概率与数理统计-7-3

第七章 参 数 估 计,7-4 区间估计,上一节中，我们讨论了参数的点估计，只要给定样本观察值，就能算出参数的估计值。但用点估计的方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知的），也就是说，由点估计得到的参数估计值没有给出它与真值之间的可靠程度，在实际应用中往往还需要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。为此我们要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为置信区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为区间估计。,7-4 区间估计,可信度：越大越好,估计你的年龄 八成在2128岁之间,被估参数,可信度,范围、区间,区间：越小越好,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.,1. 置信区间的定义,关于定义的说明,若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n),按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,例如,例1：某旅游社为调查当地每一旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额,元。,根据经验已知旅游者消费额服从正态分布,，,且标准差,元，那么该地旅游者平均消费额,置信度为95%的置信区间是什么？,设旅游者消费额是随机变量X，且知,此题是求 的置信区间的问题。,2. 如何求未知参数的置信区间呢？,（2）为使,要找含有 与 的样本的函数且知其分布。由抽样分布可知：,（1）找 的较好的点估计 （矩估计或最大似然估计，或无偏估计） 的区间估计应为在 附近的的一个区间,（3）将不等式 恒等价变形,记：,若给了一个样本值，可得到一个置信区间，如本例,得到当地每位旅游者置信度为95%的平均消费额是在,1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?,置信水平 是多少?,2. 寻找参数 的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn),3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 Z(T, )(枢轴量),且其分布为已知,3. 求置信区间的一般步骤,于是 就是 的100( )的置信区间.,解,由上节例4可知,例2,其概率密度为,正态总体均值与方差的区间估计,单个正态总体均值 和方差 的区间估计.,两个正态总体均值差 和方差比 的区间估计.,一、单个总体 的情况,由重复例1可知:,1.,解,这样的置信区间常写成,长度为,由一个样本值算得样本均值的观察值,则置信区间为,其长度为,比较两个置信区间的长度,置信区间短表示估计的精度高.,说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况, 易证取a和b关于原点对称时,能使置信区间长度最小.,包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 假设质量服从正态分布,解,例1, 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个.,说明,置信区间的长度 反映了估计精度， 越小, 估计精度越高.,处理“可靠性与精度关系”的原则,推导过程如下:,解,有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下:,设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值,例2,就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.,这个误差的可信度为95%.,推导过程如下:,考察,2.,注意: 在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).,有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下:,设袋装糖果的重量服从正态分布,例2,求总体标准差 的置信度为0.95的置信区间.,解,代入公式得标准差的置信区间,二、两个总体 的情况,讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.,推导过程如下:,1.,选取,推导过程如下:,2.,正态总体参数的置信区间,练习: 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从,解 (1),即,正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机,(1) 若 2=0.06, 求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.,抽取 6 件, 测得直径为,15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1,由给定数据算得,由公式 (1) 得 的置信区间为,(2) 取,查表,由给定数据算得,由公式 (4) 得 2 的置信区间为,(3) 选取枢轴量,查表得,由公式 (2) 得 的置信区间为,设总体X的分布函数为,测验2 (2004),设A,B为随机事件，且,令,测验1 (2004),求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关