06薛震-概率统计-D5基本极限定理-中北大学

基本极限定理 第五章 切比雪夫不等式与大数定律 中心极限定理 第五章 切比雪夫不等式与大数定律 第一节 一 切比雪夫不等式 二 大数定律 即 引言 频率的稳定性 用频率代替概率的科学性 1 背景 2 内容 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的 一系列定理称为大数定律 3 刻画 定理1 设X的数学期望 方差 则 有 或 注 切比雪夫不等式常用来在E X 和D X 已知时 对事 一 切比雪夫不等式 例1 已知我校有1万盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的概率 均为0 8 且它们开关与否相互独立 试用切比雪夫不等式 估计夜晚同时开灯7800 8200盏之间的概率 解 设X表示夜晚开灯数 则 又因为E X 8000 D X 1600 则由切比雪夫不 这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概 率保证这1万盏灯的正常使用 等式知 1 切比雪夫大数定律 二 大数定律 定理2 设相互独立的随机变量 具有有 限的期望和方差 若存在常数C使 则 有 即 推论 设相互独立的随机变量 服从相 同的分布 且 则有 注 该结论的实际意义在于 为了减少测量的随机误差 常常用测量的平均值来代替真实值 即 切比雪夫大数定律推论的特殊形式 2 伯努利大数定律 定理3 且 则有 注 该结论的实际意义在于 当试验次数很大时 便可以 用事件发生的频率来代替其概率 3 辛钦大数定律 定理4 注 辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在 设相互独立的随机变量 服从相同的分布 且 则有 第五章 中心极限定理 第二节 一 独立同分布中心极限定理 二 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 设独立随机变量序列 则当n很大时 和方差都存在 2 内容 3 刻划 的期望 1 背景 若一个量受到大量独立的随机因素综合影响 而每一因素在总影响中所起的作用并不大 则这个量通常 近似服从正态分布 引言 设相互独立的随机变量 定理1 Levy Lindeberg中心极限定理 一 独立同分布的中心极限定理 服从相 同的分布 且 则 有 即 例2 设某食品用机器装袋 每袋净重的期望为100g 标 准差为4g 一箱装100袋 求一箱净重大于10100g的概率 解 同分布 且 而一箱净重 由独立同分布的中心极限定理可知 所以 独立同分布的中心极限定理的特殊形式 二 DeMoivre Laplace中心极限定理 定理2 且 则有 注 设 当n比较大时 对任意的a b有 的次数 例3 保险公司多年统计资料表明 因被盗理赔的用户占 20 以X表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数 试写出 X的概率分布 并利用拉普拉斯中心极限定理 求被盗理赔 用户大于14且不多于30户的概率近似值 解 1 易知 则X的分 2 已知n 100 p 0 2 由拉普拉斯中心极限定理得 布列为 内容小结 1 利用切比雪夫不等式进行近似计算 2 切比雪夫大数定律 3 伯努利大数定律 4 辛钦大数定律 6 独立同分布的中心极限定理 7 德莫夫 拉普拉斯中心极限定理 5 利用中心极限定理进行近似计算 切比雪夫 1821 1894 切比雪夫 俄罗斯数学家 1821年5月 生于俄国卡卢加 1894年12月卒于彼得堡 他出身于贵族家庭 左脚生来有残疾 因而童年时代的他经常独坐家中 养成了 在孤寂中思索的习惯 16岁进莫斯科大学 1841年因 方 程根的计算 一文获银质奖章 1847年进彼得堡大学 两 年后获博士学位 1859年当选为彼得堡科学院院士 切比雪夫一生发表了70多篇科学论文 论 概率论 函数逼近论 积分学等方面 内容涉及数 辛钦 1894 1959 辛钦 现代概率论的奠 苏联数学家 基者之一 1894年7月生于莫斯科 1959年 11月去世 1916年毕业于莫斯科大学 先 后在莫斯科大学和苏联科学院斯捷克洛 夫数学研究所等处工作 1939年当选为苏联科学院通讯 院士 他还是俄罗斯教育科学院院士 辛钦在函数的度量理论 数论 概率论 信息论等 方面都有重要的研究成果 在分析学 数论及概率论对 统计力学的应用方面也有重要贡献 拉普拉斯 1749 1827 拉普拉斯 法国数学家和天文学家 1749年3月生于博蒙昂诺日 1827年3月卒 于巴黎 他一生在科学上的贡献仅次于牛 顿而居第二 拉普拉斯是天体力学的主要奠基人 是天体演化学的 创立者之一 是分析概率论的创始人 是应用数学的先躯 他发