高三一轮复习导学案05 第02章 第02节——函数的定义域、值域及函数的解析式,第03节——函数的单调性与最值

2.2函数的定义域、值域及函数的解析式1.函数的定义域(1)函数的定义域是指_.(2)求定义域的步骤写出使函数式有意义的不等式(组)；解不等式组；写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)(3)常见基本初等函数的定义域分式函数中分母不等于零.偶次根式函数、被开方式大于或等于0.一次函数、二次函数的定义域为_.yax (a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为_.ytan x的定义域为_.函数f(x)x0的定义域为_.2.函数的值域(1)在函数yf(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫_，_叫函数的值域.(2)基本初等函数的值域ykxb (k0)的值域是_.yax2bxc (a0)的值域是：当a0时，值域为_；当a0且a1)的值域是_.ylogax (a0且a1)的值域是_.ysin x，ycos x的值域是_.ytan x的值域是_.3.函数解析式的求法(1)换元法：若已知f(g(x)的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)t，从中解出x(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围.(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数.(3)消去法：若所给解析式中含有f(x)、f或f(x)、f(x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x).(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式.难点正本疑点清源1.函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识.2.(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x)的定义域是使函数g(x)A的x的取值范围.(2)如果f(g(x)的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.(3)fg(x)与fh(x)联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.1.函数y的定义域为_.2.(2011安徽)函数y的定义域是_.3.函数f(x)log2(3x1)的值域为_.4.已知f ，则f(x)_.题型一求函数的定义域例1(1)函数f(x)lg(3x1)的定义域为_.(2)函数y的定义域为_.探究提高(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为零；偶次根式，被开方数非负；对于yx0，要求x0；对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系. (1)(2011江西)若f(x)，则f(x)的定义域为()A. B.C. D.(0，)(2)若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是_.题型二抽象函数的定义域例2若函数f(2x)的定义域是1,1，求f(log2x)的定义域.探究提高已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足ag(x)b的x的取值范围，而已知fg(x)的定义域是a，b，指的是xa，b. 已知f(x)的定义域是0,4，求：(1)f(x2)的定义域；(2)f(x1)f(x1)的定义域.题型三求函数的值域例3求下列函数的值域.(1)yx22x (x0,3)；(2)y；(3)yx；(4)ylog3xlogx31.探究提高(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解. 求下列函数的值域：(1)y；(2)y2x1.题型四求函数的解析式例4(1)已知f x2，求f(x)的解析式；(2)已知f lg x，求f(x)的解析式；(3)已知f (x)是一次函数，且满足3f(x1)2f (x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)已知f (x)满足2f(x)f 3x，求f(x)的解析式.探究提高函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 给出下列两个条件：(1)f(1)x2；(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试分别求出f(x)的解析式.1.函数问题首先要考虑定义域试题：(12分)已知f(x)2log3x，x1,9，试求函数yf(x)2f(x2)的值域.学生解答展示审题视角(1)f(x)的定义域；(2)yf(x)2f(x2)的定义域与f(x)的定义域不同；(3)如何求yf(x)2f(x2)的定义域.规范解答解f(x)2log3x的定义域为1,9，要使f(x)2f(x2)有意义，必有1x9且1x29，1x3， 3分yf(x)2f(x2)的定义域为1,3. 4分又y(2log3x)22log3x2(log3x3)23. 6分x1,3，log3x0,1， 8分ymax(13)2313，ymin(03)236. 10分函数yf(x)2f(x2)的值域为6,13. 12分批阅笔记(1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识.(2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数yf(x)2f(x2)的讨论范围扩大. (3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.方法与技巧1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域.3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“”成立的条件.失误与防范1.求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用.函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际问题的最值的求法.2.对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质.2.2函数的定义域、值域及函数的解析式(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.函数ylg(2x1)的定义域是 ()A. B.C. D.2.已知函数f(x)lg(x3)的定义域为M，g(x)的定义域为N，则MN等于()A.x|x3 B.x|3x2C.x|x2 D.x|31)，求a、b的值.8.已知函数f(x)x24ax2a6 (aR).(1)若函数的值域为0，)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)2a|a3|的值域.答案要点梳理1.(1)使函数有意义的自变量的取值范围(3)RRx|xR且x02.(1)函数值函数值的集合(2)Ry|yR且y0(0，)R1,1R基础自测1.1,2)(2，)2.x|3x0，且x1.当x1时，log3x0，于是ylog3x1211；当0x1时，log3x0，于是ylog3x11213.故函数的值域是(，31，).变式训练3解(1)方法一(配方法)y1，又x2x12，0，y1.函数的值域为.方法二(判别式法)由y，xR，得(y1)x2(1y)xy0.y1时，x，y1.又xR，(1y)24y(y1)0，解得y1.综上得y0，t1且x，f(t)lg ，即f(x)lg (x1).(3)设f(x)kxb，3f(x1)2f(x1)3k(x1)b2k(x1)bkx5kb2x17.，即.f(x)2x7.(4)2f(x)f3x，2ff(x).f(x)2x (x0).变式训练4解(1)令t1，t1，x(t1)2.则f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21 (x1).(2)设f(x)ax2bxc，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.，f(x)x2x3.课时规范训练A组1.C2.B3.C4.C5.(，36.7.2,78.解(1)设f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得.f(x)x2x.(2)由(1)知yf(x22)(x22)2(x22)(x43x22)2，当x2时，y取最小值.函数yf(x22)的值域为.B组1.B2.C3.A4.(1，)(，5. 6. 7.解f(x)(x1)2a.其对称轴为x1，即1，b为f(x)的单调递增区间.f(x)minf(1)a1 f(x)maxf(b)b2bab 又b1，由解得a、b的值分别为、3.8.解(1)函数的值域为0，)，16a24(2a6)0，2a2a30，a1或a.(2)对一切xR函数值均为非负，16a24(2a6)8(2a2a3)0.1a.a30，g(a)2a|a3|a23a22 .二次函数g(a)在上单调递减，gg(a)g(1).即g(a)4.g(a)的值域为.2.3函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是_自左向右看图象是_(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_或_，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有_；(2)存在x0I，使得_.(3)对于任意xI，都有_；(4)存在x0I，使得_.结论M为最大值M为最小值难点正本疑点清源1.函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征.在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调.2.函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间.3.单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结.1. f(x)x22x (x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.2.函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_.3.已知函数yf(x)在R上是减函数，A(0，2)、B(3,2)在其图象上，则不等式2f(x)2的解集为_.4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()A.f(x) B.f(x)(x1)2C.f(x)e2 D.f(x)ln(x1)5.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f 0.(1)若2f(1)f(1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数；(3)若函数f(x)在区间1，)上是增函数，求a的取值范围.探究提高(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是：取值作差变形确定符号下结论.(2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论.导数法是比较常用的一种方法. 已知f(x) (xa).(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围.题型二求函数的单调区间例2求函数的单调区间.探究提高求函数的单调区间与确定单调性的方法一致.(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.(5)本题的易错点是忽视函数的定义域. 求函数y的单调区间.题型三抽象函数的单调性及最值例3已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，y0都有f f(x)f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明.(3)若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域.2.函数的单调性与不等式试题：(12分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.审题视角(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”，是本小题的切入点.要构造出f(M)f(N)的形式.规范解答(1)证明设x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1. 2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1， 4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数. 6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1， 8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(2)2213，f(a2a5)2f(1)， 10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2). 12分解函数不等式的问题一般步骤是：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1.构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)x2)；(2)作差f(x1)f(x2)，然后变形；(3)判定f(x1)f(x2)的符号；(4)根据定义得出结论.2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，利用导数的性质.3.复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数.简称为：同增异减.失误与防范1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.2.两函数f(x)、g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.2.3函数的单调性与最值(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.(2010北京)给定函数y，y，y|x1|，y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ()A. B. C. D.2.若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A.(1,0)(0,1) B.(1,0)(0,1C.(0,1) D.(0,13.已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A.一定大于0 B.一定小于0C.等于0 D.正负都有可能二、填空题4.函数f(x)的单调增区间为_.5.设x1，x2为yf(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1x2)f(x1)f(x2)0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；0且a1，若函数f(x)loga(ax2x)在3,4上是增函数，则a的取值范围是_.三、解答题7.已知函数f(x) (a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.8.试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0). B组专项能力提升题组一、选择题1.若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.先减后增2.已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A.(1，) B.4,8)C.(4,8) D.(1,8)3.已知函数f(x)若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是 ()A.(，1)(2，)B.(1,2)C.(2,1)D.(，2)(1，)二、填空题4.已知函数f(x) (a1).若f(x)在区间(0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_.5.若函数f(x)a|xb|2在0，)上为增函数，则实数a、b的取值范围是_.6.设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_.7.已知函数f(x) (a是常数且a0).对于下列命题：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)在R上是单调函数；若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a1；对任意的x10，x20且x1x2，恒有f0成立.(1)判断f(x)在1,1上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x)f()；(3)若f(x)m22am1对所有的a1,1恒成立，求实数m的取值范围.答案要点梳理1.(1)f(x1)f(x2)上升的下降的(2)增函数减函数区间D2.(1)f(x)M(2)f(x0)M(3)f(x)M(4)f(x0)M基础自测1.1,482.，13.(3,0)4.A5.C题型分类深度剖析例1(1)解由2f(1)f(1)，可得22aa，得a.(2)证明任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2)ax1ax2a(x1x2)a(x1x2)(x1x2).0x1，0x2，00，f(x)在0，)上单调递减.(3)解任取1x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)，f(x)单调递增，所以f(x1)f(x2)0.又x1x20恒成立.1x1x1，x1，x2.相加得(x1x2)，0a.变式训练1(1)证明任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增. (2)解任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知00，则x2.函数y的定义域为(，1)(2，).又ux23x2的对称轴x，且开口向上.ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数.而y在(0，)上是单调减函数，y的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1).变式训练2解令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数.由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数.y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，).例3(1)证明方法一函数f(x)对于任意x，yR