全等三角形(常见辅助线)用

专题学习 几何证明中常见的 添辅助线 方法 周长问题 的转化 连结 目的 构造全等三角形或等腰三角形 适用情况 图中已经存在两个点 A和B 语言描述 连结AB 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 连结 典例1 如图 AB AD BC DC 求证 B D A C B D 1 连结AC 构造全等三角形 2 连结BD 构造两个等腰三角形 连结 典例2 如图 AB AE BC ED B E AM CD 求证 点M是CD的中点 A C B D 连结AC AD 构造全等三角形 E M 连结 典例3 如图 AB AC BD CD M N分别是BD CD的中点 求证 AMB ANC A C B D 连结AD 构造全等三角形 N M 连结 典例4 如图 AB与CD交于O 且AB CD AD BC OB 5cm 求OD的长 A C B D 连结BD 构造全等三角形 O 目的 构造直角三角形 得到距离相等 适用情况 图中已经存在一个点A和一条线MN 语言描述 过点A作AH MN 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 角平分线上点向两边作垂线段 角平分线上点向两边作垂线段 典例1 如图 ABC中 C 90o BC 10 BD 6 AD平分 BAC 求点D到AB的距离 A C D 过点D作DE AB 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B E 角平分线上点向两边作垂线段 典例2 如图 ABC中 C 90o AC BC AD平分 BAC 求证 AB AC DC A C D 过点D作DE AB 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B E 思考 1 若AB 15cm 则 BED的周长是多少 2 能否用截长补短法 在AB上截取AE AC 角平分线上点向两边作垂线段 典例3 如图 梯形中 A D 90o BE CE均是角平分线 求证 BC AB CD A C D 过点E作EF BC 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B F 思考 1 有没有其他辅助线的做法2 你从本题中还能得到哪些结论 E 角平分线上点向两边作垂线段 典例4 如图 OC平分 AOB DOE DPE 180o 求证 PD PE A C D 过点P作PF OA PG OB 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B F 思考 你从本题中还能得到哪些结论 E P G O 目的 构造直角三角形 得到斜边相等 适用情况 图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点X 语言描述 连结XM和XN 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 垂直平分线上点向两端连线段 如图 PD PE分别垂直平分线段AB BC 则PA PC 问题1 在某一乡村公路L的同侧 有两个村庄A B 为了便于两个村庄的人看病 乡政府计划在公路边上修建一所医院 使得它到两村庄的距离相等 试问医院的院址P应选在何处 A B P 联系生活 问题2 有三个村庄A B C 为了便于三个村庄的人看病 乡政府计划修建一所医院 使得它到三个村庄的距离相等 试问医院的院址P应选在何处 P 想一想 P点与BC有怎样的关系 三角形三条边的中垂线是交于一点的 这个点到三个顶点距离相等 目的 构造直角三角形 得到斜边相等 适用情况 图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点X 语言描述 连结XM和XN 注意点 双添 在图形上添虚线在证明过程中描述添法 中线延长一倍 1 已知 如图AD是 ABC的中线 中线延长一倍 延长AD到点E 使DE AE 连结CE 思考 若AB 3 AC 5 求AD的取值范围 已知在 ABC中 C 2 B 1 2求证 AB AC CD A D B C 1 2 在AB上取点E使得AE AC 连接DE 截长 F 在AC的延长线上取点F使得CF CD 连接DF 补短 如图所示 已知AD BC 1 2 3 4 直线DC经过点E交AD于点D 交BC于点C 求证 AD BC AB E F 在AB上取点F使得AF AD 连接EF 截长补短 例1如图 已知 在正方形ABCD中 BAC的平分线交BC于E 求证 AB BE AC 截长补短法 旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时 可试用旋转方法构造全等三角形 例3如图所示 已知点 分别在正方形的边与上 并且AF平分 EAD 求证 A B C D E F G 如图 已知在正方形 中 在 上 在 上 求证 如图 ABC中 是 边上的中点 于 交的平分线 于 过 作 于 作 于 求证 1 如图 ABC中 C 90o AC BC AD平分 ACB DE AB 若AB 6cm 则 DBE的周长是多少 周长问题 的转化借助 角平分线性质 B A C D E BE BD DE BE BD CD BE BC BE AC BE AE AB 2 如图 ABC中 C 90o D在AB的垂直平分线上 E在AC的垂直平分线上 若BC 6cm 求 ADE的周长 周长问题 的转化借助 垂直平分线性质 B A C D E AD AE DE BD CE DE BC 3 如图 A A1关于OM对称 A A2关于ON对称 若A1A2 6cm 求 ABC的周长 周长问题 的转化借助 垂直平分线性质 B A C O M AB AC BC A1B A2C BC A1A2 A1 A2 N 4 如图 ABC中 MN是AC的垂直平分线 若AN 3cm ABM周长为13cm 求 ABC的周长 周长问题 的转化借助 垂直平分线性质 B A C M AB BC AC AB BM MC 6 N AB BM AM 6 13 6 5 如图 ABC中 BP CP是 ABC的角平分线 MN BC 若BC 6cm AMN周长为13cm 求 ABC的周长 周长问题 的转化借助 等腰三角形性质 B A C P AB AC BC AM BM AN NC 6 N AM MP AN NP 6 13 6 M AM AN MN 6 线段与角求相等 先找全等试试看若有等角等线段 构