培优专题-不等式培优资料(教师版)

不等式（组）与方程（组）互化一、方程（组）转化为不等式（组）例1关于的方程的解是负数，则的取值范围是（）A.；B.且；C.；D.或.分析：先解关于的方程，用含有字母a的式子表示未知数x，然后构造不等式组求解.解：解方程，得x=a1. 又由关于的方程的解是负数即x0，所以 解得，a0，则k的取值范围是 . 分析：先解方程组，用含有k的式子表示x、y或直接表示xy，再根据xy0，构造不等式求解.解：解方程组，得xy=1.又由xy0，所以10，解得，k4.二、不等式（组）转化为方程（组）例3已知不等式（是常数）的解集是，求分析：先解关于x的不等式，再根据已知的解集构造方程求解.解：解不等式，得x.由，所以=3.解这个关于m的方程，得m=1.例4（若不等式组的解是1x1，则（ab）2006= . 分析：先解关于x的不等式组，再根据已知的解集构造方程组求解.解：解不等式组，得由于这个不等式组有解，所以其解集应为a2x.又1x0的解集是x2，则不等式-3x +n0的解集是x2，则方程-3x+n=0的解是x=2，故-32+n=0，所以n=6。三、对照解集，进行求解例3、若关于x的不等式组的解集是1x 2,则式子(a+b)2006= 解析：先化简不等式组得，因其解集是1x2，所以对照解集根据“大大小小取中”可知必有=2且2b+3=1，分别解得a=1,b=2,所以（a+b）2006=(12)2006=1。例4、若关于x的不等式组 的解集为x6m3,则m的取值范围是 。解析：先化简不等式组得 ，已知解集为x6m3, 对照解集根据“同大取大”的方法知：6m3大于或等于3，即6m33，解得m1。四、借助数轴，进行求解例5、若关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 解析：运用数形结合的思想,借助于数轴,可以很清楚的看出不等式组的解集的情况.要熟练掌握运用数轴解决有关不等式组解集问题的方法。解不等式组可得,对于2和之间的关系可以分以下三种情况，在数轴上表示为：容易看出，只有情况(3)有解，所以有,解得。例6关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是 （ ）A. 5aB. 5aC. 5aD. 5a五、利用逆向思维，进行求解例7、若关于x的不等式组的解集中每一x值均不在一1x4的范围中，则a的取值范围是 。 解析：先化简不等式组得，由2a32a4知原不等式组有解集为2a4x2a3，又由题意逆向思考可知原不等式组的解集落在x1或x4的范围内，从而得到2a31或2a44，所以解得a1或a4。六、多变元问题例8、已知：x、y、z是三个非负有理数，且满足，若，则S的最大值和最小值的和是多少？ 分析：用含一个字母的代数式表示S，并确定这个字母的取值范围，就可求得S的最大值和最小值。 解：由已知得： 解得： 由得不等式组 解得： 2S3 所以，S的最大值与最小值的和为5 注：含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化为一元。 练习：1、若不等式组的解集是，则=_1_。2、已知不等式组无解，则的取值范围是3、若关于x的不等式xm1的解集如图所示，则m等于 DA0 B1C2 D34、已知不等式的解集为，试求a的取值范围。a=-175、当k为何整数值时，方程组有正整数解？1k19928、设不等式的解集为，求不等式的解。X-0.259、 已知方程组，若方程组有非负整数解，求正整数m的值。m=1,3设计最优方案，请不等式组帮忙例某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别电视机洗衣机进价（元/台）18001500售价（元/台）20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润（利润售价进价）分析：本题是一道现实生活中比较常见的采购方案问题，根据题意可知，购进的电视机的台数不少于洗衣机的一半；两种电器的总成本价不多于161 800元，据此可列出不等式组，由两种电器的台数都是正整数这一实际要求，将问题转化为求不等式组的正整数解，进而设计出进货方案，并通过分析判断确定出获利最多的进货方案解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100x）台，根据题意，得，解不等式组，得因为为正整数，所以可取的值是34,35,36,37,38,39.所以商店有以下6种进货方案：购进电视机34台，购进洗衣机66台；购进电视机35台，购进洗衣机65台；购进电视机36台，购进洗衣机64台； 购进电视机37台，购进洗衣机63台；购进电视机38台，购进洗衣机62台；购进电视机39台，购进洗衣机61台；（）根据表格的信息可知，售出一台电视机可获利200元，而售出一台洗衣机仅获利100元，据此可知购进的电视机越多,商店获利越多所以选择第6种方案即购进电视机39台，购进洗衣机61台商店获利最多此时商店获得利润为： （20001800）39(16001500)61=13900(元)例某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李设租用甲种汽车辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案分析：本题以学生野外考察租车为载体，让学生确定租车方案并判断选择最省钱的一种方案解题的关键在于第问，由题意可知,租用甲、乙两辆车所满载的人数和不小于290名，满载的行李数之和不小于100件据此可列出不等式组，由租车辆数为整数这一实际要求，将问题转化成求不等式组的正整数解，进而设计出租车方案，通过分析判断选择出最省钱的方案解：因为租用甲种汽车辆，所以租用乙种汽车辆，由题意得：解得：因为为整数，所以或所以有2种租车方案： 租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆第一种租车方案的费用为元；第二种租车方案的费用为元第一种租车方案更省费用例3 “五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案分析：（1）单独租用42座客车需10辆，租金为元单独租用60座客车需7辆，租金为元（2）设租用42座客车辆，则60座客车辆，由题意得：解之得：取整数，当时，租金为元；当时，租金为元答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少例4小亮妈妈下岗后开了一家糕点店现有千克面粉，千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒已知加工一盒一般糕点需千克面粉和千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需千克面粉和千克鸡蛋（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？分析：（1）设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒 根据题意，满足不等式组： 解这个不等式组，得 因为为整数，所以 因此，加工方案有三种：加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；加工一般糕点26盒、精制糕点24盒 （2）由题意知，显然精制糕点数越多利润越大，故当加工一般糕点24盒、精制糕点26盒时，可获得最大利润最大利润为：（元）例5 某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产两种产品共40件，生产两种产品用料情况如下表：需要甲原料需要乙原料一件种产品7kg4kg一件种产品3kg10kg设生产产品件，请解答下列问题：（1）求的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；（2）若甲种原料50元kg，乙种原料40元kg ，说明（1）中哪种方案较优？分析：（1）根据题意，得这个不等式组的解集为又为整数，所以或26所以符合题意的生产方案有两种：生产种产品25件，种产品15件；生产种产品26件，种产品14件（2）一件种产品的材料价钱是：元一件种产品的材料价钱是：元方案的总价钱是：元方案的总价钱是：元元由此可知：方案的总价钱比方案的总价钱少，所以方案较优例6我市某生态果园今年收获了吨李子和吨桃子，要租用甲、乙两种货车共辆，及时运往外地，甲种货车可装李子吨和桃子吨，乙种货车可装李子吨