽宁省大连市开发区九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1一元二次方程（ x 4） 2=2x 3 化为一般式是（ ） A 10x+13=0 B 10x+19=0 C 6x+13=0 D 6x+19=0 【考点】 一元二次方程的一般形式 【分析】 一元二次方程的一般形式是： bx+c=0（ a， b， c 是常数且 a0），首先把方程左边的相乘，再移项使方程右边变为 0，然后合并同类项即可 【解答】 解：（ x 4） 2=2x 3， 移项去括号得： 8x+16 2x+3=0， 整理可得： 10x+19=0， 故一元二次方程（ x 4） 2=2x 3 化为一般式是： 10x+19=0 故选 B 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键 2已知 1 是关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+x+1=0 的一个根，则 m 的值是（ ） A 1 B 1 C 0 D无法确定 【考点】 一元二次方程的解；一元二次方程的定义 【分析】 把 x=1 代入方程，即可得到一个关于 m 的方程，即可求解 【解答】 解：根据题意得：（ m 1） +1+1=0， 解得： m= 1 故选 B 【点评】 本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键 3方程 x（ x+3） =x+3 的解为（ ） A ， 3 B ， 3 C ， D ， 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 【解答】 解：方程 x（ x+3） =x+3， 变形得： x（ x+3）（ x+3） =0，即（ x 1）（ x+3） =0， 解得： ， 3 故选 B 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 4用配方法解一元二次方程 6x 7=0，则方程变形为（ ） A 2=43 C 2=16 【考点】 解一元二次方程 【专题】 配方法 【分析】 首先进行移项变形成 6x=7，两边同时加上 9，则左边是一个完全平方式，右边是一个常数，即可完成配方 【解答】 解： 6x 7=0， 6x=7， 6x+9=7+9， （ x 3） 2=16 故选 C 【点评】 配方法的一般步骤： （ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项的系数化为 1； （ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 5将抛物线 y=向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线是（ ） A y=（ x+1） 2 2 B y=（ x 1） 2+2 C y=（ x 1） 2 2 D y=（ x+1） 2+2 【考点】 二次函数 图象与几何变换 【分析】 根据 “左加右减，上加下减 ”平移规律写出平移后抛物线的解析式即可 【解答】 解：抛物线 y= 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线是： y=（ x+1） 2 2 故选： A 【点评】 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律 “左加右减，上加下减 ”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式 6若二次函数 y=bx+2（ a， b 为常数）的图象如下，则 a 的值为（ ） A 2 B C 1 D 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【专题】 压轴题 【分析】 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，进而得出 2 的值，然后求出 a 值，再根据开口方向选择正确答案 【解答】 解：由图象可知：抛物线与 y 轴的交于原点， 所以， 2=0，解得 a= ， 由抛物线的开口向上 所以 a 0， a= 舍去，即 a= 故选 D 【点评】 二次函数 y=bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 7抛物线 y=6x+5 的顶点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 二次函数的性质 【分析】 利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标； 或者用顶点坐标公式求解【解答】 解： y=6x+5 =6x+9 9+5 =（ x 3） 2 4， 抛物线 y=6x+5 的顶点坐标是（ 3， 4），在第四象限 故选： D 【点评】 此题考查了二次函数的性质，利用配方法求顶点坐标是常用的一种方法 8如图，抛物线 y= 4x+c（ c 0）与 x 轴交于点 A 和点 B（ n， 0），点 A 在点 B 的左侧，则 长是（ ） A 4 2n B 4+2n C 8 2n D 8+2n 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 利用根与系数的关系可得： x1+ 4， c，所以（ 2=（ x1+2 46+4c， 长度即两个根的差的绝对值，利用以上条件代入化简即可得到 长 【解答】 解：设方程 0= 4x+c 的两个根为 x1+ 4， c， （ 2=（ x1+2 46+4c， 长度即两个根的差的绝对值，即： ， 又 x2=n， 把 x2=n 代入方程有： c=n， 16+4c=16+16n+4（ n+2） 2， =2n+4， 故选 B 【点评】 本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=bx+c（ a， b， c 是常数， a0）的交点与一元二次方程 bx+c=0 根之间的关系 二、填空题（本题共 8小题，每小 题 3分，共 24分） 9已知关于 x 的一元二次方程 x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 m1 【考点】 根的判别式 【专题】 探究型 【分析】 先根据一元二次方程 x+m=0 得出 a、 b、 c 的值，再根据方程有实数根列出关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 【解答】 解：由一元二次方程 x+m=0 可知 a=1， b=2， c=m， 方程有实数根， =22 4m0，解得 m1 故答案为： m1 【点评】 本题考查的是一元二次方程根的判 别式，根据题意列出关于 m 的不等式是解答此题的关键 10已知一元二次方程 x2+=0 的一个根为 3，则 p= 4 【考点】 一元二次方程的解 【分析】 已知一元二次方程 x2+=0 的一个根为 3，因而把 x= 3 代入方程即可求得 【解答】 解：把 x= 3 代入方程可得：（ 3） 2 3p+3=0， 解得 p=4 故填： 4 【点评】 本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题 11已知三角形的两边长分 别是 4 和 7，第三边是方程 16x+55=0 的根，则第三边长是 5 【考点】 解一元二次方程 角形三边关系 【专题】 计算题 【分析】 利用因式分解法解方程得到 ， 1，然后利用三角形三边的关系即可得到第三边为 5 【解答】 解： 16x+55=0， （ x 5）（ x 11） =0， 所以 ， 1， 又因为三角形的两边长分别是 4 和 7，所以第三边为 5 故答案为 5 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把 方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）也考查了三角形三边的关系 12要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为 x（ x 1） =47 【考点】 由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】 关系式为：球队总数 每支球队需赛的场数 2=47，把相关数值代入即可 【解答】 解：每支球队都需要与其他球队赛（ x 1）场，但 2 队之间只有 1 场比赛， 所以可列方程为： x（ x 1） =47 故答案为： x（ x 1） =47 【点评】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等 量关系，注意 2 队之间的比赛只有 1 场，最后的总场数应除以 2 13抛物线 y=25x+1 与 x 轴的公共点的个数是 两个 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 抛物线与 x 的交点个数，即为抛物线 y=25x+1 与 x 轴的公共点的个数，因此只要算出 4值就可以判断出与 x 轴的交点个数 【解答】 解： y=25x+1， 4 5） 2 421=17 0 抛物线 y=25x+1 与 x 轴有两个交点 即：抛物线 y=25x+1 与 x 轴的公共点的个数是两个 故答案为：两个 【点评】 本题考查二次函数与 x 轴的交点问题，关键是算出二次函数中 4值 14二次函数 y=2x 的图象上有 A（ B（ 点，若 1 大小关系是 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 先根据函数解析式确定出对称轴为直线 x=1，再根据二次函数的增减性， x 1 时，y 随 x 的增大而减小解答 【解答】 解： y=2x=（ x 1） 2 1， 二次函数图象的对称轴为直线 x=1， 1 故答案为： 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键 15如图，抛物线 y=bx+c（ a 0）的对称轴是直线 x=1，且经过点 P（ 3， 0），则 ab+c 的值为 0 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 根据二次函数的对称性 求出抛物线 y=bx+c 与 x 轴的另一交点为（ 1， 0），由此求出 a b+c 的值 【解答】 解： 抛物线 y=bx+c 经过点 A（ 3， 0），对称轴是直线 x=1， y=bx+c 与 x 轴的另一交点为（ 1， 0）， a b+c=0 故答案为： 0 【点评】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线 y=bx+c 与 1， 0）是解题的关键 16如图，已知直线 y= x+3 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、 B， P 是抛物线 y= x+5 上的一个动点，其横坐标为 a，过点 y= x+3于点 Q，则当 a 的值是 4+2 或 4 2 或 4 或 1 【考点】 二 次函数综合题 【专题】 综合题 【分析】 先利用一次函数解析式求出 B（ 0， 3），再根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设 P（ a， a+5）， Q（ a， a+3），则可利用两点间的距离公式得到 a 2|， a|，然后利用 Q 得到 | a 2|=| a|，讨论： a 2= 或 a 2= a，然后分别解一元二次方程即可得到 a 的值【解答】 解：当 x=0 时， y= x+3=3，则 B（ 0， 3）， 点 P 的横坐标为 a， y 轴， P（ a， a+5）， Q（ a， a+3）， a+5（ a+3|=| a+2|=| a 2|， =| a|， Q， | a 2|=| a|， 当 a 2= a，整理得 8a 4=0，解得 +2 ， 2 ， 当 a 2= a，整理得 3a 4=0，解得 ， 1， 综上所述， a 的值为 4+2 或 4 2 或 4 或 1 故答案为 4+2 或 4 2 或 4 或 1 【点评】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会解一元二次方程三、解答题（本题共 4小题，其中 17、 18、 19题各 9分， 20题 12分，共 39 分） 17解方程： 24x 5=0（用公式法） 【考点】 解 一元二次方程 【分析】 求出 4值，再代入公式求出即可 【解答】 解： 24x 5=0， 4 4） 2 42（ 5） =56， x= ， ， 【点评】 本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的解一元二次方程的能力，难度适中 18一个直角 三角形的两条直角边的和是 14积为 24两条直角边的长 【考点】 一元二次方程的应用；勾股定理 【分析】 设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为 24 列式求值即可 【解答】 解：设其中一条直角边长为 另一直角边长为（ 14 x） x（ 14 x） =24， 解得 ， ， 当 时， 14 x=8； 当 时， 14 x=6； 答：两条直角边的长分别 为 6， 8 【点评】 考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积 =两直角边积的一半 19某工厂在两年内机床年产量由 400 台提高到 900 台，求机床产量的年平均增长率 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 增长率问题 【分析】 利用增长后的量 =增长前的量 （ 1+增长率），设机床产量的年平均增长率为 x，根据 “某工厂在两年内机床年产量由 400 台提高到 900 台 ”，即可得出方程 【解答】 解：设机床产量的年平均增长率为 x，依题意有 400（ 1+x） 2=900， 解得： 0%， 去） 答：机床产量的年平均增长率为 50% 【点评】 此题考查一元二次方程的实际运用，掌握复利公式： “a（ 1+x%） n=b”是解决本题的关键 20一个二次函数的图象经过（ 2， 5），（ 2， 3），（ 4， 5）三点 （ 1）求这个二次函数的解析式； （ 2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （ 3）写出这个二次函数图象的与坐标轴的交点坐标 【考点】 待定系数法求二次函数解析式；二 次函数的性质 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）设一般式 y=bx+c，然后把三个点的坐标代入得到关于 a、 b、 c 的方程组，然后解方程组即可； （ 2）先把（ 1）中解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解； （ 3）分别计算函数值为 0 所对应的自变量的值和自变量为 0 时所对应的函数值，即可得到二次函数图象的与坐标轴的交点坐标 【解答】 解：（ 1）设抛物线解析式为 y=bx+c， 根据题意得 ， 解得 所以抛物线解析式为 y=2x 3； （ 2） y=（ x 1） 2 4， 这个二次函数图象的开口向上，对称轴为直线 x=1，顶点坐标为（ 1， 4）； （ 3）当 x=0 时， y=2x 3= 3，则二次函数与 y 轴的交点坐标为（ 0， 3）； 当 y=0 时， 2x 3=0，解得 1， 则二次函数与 x 轴的交点坐标为（ 1， 0）和（ 3， 0） 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次 函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了二次函数的性质 四、解答题（本题共 6小题，其中 21、 22题各 9分， 23 题 10分，共 28分） 21如图，直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 都经过点 A（ 1， 0）， B（ 3， 2） （ 1）求 m 的值和抛物线的解析式； （ 2）求不等式 x2+bx+c x+m 的解集（直接写出答案） 【考点】 二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （ 1）分别把点 A（ 1， 0）， B（ 3， 2）代入直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c，利用待定系数法解得 y=x 1， y=3x+2； （ 2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知， 3x+2 x 1 的图象上 x 的范围是 x 1 或 x 3 【解答】 解：（ 1）把点 A（ 1， 0）， B（ 3， 2）分别代入直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+ 0=1+m， ， m= 1， b= 3， c=2， 所以 y=x 1， y=3x+2； （ 2） 3x+2 x 1，解得： x 1 或 x 3 【点评】 主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质要具备读图的能力 22商场某种新商品每件进价是 120 元，在试销期间发现，当每件商品售价 为 130 元时，每天可销售 70 件，当每件商品售价高于 130 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件据此规律，请回答： （ 1）当每件商品售价定为 170 元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？ （ 2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到 1600 元？（提示：盈利 =售价进价） 【考点】 一元二次方程的应用 【专题】 销售问题 【分析】 （ 1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利 （ 2）设商场日盈利达到 1600 元时，每 件商品售价为 x 元，根据每件商品的盈利 销售的件数 =商场的日盈利，列方程求解即可 【解答】 解：（ 1）当每件商品售价为 170 元时，比每件商品售价 130 元高出 40 元， 即 170 130=40（元），（ 1 分） 则每天可销售商品 30 件，即 70 40=30（件），（ 2 分） 商场可获日盈利为（ 170 120） 30=1500（元）设商场日盈利达到 1600 元时，每件商品售价为 x 元， 则每件商品比 130 元高出（ x 130）元，每件可盈利（ x 120）元（ 4 分） 每日销售商品为 70（ x 130） =200 x（件）（ 5 分） 依题意得方程（ 200 x）（ x 120） =1600（ 6 分） 整理，得 320x+25600=0，即（ x 160） 2=0（ 7 分） 解得 x=160（ 9 分） 答：每件商品售价为 160 元时，商场日盈利达到 1600 元注意变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系； （ 2）可直接套公式：原有量 （ 1+增长率） n=现有量， n 表示增长的次数 23如图，抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点，与 x 轴交于另一点 B（ 1）求抛物线的解析式； （ 2）已知点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 称的点的坐标【考点】 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）由于抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （ 2）由于点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，把 D 的坐标代入（ 1）中的解析式即可求出 m，然后利用对称就可以求出关于直线 称的点的坐标 【解答】 解：（ 1） 抛物线 y=4a 经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 4）两点， ， 解之得： a= 1， b=3， y= x+4； （ 2） 点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上， 把 D 的坐标代入（ 1）中的解析式得 m+1= m+4， m=3 或 m= 1， m=3， D（ 3， 4）， y= x+4=0， x= 1 或 x=4， B（ 4， 0）， C， 等腰直角三角形， 5 设点 D 关于直线 对称点为点 E C（ 0， 4） 5 E 点在 y 轴上，且 D=3 E（ 0， 1） 即点 D 关于直线 称的点的坐标为（ 0， 1）； 【点评】 此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求 P 点坐标 24某企业加工一台大型机械设备润滑用油 90 千克，用油的重复利用率为 60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现润滑用油量每减少 1 千克，用油量的重复利用率增加 这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12 千克，问技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油 的重复利用率是多少？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克，由 “实际耗油量下降到 12 千克 ”列方程得 x1（ 90 x） 60%=12，解方程求解即可 【解答】 解：设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为 x 千克， 由题意得： x1（ 90 x） 60%=12， 整理得： 65x 750=0， 因式分解得：（ x 75）（ x+10） =0， 解得 5， 10（舍去） 用油的 重复利用率：（ 90 75） 60%=84% 答：技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是 75 千克，用油的重复利用率是 84% 【点评】 此题考查了列一元二次方程在实际中的应用；同时考查了学生分析问题、解决问题的能力分析数量关系、探究等量关系是列方程解应用题的关键 25如图，抛物线 y= x2+2 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（ 1， 0）（ 1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （ 2）判断 形状，证明你的结论； （ 3）点 M（ m， 0）是 x 轴上的一个动点，当 D 的值最小时，求 m 的值 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）把 A 点的坐标代入抛物线解析式，求 b 的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标； （ 2）根据直角三角形的性质，推出 ， 0，即5=可确定 直角三角形； （ 3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（ 0， 2）， 2连接 CD 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， D 的值最小首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求 m 的值 【解答】 解：（ 1） 点 A（ 1， 0）在抛物线 y= x2+2 上， （ 1 ） 2+b（ 1） 2=0，解得 b= 抛物线的解析式为 y= x 2 y= x 2 = （ 3x 4 ） = （ x ） 2 ， 顶点 D 的坐标为 （ ， ） （ 2）当 x=0 时 y= 2， C（ 0， 2）， 当 y=0 时， x 2=0， 1， ， B （ 4， 0） ， ， 5， ， 0， 直角三角形 （ 3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（ 0， 2）， 2， 连接 CD 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， D 的值最小 解法一：设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E y 轴， = C C ， m= 解法二：设直线 CD 的解析式为 y=kx+n， 则 ， 解得： 当 y=0 时， ， 【点评】 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，