数学人教版九年级上册典型例题1.doc

二次函数y=ax2+bx+c的图象典型例题例1 已知二次函数，当x4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式。例2 如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是（ ）Ab+c-a=0； Bb+c-a0；Cb+c-a0； D不能确定。例3 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（ ）例4 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b。(1)求m的取值范围；(2)若ab=31，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使PAB的面积等于BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。例5 已知二次函数的图像与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是3.（1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数的图像与x的轴相交于，且经过此二次函数的图像的顶点B，当时，（）求的取值范围；（）求（O为坐标原点）面积的最小值与最大值.例6 求函数解析式的题目(1)已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.(2)已知抛物线的顶点为，与轴交点为，求此抛物线的解析式.(3)已知抛物线与轴交于，并经过点，求抛物线的解析式.参考答案例1 分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：解：此题可用以下四种方法求出解析式。方法一：因为抛物线的对称轴是x4，抛物线与轴的一个交点为（1，0），由对称性可知另一点为（7，0），同例1，抛物线y=ax2bxc通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来。方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以由上面的方程组解出a、b、c。方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来. 即得出. 所求二次函数解析式为方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式得:所求二次函数解析式为.例2 解： 从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a0当x=0时，y的值为正，所以c0又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0。综上分析知b+c-a0，应选B。注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为，要根据图象具体分析才能得出正确结论。例3 解：图象大致是D。分析： 这一类题是考察数学逻辑推理能力题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A和B，且c0其次考虑完字母c后，再考虑a的取值若a0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C；再检验D，从二次函数图象知a0，且c0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D是正确的考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维混乱。例4 解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)因为A、B两点在原点的两侧，所以x1x20，即-(m+1)0。当m-1时，0，所以m的取值范围是m-1。(2)因为ab=31，设a=3k，b=k(k0)，则x1=3k，x2=-k，所以所以m=2。所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3。(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)设直线BM的解析式为y=px+q，所以直线BM的解析式是y=2x+2设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)所以设P点坐标是(x，y)，因为SABP=8SBCM所以所以y=4，由此得y=4。当y=4时，P点与M点重合，即P(1，4)；所以满足条件的P点存在。注意：这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求BCM的面积时要用分割法，因为BCM是任意三角形，它的面积不好求，而BCN和CMN的面积都好求，底都为CN=1，高都是1SBCM=SBCN+SCMN这样就化难为易了方程-x2+2x+3=4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的。例5 分析：（1）由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是（3，3），所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得。（2）因为当取最小值时，也取最小值；当取最大值时，也取最大值。所以把的最大值和最小值代入直线的解析式，即可求出的取值范围。解：（1）二次函数的图像经过原点O（0，0）与点A（6，0），它的对称轴是.它的顶点B的坐标是（3，3）.设此二次函数为，把（6，0）代入解析式得，故所求二次函数的解析式为 .（2）（）令得直线的解析式为，把（3，3）代入得，故直线的解析式为.令，得.令得直线的解析式为，把（3，3）代入得，故直线的解析式为，令，则得.故的取值范围是.（）的OD边上的高（即B点的纵坐标的绝对值）为定值3，故OD最小，则面积最小，OD最大，则面积最大.OD最小为1，最大为2，故的面积最小是，最大为3.例6 （1）解：设二次函数的解析式为将（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）分别代入，得 解得所以二次函数的解析式为（2）解：因为抛物线的顶点为，设其解析式为将代入得，所求抛物线的解析式为即（3）解：因为点，是抛物线与轴的交点，所以设抛物线的解析式为将代入，得，所求抛物线解析式为即说明：此三题考查用待定系数法求抛物线